余弦定理知识点总结与复习.docx
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余弦定理知识点总结与复习
余弦定理教师:
lihao
(1)语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的
余弦的积的两倍.
(2)公式表达
2
a=
2
b=
2
c=
c2=
已知△ABC中,a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求△ABC
各角的度数.
思路点拨:
由题目可获取以下主要信息:
①已知三边比例;
②求三角形的三内角.
解答本题可应用余弦定理求出三个角
[解题过程]∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),
∴令a=2k,b=6k,c=(3+1)k.
由余弦定理,有
cosA=
2+c2-a2
b
=
2bc
2-4
6+3+1
=
26×3+1
2
,
2
∴A=45°.
cosB=
2+c2-b2
a
=
2ac
2-6
4+3+11
=,
2
2×2×3+1
∴B=60°.∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
[题后感悟]此题为“已知三边,求三角形的三个角”类型问题,基本解法是先利用余弦定
理的推论求一个角的余弦,再判定此角的取值,求得第一个角,再用正弦定理求出另一个角,
最后用三角形内角和定理,求出第三个角(一般地,先求最小角,再求最大角)
1.在△ABC中,已知a=26,b=6+23,c=43,
求角A,B,C.
解析:
在△ABC中,由余弦定理得,
cosC=
2+b2-c2
a
=
2ab
2-6+232-432
26
2×26×6+23
=
243+1
2423+1
=
2
2.
2
∴C=45°,sinC=
2.
由正弦定理得:
sinA=
26×
asinC
c
=
43
2
2
=
1
2.
∵a ∴A=30°. ∴B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°. 已知: 在△ABC中,b=3,c=3,B=30°,解此三角形. [解题过程]方法一: 由余弦定理: b2=a2+c2-2accosB得 (3)2=a2+32-2×a×3×cos30° ∴a2-33a+6=0 ∴a=3或a=23 当a=3时,b=3,A=30°,C=120°. asinB23sin30° 当a=23时,由正弦定理sinA==1. b= 3 ∴A=90°,C=60°. 方法二: 由b 由正弦定理,得sinC= 33× csinB = b3 1 2 = 3 2 ∴C=60°或120°. 当C=60°时,A=90° 由勾股定理a=b2+c2=23. 当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形. ∴a=3. [题后感悟]可比较两种方法,从中体会各自的优点,三角形中已知两边及一角,有两种解 法,从而摸索出适合自己思维的解题规律和方法.方法一利用余弦定理列出关于a的等量关 系建立方程,运用解方程的方法求出a边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.方法二直接运 用正弦定理,先求角再求边. 2.若将题中条件改为“b=3,c=2,A=30°”,应如何求解三角形? 解析: 直接运用余弦定理: 2=b2+c2-2bccosA=32+(23)2-2×3×23×cosa 30°=3, 从而a=3, 2+c2-b2 a ∴cosB= = 2ac 2+232-32 3 = 2×3×23 6 = 12 1 2 , ∴B=60°, ∴C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 3.在△ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为 a,b,c,若a=23,b=6,A=45°,求边长c. 解析: 方法一: 在△ABC中,根据余弦定理可得a2 =b2+c2-2bccosA,即c2-23c-6=0,所以c=3±3.因 为c>0, 所以c=3+3. bsinA 方法二: 在△ABC中,由正弦定理得sinB= = a 2 6× 21 =
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