初三数学方案设计专题知识精讲 北师大版.docx
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初三数学方案设计专题知识精讲北师大版
初三数学方案设计专题知识精讲北师大版
一.本周教学内容:
方案设计专题
1.设计最佳方案题
例1.黄冈某商场在世界杯足球比赛期间举行促销活动,并设计了两种方案:
一种是以商品价格的九五折优惠的方式进行销售;一种是采用有奖销售的方式,具体措施是:
①有奖销售自2006年6月9日起,发行奖券10000张,发完为止;②顾客累计购物满400元,赠送奖券一张(假设每位顾客购物每次都恰好凑足400元);③世界杯后,顾客持奖券参加抽奖;④奖项是:
特等奖2名,各奖3000元奖品;一等奖10名,各奖1000元奖品;二等奖20名,各奖300元奖品;三等奖100名,各奖100元奖品;四等奖200名,各奖50元奖品;纪念奖5000名,各奖10元奖品。
试就商场的收益而言,对两种促销方法进行评价,选用哪一种更为合算?
解:
设在定价销售额为400×10000元的情况下,采用打折销售的实际销售金额为W1元,采用有奖销售的实际销售金额为W2元。
由题意有
=400×10000×95%=3800000(元)
W2=400×10000-(2×3000+10×1000+20×300+100×100+200×50+5000×10)
=3908000(元)
比较知:
W2>W1
∵在定价销售额相同的情况下,实际销售额大,收益就大
∴就商场的收益而言,选用有奖销售方式,更为合算。
例2.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;
(1)符合公司要求的购买方案有几种?
请说明理由;
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租车,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?
解:
(1)设轿车要购买x辆,那么面包车要购买(10-x)辆
由题意得:
解得:
又∵
,则x=3,4,5
∴购车方案有三种:
方案一:
轿车3辆,面包车7辆;方案二:
轿车4辆,面包车6辆;方案三:
轿车5辆,面包车5辆
(2)方案一的日租金为:
3×200+7×110=1370(元)
方案二的日租金为:
4×200+6×110=1460(元)
方案三的日租金为:
5×200+5×110=1550(元)
为保证日租金不低于1500元,应选择方案三。
2.设计图形题
例3.直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。
方法如下:
请你用上面图示的方法,解答下列问题:
(1)对任意三角形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
(2)对任意四边形,设计一种方案,将它分成若干块,再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
解:
(1)如图所示
(2)如图所示
例4.现有一张长和宽之比为2:
1的长方形纸片,将它折两次(第一次折后也可打开铺平再折第二次),使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分(称为一个操作),如图甲(虚线表示折痕)。
除图甲外,请你再给出三个不同的操作,分别将折痕画在图①至图③中(规定:
一个操作得到的四个图形,和另一个操作得到的四个图形,如果能够“配对”得到四组全等的图形,那么就认为是相同的操作。
如图乙和图甲是相同的操作)。
解:
答案列举如下:
3.测量计算题
例5.要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯。
路灯的灯臂长为3m,且与灯柱成120o角(如图所示),路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线与灯臂垂直。
当灯罩的轴线通过公路路面的中线时,照明效果最理想。
问:
应设计多高的灯柱,才能取得最理想的照明效果?
(精确到0.01m,
)
解:
如答图所示,延长BA,CD交于点P
∵AD⊥AB,CD⊥BC
∴∠C=∠PAD=90°
∵∠ADC=120°,∴∠ADP=60°
∴∠P=30°
∵△PAD是直角三角形,∠P=30°
∴PD=2AD=6m,由于路宽为28m
∴BC=14m
∵△PBC是直角三角形,∠P=30°
∴PC=
∴DC=PC-PD=
(m)
答:
应设计18.25m高的灯柱,才能取得最理想的照明效果。
4.设计测量方案题
例6.测量路灯的高度或河的宽度。
说明:
①测量可以在有阳光的晴日里进行。
②测量者手头只有若干个标杆及测量长度的皮尺。
③画出相关图形,用a、b、c等表示测量所得的数据。
题
(1)小明和爸爸一起散步,发现小区新安装了漂亮的路灯。
决定测量一下路灯的高度。
请你帮小明设计一个测量方案。
题
(2)小彬星期天到郊外游玩,来到一条不能到达对岸的河边,决定测量一下小河的宽度(河岸大致平行)。
请你帮助小彬设计一个测量方案。
解:
(1)如图所示:
①路灯下,测出路灯的影长AC=a
②利用皮尺测出标杆的影长CD=b
③标杆的长为c,即可求路灯的高度。
注:
利用阳光下的影子也可。
(2)如图所示:
①在对岸岸边选点A,所在一侧选点B和D,使点A、B、D在一条直线上,且与河岸垂直。
②确定点C、E,使CB⊥AD,DE⊥AD,且AD、EC交于点A。
③可测得BD=a,BC=b,DE=c,即可求河宽AB。
(答题时间:
30分钟)
1.某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖,为适应市场多样化需求,要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分,请你帮他们设计等分图案(至少设计两种)。
2.探究规律:
如图1,已知直线m//n,A、B为直线n上两点,C、P为直线m上两点。
图1
(1)请写出图1中,面积相等的各对三角形:
_______________________;
(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,总有_________与△ABC的面积相等。
理由是:
____________________________。
解决问题:
如图2,五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。
经过多年开垦荒地,现已变成如图3所示的形状,但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图3中折线CDE)还保留着。
张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。
请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案。
(不计分界小路与直路的占地面积)
(1)写出设计方案,并在图3中画出相应的图形;
(2)说明方案设计理由。
3.如图,这些等腰三角形与正三角形的形状有差异,我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。
在研究“正度”时,应保证相似三角形的“正度”相等。
设等腰三角形的底和腰分别为a、b,底角和顶角分别为α、β,要求“正度”的值是非负数。
同学甲认为:
可用式子|a-b|来表示“正度”,|a-b|的值越小,表示的等腰三角形越接近正三角形;
同学乙认为:
可用式子|α-β|来表示“正度”,|α-β|的值越小,表示的等腰三角形越接近正三角形。
探究:
(1)他们的方案哪个较为合理,为什么?
(2)对你认为不够合理的方案,请加以改进(给出式子即可);
(3)请再给出一种衡量“正度”的表达式。
4.现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖半径)。
请配合图形、文字说明测量方案,写出测量的步骤(要求写出两种测量方案)。
5.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元。
该商场为促销制定了两种优惠办法:
甲:
买一支毛笔就赠送一本书法练习本;
乙:
按购买金额打九折付款。
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x≥10)本。
(1)写出每种优惠办法实际付款金额
(元)、
(元)与x(本)之间的函数关系式;
(2)比较购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠办法付款更省钱;
(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买,也可以同时用两种优惠办法购买,请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。
6.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备。
现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表:
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
1
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元。
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
(3)在第
(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10年节约资金多少万元?
(注:
企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)
7.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下两底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木(如图)。
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/米2。
当△AMD地带种满花后,(图中阴影部分)共花了160元。
请计算种满△BMC地带所需的费用。
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/米2和10元/米2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金?
[参考答案]
http:
//
1.如图所示
2.探究规律:
(1)△ABC和△ABP,△AOC和△BOP,△CPA和△CPB;
(2)△ABP。
因为平行线间的距离相等,所以无论点P在m上移动到任何位置,总有△ABP与△ABC同底等高,因此,它们的面积总相等。
解决问题:
(1)画法如图
连结EC,过点D作DF//EC,交CM于点F,
连结EF,EF即为所求直路的位置。
(2)设EF交CD于点H,由上面得到的结论
可知:
S△ECF=S△ECD,S△HCF=S△EDH,
∴S五边形ABCDE=S五边形ABCFE
∴S五边形EDCMN=S四边形EFMN
3.解:
(1)同学乙的方案较为合理。
因为|α-β|的值越小,α与β越接近60°,因而该等腰三角形越接近于正三角形,且能保证相似三角形的“正度”相等。
同学甲的方案不合理,不能保证相似三角形的“正度”相等。
如:
边长为4,4,2和边长为8,8,4的两个等腰三角形相似,但|2-4|=2≠|4-8|=4。
(2)对同学甲的方案可改为用
、
等(k为正数)来表示“正度”。
(3)还可用|α-60°|、|β-60°|、|α+β-120°|、
等来表示“正度”。
4.解法1:
如图1,把井盖卡在角尺间,可测得AB的长度。
记井盖所在圆的圆心为O,连接OB、OC,由切线的性质得OB⊥AB,OC⊥AC。
又AB⊥AC,OB=OC,则四边形ABOC为正方形。
那么,井盖半径OC=AB,这样就可求出井盖的直径。
图1
(2)解法2:
如图2,把角尺顶点A放在井盖边缘,记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C(若角尺另一边无法达到井盖的边上,把角尺当直尺用,延长另一边与井盖边缘交于点C),度量BC长即为直径。
图2
解法3:
如图3,把角尺当直尺用,量出AB的长度,取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重合,有一边与CB重合,让另一边与井盖边交于D点,延长DC交井盖边于E,度量DE长度即为直径。
图3
解法4:
如图4,把井盖卡在角尺间,记录B、C的位置,再把角尺当作直尺用,可测得BC的长度。
图4
记圆心为O,作OD⊥BC,D为垂足,由垂径定理得
=DC=
,且∠BOD=∠COD。
由作图知∠BOC=90°,∴∠BOD=
×90°=45°
在Rt△BOD中,BO=
,这样就可求出井盖的半径,进而求得直径。
解法5:
如图5,把角尺当作直尺用,先测得AB的长度,记录A、B的位置,再量AC=AB,记录C的位置,然后测得BC的长度。
图5
作等腰三角形BAC底边BC上的高AD,D为垂足。
∵AD垂直平分BC
∴由垂径定理的推论可知AD一定过圆心O
由BD=
,可求出BD
∵AB已测出
∴在Rt△BDA中,根据勾股定理可求出AD
那么,在Rt△BDO中,
。
设井盖半径为r,则
∵BD、AD都已知
∴解一元二次方程就可求出井盖的半径r,这样就可求出井盖的直径。
5.解:
(1)依题意,得
;
(2)由
(1),有
若
得x=50
若
,解得x>50;
若
,解得x<50。
∴当购买50本书法练习本时,两种优惠办法的实际付款数一样,即可任选一种办法付款;当购买本数在10~50之间时,选择优惠办法甲付款更省钱;当购买本数大于50本时,选择优惠办法乙付款更省钱。
(3)①因为60>50,由
(2)知,不考虑单独选用优惠办法甲购买。
若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本,需付款(25×10+5×60)×90%=495(元)。
②若用优惠办法乙购买m支毛笔,则须用优惠办法甲购买(10-m)支毛笔,用优惠办法乙购买60-(10-m)=m+50本书法练习本,设付款总金额为P,则P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]×90%=2m+475(0≤m<10)。
∵P随m的增大而增大
∴当m=0,即用优惠办法甲购买10支毛笔,再用优惠办法乙购买50本书法练习本时,P取最小值为P最小值=2×0+475=475(元)。
答:
选用优惠办法甲购买10支毛笔和10本书法练习本,再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱。
6.解:
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型(10-x)台
由题意知,
∵x取非负整数,∴x可取0,1,2
∴有三种购买方案,购A型0台,B型10台;则A型1台,B型9台;购A型2台,B型8台。
(2)由题意得
当
,∴x为1或为2
当x=1时,购买资金为:
(万元);
当x=2时,购买资金为:
(万元)
∴为了节约资金,应选购A型1台,B型9台。
(3)10年企业自己处理污水的总资金为:
(万元)
若将污水排到污水厂处理,10年所需费用为:
244.8-202=42.8(万元)
∴能节约资金42.8万元。
7.
(1)解:
∵四边形ABCD是梯形
∴AD//BC
∴∠MAD=∠MCB,∠MDA=∠MBC
∴△AMD∽△CMB
∴
∵种植△AMD地带花费160元
∴
(
)
∴S△CMB=80(m2)
∴△BMC地带的花费为80×8=640(元)
(2)解:
设△AMD的高为
,△BMC的高为
,梯形ABCD的高为h
∵
,∴
∵
,∴
∴
∴S△AMB+S△DMC=180-20-80
=80(m2)
∴160+640+80×12=1760(元)
又160+640+80×10=1600(元)
∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金。
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