全等三角形学案.docx

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全等三角形学案

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

15.1全等三角形

学习目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

学习重点

全等三角形的性质．

学习难点

找全等三角形的对应边、对应角．

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

一．获取概念：

阅读教材P90页内容，完成下列问题：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点：

、对应角：

、对应边：

。

（3）“全等”符号：

读作“全等于”

（4）全等三角形的性质：

（5）如下图：

这两个三角形是完全重合的，则△ABC△A1B1C1..点A与A点是对应顶点;点B与点是对应顶点;点C与点是对应顶点.对应边：

对应角：

。

二观察与思考：

1.将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

即≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形　　　，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

2.说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、自学检测

1、如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，则这两个三角形中相等的边。

相等的角。

2如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其它的对应角

对应边：

ABAEBE

3.已知如图3，△ABC≌△ADE，试找出对应边

对应角．

4.如图4，

AB与DB，AC与DE是对应边，已知：

，求

。

解：

∵∠A+∠B+∠BCA=180（）,

（）

∴∠BCA=

∵

（）

∴∠BED=∠BCA=（）

5.完成教材P91练习1、2

四、评价反思概括总结

找两个全等三角形的对应元素常用方法有：

1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。

2.根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．

3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五．作业

课本P91习题15．1:

2、3、4题．

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

15．2三角形全等的判定

（一）

学习目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SＡS”条件．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

学习重点：

三角形全等的条件．

学习难点：

寻求三角形全等的条件．

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

一、：

温故知新

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

二、读一读，想一想，画一画，议一议

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

阅读：

P92操作

总结：

通过我们画图可以发现只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形不一定全等；给出两个条件画出的两个三角形也不一定全等，按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

3、如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

4．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）如果把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，想一想△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

5．“边角边”公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SAS”是证明三角形全等的一个依据．．

三、小组合作学习

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

四、阅读例题:

P94例1例2

五、评价反思概括总结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

六、作业：

P95：

1、2.P105：

1、2.3.

七、深化提高

1．已知：

如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．

求证：

△ABE≌△ACF．

2．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：

△ABE≌△CDF．

3、已知：

AD∥BC，AD＝CB，AE=CF（图3）．

求证：

△ADF≌△CBE

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

§15．2三角形全等的判定

（二）

学习目标

1．掌握三角形全等的“角边角”条件．

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

学习重点

已知两角一边的三角形全等探究．

学习难点

灵活运用三角形全等条件证明．

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

一．温故知新

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

二种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了二种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

3.三角形中已知两角一边有几种可能？

．两角和它们的夹边．

．两角和其中一角的对边．

二、阅读教材P95-96

判定全等三角形的第二种方法“角边角”定理

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（ASA）

三、小组合作学习

1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

证明：

在△和△中

∴△ADC≌△_____________（__________）

∴AD=AE．（_________）

2.观察下图中的两个三角形，它们全等吗？

请说明理由．

（2）（3）

11、如图：

在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任一点。

求证：

PA=PD。

证明：

在△ABC和△DBC中

∠1=∠2（）

∵BC=BC（）

∠3=∠4（）

△ABC≌△DBC（）

∴AB=__________（）

在△ABP和△DBP中

AB=______（）

∵∠1=∠2（）

BP=BP（）

∴△ABP≌△DBP（）

∴_________=________（）

四、阅读例题:

P96例3例4

五．评价反思概括总结

至此，我们有三种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边角边（SAS）角边角（ASA）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

六、作业：

P97：

1、2.3.P105：

5.

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

§15．2三角形全等的判定（三）

学习目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

学习重点

三角形全等的条件．

学习难点

寻求三角形全等的条件．

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

一．回顾思考：

1．

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

“ASA”定理__________________________________________________

二、新课

1.回忆前面研究过的全等三角形．

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

2.已知三角形△ABC你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

阅读教材P97-98

归纳：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）

3.小组合作学习

（1）如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

证明：

∵D是BC的中点

∴__________________________

在△ABD和△ACD中

∴△≌△（）．

（2）如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有一个条件：

______________________，怎样才能得到这个条件？

∵__________________________

∴__________________________

∴__________________________

（3）如图,AB=AC,AD是BC边上的中线P是AD的一点,求证：

PB=PC

4.三角形的稳定性：

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．（阅读P98）

三、阅读教材例题:

P98-P98例5

四．自学检测课本P99练习．1.2

五．评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

①定义__________________________________________________；

②“SAS”公理__________________________________________________

“ASA”定理_________________________________________________

“SSS”定理_________________________________________________

六．作业

1．P99练习3.4．2.P105习题15.2：

6.

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

§15．2三角形全等的判定（四）

学习目标

1．掌握三角形全等的“角角边”条件．

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

学习重点

已知两角一边的三角形全等探究．

学习难点

灵活运用三角形全等条件证明．

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

一．温故知新：

1.我们已经学习过可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

2.三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

二、新课

1．读一读，想一想，画一画，议一议

阅读教材P100

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

书写格式:

在△ABC和△A1B1C1中

∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）

2.定理证明

已知：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，

求证：

△ABC与△DEF

证明：

∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

三、例题:

阅读教材例题:

P100-P101例6

四．小组合作学习

1.如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

2下图中，若AE=BC则这两个三角形全等吗？

请说明理由．

3.课本P101练习1、2．3

五．评价反思概括总结

1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，又发现了证明三角形全等的一个规律AAS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

2.可以作为判别两三角形全等的常用方法有几种？

各是什么？

“SAS”公理__________________________________________________

②“ASA”定理_________________________________________________

“SSS”定理_________________________________________________

“AAS”定理_________________________________________________

六．作业1．P105习题15.2：

4．

主备人:

天竹复备人：

八年级数学组审核人：

§15．2三角形全等的判定（五）

---直角三角形全等的判定

学习目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。

3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单推理。

学习重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习方法：

自主学习与小组合作探究

学习过程：

Ⅰ．想一想，填一填：

1、判定两个三角形全等常用的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，

斜边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

Ⅱ．探究学习

（一）探索新知：

1.阅读教材P101-P102并作出三角形（动手操作）：

2、与教材中的三角形比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）

（二）自学检测：

1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由：

∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）

∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）

在Rt△和Rt△中

∴≌（）

∴∠=∠（）

∴（内错角相等，两直线平行）

（三）、例题:

阅读教材例题:

P102例7

（四）小组合作学习：

判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

Ⅲ．评价反思概括总结

六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）3．HL（仅用在直角三角形中）

Ⅳ．作业P103练习1.2.3.P106:

习题15.2.7