全等三角形章末重难点题型举一反三原卷版.docx
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全等三角形章末重难点题型举一反三原卷版
专题03全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】
【直击考点】
【典例分析】
【考点1利用全等三角形的性质求角】
【方法点拨】全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等;
(2)全等三角形的周长相等、面积相等;(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
【例1】(2019春•临安区期中)如图,△ACB≌△A′CB′,∠ACB=70°,∠ACB′=100°,则∠BCA′的度数为( )
A.30°B.35°C.40°D.50°
【变式1-1】(2018秋•绍兴期末)如图,△ABC≌△EDC,BC⊥CD,点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是( )
A.55°B.60°C.65°D.70°
【变式1-2】(2018秋•厦门期末)如图,点F,C在BE上,△ABC≌△DEF,AB和DE,AC和DF是对应边,AC,DF交于点M,则∠AMF等于( )
A.2∠BB.2∠ACBC.∠A+∠DD.∠B+∠ACB
【变式1-3】(2018秋•桐梓县校级期中)如图,△ABC≌△A′B′C,∠ACB=90°,∠B=50°,点B′在线段AB上,AC,A′B′交于点O,则∠COA′的度数是( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
【考点2全等三角形的判定条件】
【方法点拨】寻找并证明全等三角形还缺少的条件,其基本思路是:
(1)有两边对应相等,找夹角对应相等,或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后者利用SSS判定.
(2)有两角对应相等,找夹边对应相等,或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定,后者利用AAS判定.
(3)有一边和该边的对角对应相等,找另一角对应相等.利用AAS判定.
(4)有一边和该边的邻角对应相等,找夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.前者利用SAS判定,后者利用AAS判定.
【例2】(2019春•沙坪坝区校级期中)如图,在△ABC和△AED中,已知∠1=∠2,AC=AD,添加一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△AED,这个条件是( )
A.AB=AEB.BC=EDC.∠C=∠DD.∠B=∠E
【变式2-1】(2019秋•潘集区期中)在△ABC与△DEF中,给出下列四组条件:
(1)AB=DE,AC=DF,BC=EF
(2)AB=DE,∠B=∠E,BC=EF
(3)∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F(4)AB=DE,∠B=∠E,AC=DF,
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
【变式2-2】(2018春•渝中区校级期中)如图,点B、F、C、E在一条直线上,∠A=∠D,∠B=∠E,再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DEB.BC=EFC.∠ACB=∠DFED.AC=DF
【变式2-3】(2018秋•鄂尔多斯期中)如图,已知AB=AC,AD=AE,若要得到“△ABD≌△ACE”,必须添加一个条件,则下列所添条件不恰当的是( )
A.BD=CEB.∠ABD=∠ACEC.∠BAD=∠CAED.∠BAC=∠DAE
【考点3全等三角形判定的应用】
【方法点拨】解决此类题型的关键是理解题意,利用全等三角形的判定.
【例3】(2019春•郓城县期末)如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,因无法直接量出A、B两点的距离,请你设计一种方案,求出A、B的距离,并说明理由.
【变式3-1】(2019春•峄城区期末)如图,点C、E分别在直线AB、DF上,小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补,但是他没有带量角器,只带了一副三角板,于是他想了这样一个办法:
首先连结CF,再找出CF的中点O,然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B,经过测量,他发现EO=BO,因此他得出结论:
∠ACE和∠DEC互补,而且他还发现BC=EF.小华的想法对吗?
为什么?
【变式3-2】(2019春•槐荫区期末)王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合,求两堵木墙之间的距离.
【变式3-3】如图,两根长12m的绳子,一端系在旗杆上的同一位置,另一端分别固定在地面上的两个木桩上(绳结处的误差忽略不计),现在只有一把卷尺,如何来检验旗杆是否垂直于地面?
请说明理由.
【考点4利用AAS证明三角形全等】
【方法点拨】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
【例4】(2018秋•仙游县期中)如图,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 .并证明结论.
【变式4-1】(2018春•揭西县期末)如图,∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,BE=CD,试说明:
△ABD≌△ACE.
【变式4-2】(2018秋•杭州期中)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE.求证:
△ACD≌△CBE.
【变式4-3】(2018•雁塔区校级二模)如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:
△ABC≌△DEC.
【考点5利用SAS证明三角形全等】
【方法点拨】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
【例5】(2018春•金山区期末)如图,已知CA=CD,CB=CE,∠ACB=∠DCE,试说明△ACE≌△DCB的理由.
【变式5-1】(2018春•黄岛区期末)如图,点E在AB上,AC=AD,∠CAB=∠DAB,那么△BCE和△BDE全等吗?
请说明理由.
【变式5-2】(2018秋•仪征市校级月考)如图,已知点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE,说明△ABC与△DEF全等的理由.
【变式5-3】(2019秋•东莞市校级月考)如图:
△ABC和△EAD中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE.求证:
△ABD≌△AEC.
【考点6利用ASA证明三角形全等】
【方法点拨】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
【例6】(2019秋•利辛县期末)如图,已知AB=AC,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于O,求证:
△ABE≌△ACD.
【变式6-1】(2018•双柏县二模)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.求证:
△AEC≌△BED;
【变式6-2】(2019•陕西模拟)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:
△ABC≌△DEC.
【变式6-3】(2019秋•乐清市校级期中)如图,△ABC的两条高AD、BE相交于点H,且AD=BD,求证:
△BDH≌△ADC.
【考点7利用SSS证明三角形全等】
【方法点拨】三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
【例7】(2019春•渝中区校级月考)如图,AB=CD,AE=CF,E、F是BD上两点,且BF=DE.
求证:
△ABE≌△CDF.
【变式7-1】(2019秋•扶余县校级月考)如图,在△ABC中,AD=AE,BE=CD,AB=AC.
(1)求证:
△ABD≌△ACE;
(2)求证:
∠BAE=∠CAD.
【变式7-2】(2019秋•保亭县校级月考)如图,AB=AD,DC=BC,∠B与∠D相等吗?
为什么?
【变式7-3】(2019秋•蓬江区校级期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC,求证:
DE⊥AB.
【考点8利用HL证明三角形全等】
【方法点拨】对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
【例8】(2018秋•思明区校级月考)如图,在四边形ABCD中,AD⊥BD,AC⊥CB,BD=AC.求证:
△ABD≌△BAC;
【变式8-1】(2019秋•睢宁县校级月考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,一条直线MN=AB,M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动.问点M运动到什么位置,才能使△ABC和△AMN全等?
并证明你的结论.
【变式8-2】(2019秋•合浦县期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:
Rt△ABF≌Rt△DCE.
【变式8-3】(2019春•醴陵市期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CA平分∠BCD,AE⊥BC于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F.
求证:
△ABE≌△ADF.
【考点9全等三角形的判定与性质综合】
【例9】(2019•南岸区)如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠ABD=90°,点E为AD边上的一点,且AC=AE,连接CE交AB于点G,过点A作AF⊥AD交CE于点F.
(1)求证:
△AGE≌△AFC;
(2)若AB=AC,求证:
AD=AF+BD.
【变式9-1】(2019•福州模拟)
(1)已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,求证:
DE=BD+CE.
(2)如图②,将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?
若成立,请你给出证明:
若不成立,请说明理由.
【变式9-2】(2018秋•天台县期末)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=a,DE=b,
(1)如图1,求BE的长,写出求解过程;(用含a,b的式子表示)
(2)如图2,点D在△ABC内部时,直接写出BE的长 .(用含a,b的式子表示)
【变式9-3】(2019春•道外区期末)如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E在BC边上,∠AED=90°
(1)求证:
∠BAE=∠CED;
(2)若AB+CD=DE,求证:
AE+BE=CE;
(3)在
(2)的条件下,若△CDE与△ABE的面积的差为18,CD=6,求BE的长.
【考点10动点问题中的全等三角形应用】
【例10】(2019春•平川区期末)如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
【变式10-1】(2019春•永新县期末)△ABC中,AB=AC,∠A=40°,D、E分别是AB,AC上的不动点.且BD+CE=BC,点P是BC上的一动点.
(1)当PC=CE时(如图1),求∠DPE的度数;
(2)若PC=BD时(如图2),求∠DPE的度数还会与
(1)的结果相同吗?
若相同,请写出求解过程;若不相同,请说明理由.
【变式10-2】(2019春•宝安区期中)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=10,AB=CD,BD=14,点E从D点出发,以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒5个单位的速度沿C→B→C,作匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒.
(1)试证明:
AD∥BC;
(2)在移动过程中,小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次?
并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离.
【变式10-3】(2018秋•十堰期末)在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一条边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图,当点D在BC延长线上移动时,若∠BAC=25°,则∠DCE= .
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①当点D在BC延长线上移动时,α与β之间有什么数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上(不与B,C两点重合)移动时,α与β之间有什么数量关系?
请直接写出你的结论.
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