最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料.docx
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最新高中数学圆锥曲线解题技巧优秀名师资料
高中数学圆锥曲线解题技巧
篇一:
高中数学圆锥曲线解题技巧总结
解圆锥曲线问题的常用方法大全
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。
第一定义中,r1+r2=2a。
第二定义中,r1=ed1r2=ed2。
(2)双曲线有两种定义。
r1?
r2?
2a,当r1r2时,注意r2的最小值为c-a:
第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用
1
韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),
弦AB中点为M(x0,y0),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
xy0x2y2
?
k?
0。
(1)2?
2?
1(a?
b?
0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有022ababxy0x2y2
?
k?
0
(2)2?
2?
1(a?
0,b?
0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有022abab
(3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
【典型例题】
例1、
(1)抛物线C:
y2=4x上一点P到点A(3,42)
(2)抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH?
PFP、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR?
l交于R,则当B、Q、R最小。
2
解:
(1)(2,2)
连PF,当A、P、F三点共线时,AP?
PH?
AP?
PF最小,此时y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22),(注:
另一交点为(
1
?
2)2
1
(2)(
1
1)4
过Q作QR?
l交于R,当B、Q、R三点共线时,BQ?
QF?
BQ?
QR最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=
14,?
Q(14
1)点评:
这是利用定义将“点点距离”与“点线距离
”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
例2、F是椭圆x2y2
4?
3
?
1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,
(1)?
PF的最小值为
(2)?
2PF的最小值为
分析:
PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF?
题。
解:
(1)4-5
3
设另一焦点为F?
,则F?
(-1,0)连AF?
PF?
PA?
PF?
?
2a?
PF?
?
2a?
(PF?
?
)?
2a?
AF?
?
4?
当P是F?
A的延长线与椭圆的交点时,?
PF取得最小值为4-。
(2)3
作出右准线l,作PH?
l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,a=2,c=1,e=12
,?
PF?
1
2
PH,即2PF?
PH?
?
2PF?
?
PH
当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为a2
c
?
xA?
4?
1?
3
例3、动圆M与圆C1:
(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:
(x-1)2+y2=4分析:
作图时,要注意相切时的“图形特征”(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)等于半径”(如图中的MC?
MD)。
解:
如图,MC?
MD,
?
AC?
MA?
MB?
DB6?
?
MB?
2?
?
MB?
8(*)
2
x2y2
?
?
1?
点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b=15轨迹
4
方程为
1615
2
点评:
得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
(x?
1)2?
y2?
(x?
1)2?
y2?
4,再移项,平方,?
相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐~
例4、?
ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
3
sinA,求点A的轨迹方程。
5
分析:
由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。
解:
sinC-sinB=
33
sinA2RsinC-2RsinB=?
2RsinA553
BC5
?
AB?
AC?
即AB?
AC?
6(*)
?
点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)?
2a=6,2c=10?
a=3,c=5,b=4
x2y2
?
?
1(x3)所求轨迹方程为
5
916
点评:
要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。
分析:
(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12),B(x2,X22),又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。
解法一:
设A(x1,x12),B(x2,x22),AB中点M(x0,y0)
22
?
(x1?
x2)2?
(x12?
x2)?
9?
则?
?
?
x1?
x2?
2x0
?
?
22
x?
x?
2y120?
由?
得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9
即[(x1+x2)2-4x1x2]?
[1+(x1+x2)2]=9?
由?
、?
得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入?
得[(2x0)2-(8x02-4y0)]?
[1+(2x0)2]=9
3
2
?
4y0?
4x0?
6
9
,2
1?
4x0
2
4y0?
4x0?
992
?
(4x?
1)?
?
1022
4x04x0?
1
5
4
?
2?
1?
5,y0?
当4x02+1=3即x0?
?
5225
时,(y0)min?
此时M(?
)
4224
法二:
如图,2MM2?
AA2?
BB2?
AF?
BF?
AB?
3
?
MM2?
3,即25
?
MM1?
,当4
?
M到x
点评:
用梯形的中位线,转化为F,而且点Mx2y2
?
?
1(2?
m?
5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从
7
左到右依次变于A、例6、已知椭圆
mm?
1
B、C、D、设f(m)=AB?
CD,
(1)求f(m),
(2)求f(m)的最值。
分析:
此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B圆上,同样C在椭圆上,Df(m)?
(xB?
xA)2?
(xD?
xC)2?
2(xB?
xA)?
(xD?
?
2(xB?
xC)?
(xA?
xD)
4
?
2(xB?
XC)
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
x2y2
?
?
1中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0)解:
(1)椭圆
mm?
1
则BC:
y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0?
(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
2m
(2?
m?
5)
2m?
1
8
f(m)?
AB?
CD?
2(xB?
xA)?
(xD?
xC)2m
?
2(x1?
x2)?
(xA?
xC)?
2x1?
x2?
2?
2m?
1
(2)f(m)?
2
2m?
1?
11
?
2(1?
)
2m?
12m?
1
?
当m=5时,f(m)min?
2
942
3
当m=2时,f(m)max?
点评:
此题因最终需求xB?
xC,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差,得
x0yxx?
1m?
0?
k?
0,将y0=x0+1,k=1代入得0?
0?
0,?
x0?
?
,可见mm?
1mm?
12m?
1
xB?
xC?
?
2m
2m?
1
当然,解本题的关键在于对f(m)?
AB?
CD的认识,通过
9
线段在x轴的“投影”发现f(m)?
xB?
xC是解此题的要点。
【同步练习】
5
篇二:
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线
1、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
b2x0x2y2
在椭圆2?
2?
1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2;
ay0ab
b2x0x2y22
在双曲线2?
2?
1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线y?
2px(p?
0)中,以
abay0
p
P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。
y0
提醒:
因为?
?
0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验?
?
0~
2(了解下列结论
2222
10
(1)双曲线x?
y?
1的渐近线方程为x?
y?
0;
a2b2a2b2
2222
b
(2)以y?
?
x为渐近线(即与双曲线x?
y?
1共渐近线)的双曲线方程为x?
y?
?
(?
为参数,?
?
0)。
2222
aabab
22
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?
ny?
1;
2b2b2
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛
ac
物线的通径为2p,焦准距为p;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线y?
2px(p?
0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则?
|AB|?
x1?
x2?
p;
2
p2
y1y2?
?
p2?
x1x2?
4
11
(7)若OA、OB是过抛物线y?
2px(p?
0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
2
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
(1)在?
ABC中,给出AD?
AB?
AC,等于已知AD是?
ABC中BC边的中线;
2
?
?
(2)在?
ABC中,给出?
?
,等于已知O是?
ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(3)在?
ABC中,给出OA?
OB?
OC?
0,等于已知O是?
ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(4)在?
ABC中,给出?
?
?
?
?
,等于已知O是?
ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(5)给出以下情形之一:
?
AB//AC;?
存在实数?
使B?
?
AC;?
若存在实数
222
?
?
?
?
且?
?
?
?
1,使OC?
?
OA?
?
OB,等于已知A,B,C三点共线.
(6)给出?
?
0,等于已知MA?
MB,即?
AMB是直角,给
12
出?
?
m?
0,等于已知?
AMB是钝角,给出?
?
m?
0,等于已知?
AMB是锐角,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(8)
给出?
?
等于已知MP是?
AMB的平分线/(9)在平行四边形ABCD中,给出(?
)?
(?
)?
0,等于已知ABCD是菱形;
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(10)在平行四边形ABCD中,给出|AB?
AD|?
|AB?
AD|,等于已知ABCD是矩形;
4.圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、
(1)抛物线C:
y2=4x上一点P到点A(3,42)
(2)抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则PH?
PF,共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR?
l交于R,则当B、Q、R解:
(1)(2,2)
(2)(
1
1)4
x2
?
y2?
1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1、已知椭圆C1的方程为4
13
的左、右焦点。
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
y?
kx?
2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足
OA?
OB?
6(其中O为原点),求k的取值范围。
22
解:
(?
)设双曲线C2的方程为x?
y?
1,则a2?
4?
1?
3,再由a2?
b2?
c2得b2?
1.
22
ab
x2x22
?
y?
1.(II)将y?
kx?
2代入?
y2?
1得(1?
4k2)x2?
82kx?
4?
0.故C2的方程为34
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
1
?
1?
(82)2k2?
16(1?
4k2)?
16(4k2?
1)?
0,即k2?
.?
4
x2
将
y?
kx?
2代入?
y2?
1得(1?
3k
2)x2?
62kx?
9?
0.由直线l与双曲线C
14
2恒有两个不同的交点A,B
3
2
?
1?
1?
3k?
0,22得?
即k?
且k?
1.
222
3?
?
?
2?
(?
)?
36(1?
3k)?
36(1?
k)?
0.
?
9
设A(xA
yA),B(xB,yB),则xA?
xB?
x?
x?
A
B
1?
3k21?
3k2
?
?
?
?
?
?
?
?
由OA?
OB?
6得xAxB?
yAyB?
6,而xA
xB?
yAyB?
xAxB?
(kxA?
kxB?
?
(k2?
1)xAxB?
(xA?
xB)?
2
?
(k?
1)?
2
?
9?
2
1?
3k23k2?
7
?
2.3k?
1
3k2?
715k2?
1313122
于是2?
6,即?
0.解此不等式得k?
或k?
.?
2
3k?
13k?
1153
15
由?
、?
、?
得
1113
?
k2?
或?
k2?
1.4315
故k
的取值范围为(?
1,11?
(?
)?
(?
222.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MA?
AB=MB?
BA,M点的轨迹为曲线C。
(?
)求C的方程;(?
)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(?
)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得知?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(MA+MB)?
AB=0,即(-x,-4-2y)?
(x,-2)=0.
12121'1x-2.(?
)设P(x0,y0)为曲线C:
y=x-2上一点,因为y=x,所以l的斜率为x0442212
因此直线l的方程为y?
y0?
x0(x?
x0),即x0x?
2y?
2y0?
x?
0。
2
所以曲线C的方程式为y=
12
x0?
4112?
?
2,则O点到l
的距离d?
.又y0?
x0?
2,所以d?
422
16
当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.
2
x2y22
3.设双曲线2?
2?
1(a,0,b,0)的渐近线与抛物线y=x+1相切,则该双曲线的离心率等于()
ab
x2y2?
4.过椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若?
F1PF2?
60,则椭圆的
ab
离心率为
x2y2
?
2?
1(b?
0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y?
x,点P(,y0)在双曲线5.已知双曲线
2b
上.则PF1?
PF2,()0
2
6.已知直线y?
k?
x?
2?
?
k?
0?
与抛物线C:
y?
8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|?
2|FB|,则
k?
()
7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。
若AB的中点为(2,
17
2),则直线l的方程为_____________.
x2y2
?
?
1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|?
4,则|PF2|?
?
F1PF2的大小为8.椭圆92
篇三:
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]
(1)
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:
椭圆中,与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于F1F2,当常数等于F1F2时,轨迹是线段F1F2,当常数小于F1F2时,无轨迹;双曲线中,与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与2a,|F1F2|不可忽视。
若2a,|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线,若2a,|F1F2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如
?
8表示的曲线是_____(答:
双曲线的左支)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
abab
方程Ax2?
By2?
C表示椭圆的充要条件是什么,(ABC?
0,且A,B,C同号,A?
B)。
(1)椭圆:
焦点在x轴上时
18
x
22
?
y
22
(a?
b?
0),焦点在y轴上时?
1
y
22
?
x
22
1(a?
b?
0)。
若x,y?
R,且3x2?
2y2?
6,则x?
y的最大值是____,x2?
y2的最小值是___
2)。
方程?
2=1,焦点在y轴上:
2?
2,1(a?
0,b?
0)2
abab
22
。
Ax?
By?
C表示双曲线的充要条件是什么,(ABC?
0,且A,B异号)
如设中心在坐标原点O,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e?
则C的方程为_______(答:
x2?
y2?
6)
(3)抛物线:
开口向右时y2?
2px(p?
0),开口向左时
19
y2?
?
2px(p?
0),开口向上时
x?
2py(p?
0),开口向下时x?
?
2py(p?
0)。
2
2
(2)双曲线:
焦点在x轴上:
x
2
y
2
y
2
x
2
2的双曲线C过点P(4,?
),
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后
再判断):
(1)椭圆:
由x2,y2分母的大小决定,焦点在分母大的
坐标轴上。
如已知方程
x
2
m?
1
20
?
y
2
2?
m
?
1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
3
(?
?
?
1)?
(1,))
2
(2)双曲线:
由x
2
y
2
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
222222
提醒:
在椭圆中,a最大,a?
b?
c,在双曲线中,c最大,c?
a?
b。
4.圆锥曲线的几何性质:
?
2?
1(a?
b?
0)为例):
?
范围:
?
a?
x?
a,?
b?
y?
b;?
焦点:
两2ab
个焦点(?
c,0);?
对称性:
两条对称轴x?
0,y?
0,一个对称
21
中心(0,0),四个顶点(?
a,0),(0,?
b),
(1)椭圆(以
x
2
y
2
其中长轴长为2a,短轴长为2b;?
准线:
两条准线x?
?
e
越小,椭圆越圆;e越大,椭圆越扁。
a
2
c
;?
离心率:
e?
ca
,椭圆?
0?
e?
1,
如
(1)若椭圆
x
2
3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积
最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为
5
m
22
5
?
y
2
?
1的离心率e?
,则m的值是__(答:
3或
25
);
__(答:
22)
ab
两个焦点(?
c,0);?
对称性:
两条对称轴x?
0,y?
0,一个对
称中心(0,0),两个顶点(?
a,0),其
2
2
(2)双曲线(以
x2
?
y2
:
?
范围:
x?
?
a或x?
a,y?
R;?
焦点:
?
1(a?
0,b?
0)为
例)
中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的
长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为x?
y?
k,k?
0;?
23
准线:
两条准线x?
?
2
2
a
2
c
;?
离心率:
e?
ca
,双曲线?
e?
1
bax。
p
?
e?
e越小,开口越小,e越大,开口越大;?
两条渐近线:
y?
?
(3)抛物线(以y2?
2px(p?
0)为例):
?
范围:
x?
0,y?
R;
?
焦点:
一个焦点(
0),其中p
2
的几何意义是:
焦点到准线的距离;?
对称性:
一条对称
轴y?
0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
?
准线:
一条准线x?
?
p2
;?
离心率:
e?
24
ca
,抛物线?
e?
1。
116a
如设a?
0,a?
R,则抛物线y?
4ax2的焦点坐标为________
(答:
(0,5、点P(x0,y0)和椭圆
xa
22
;))
x0a
22
?
yb
22
(1)点P(x0,y0)在椭圆外?
?
1(a?
b?
0)的关系:
x0a
22
?
y0b
2
2
?
1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上?
?
25
y0b
2
2
1;(3)点P(x0,y0)在椭圆内?
x0a
22
?
y0b
2
2
?
1
6(直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
?
?
0?
直线与椭圆相交;?
?
0?
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有?
?
0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故?
?
0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;?
?
0?
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有?
?
0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故?
?
0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:
?
?
0?
直线与椭圆相切;?
?
0?
直线与双曲线相切;?
?
0?
直线与抛物线相切;
26
(3)相离:
?
?
0?
直线与椭圆相离;?
?
0?
直线与双曲线相离;?
?
0?
直线与抛物线相离。
提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线
x
22
ab
公共点的情况如下:
?
P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;?
P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;?
P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;?
P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行
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