不等长
(a1,a2,……,an)<(b1,b2,……,bm)
Ifn=mIfnm(a1,a2,……,am)<(b1,b2,……,bm)
12
定理2.偏序集的有向图中没有长度大于1的圈。
4
2
3
哈斯图HasseDiagram
1
paritalorder,digraphandthematrixofD6?
从关系图到哈斯图
Deletingalltheself-circles
Deletingalltheedgeswhichcanbeinducedbytransiveproperty
Replacingverticesbydots
Makesurethegreaterelementsarelocatedathigherplace.
例11.D12的哈斯图?
0
例12.S={a,b,c},A=P(S).
问题(6.1.1)
给定偏序关系R,哈斯图是否唯一?
计算哈斯图的算法?
传递闭包逆运算?
拓扑排序
(A,≤)是偏序集,构造一个线性序(A,≤’)使a算法原理:
1.选择一个没有前驱的顶点输出,
2.去掉这个顶点以及从这点出发的所有边。
重复1.2.直到所有顶点都输出完毕
时间复杂性?
O(n3)
同构Isomorphic
定义
f:
(A,≤)→(A’,≤’)
f是A→A’的一一对应,
a≤bifff(a)≤’f(b)。
例15.(Z,≤)→(2Z,≤)
f:
(Z,≤)→(2Z,≤)是同构。
f(a)=2a
a≤biff2a≤2b
定理3.设f:
(A,≤)(A’,≤’)。
则A,A’对应的性质都相同。
序同构与哈斯图的关系
1.如果f是同构,则A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f(a),得到A’的哈斯图。
2.如果A的哈斯图中所有标记a换成对应的标记f(a),得到A’的哈斯图,则f是同构。
例17.A={1,2,3,6},A’=P({a,b})={,{a},{b},{a,b}}
HomeworkP200-201
5,6,14,16,24,28,35,36
§6.2偏序集的极大极小元ExtremalelementsofPartialOrderedSets
极大元maximalelement:
a∈A,b∈A,a极小元minimalelement:
a∈A,b∈A,b定理1.有限偏序集A中,至少有一个极大元,至少有一个极小元。
最大元greatestelement:
a∈A,任意b∈A,ba.
最小元leastelement:
a∈A,任意b∈A,ab.
定理2.类似定理1
偏序集A中,至多有一个最大元,至多有一个最小元。
偏序集A中,如果有最大元,称之为单位元1,如果有最小元,称之为零元0。
上界upperbound
偏序集A中,BA,a∈A,b∈B,ba.
下界lowerbound
偏序集A中,BA,a∈A,b∈B,ab.
上确界LUBleastupperbound
偏序集A中,BA,a是B的最小上界,即a是B的上界,对B的任意上界a’,aa’.
下确界GLBgreatestlowerbound
偏序集A中,BA,a是B的最大下界,即a是B的下界,对B的任意下界a’,a>a’.
定理3.偏序集A中,BA,B至多一个上确界,至多一个下确界。
定理4.设f:
(A,≤)→(A’,≤’)
是偏序同构,
(a)a是A的极大(极小)元,则f(a)是A’的极大(极小)元。
(b)a是A的最大(最小)元,则f(a)是A’的最大(最小)元。
(c)BA,a是B的上(下)界,则f(a)是f(B)的上(下)界
(d)BA,a是B的上确(下)界,则f(a)是f(B)的上(下)确界
HomeworkP206-207
16,26,33
§6.3格Lattices
定义格是一个偏序集(L,≤),任意a,b∈L,a,b有上下确界。
令a∨b=LUB(a,b),
a∧b=GLB(a,b).
格(L,≤,∨,∧)
例1.(P(S),)是格,
A∨B=A∪B,A∧B=A∩B。
记做(P(S),,∪,∩)
例2.(Z+,|)是格,
a∨b=LCM(a,b),
a∧b=GCD(a,b).
例3.令Dn是n的所有正因子的集合,(Dn,|)是格。
D20={1,2,4,5,10,20},D30={1,2,3,5,6,10,15,20}
线性序是格
例4.Hasse图是否格的判断。
例5.R:
A上全体等价关系,偏序(R,)是格。
R∧S=R∩S
R∨S=(R∪S)∞
设(L,≤)是格,则对偶(L,≥)也是格。
问题6.3.11)格的判定算法?
2)格的运算表生成?
定理1.乘积格
设(L1,≤,∨,∧),
(L2,≤,∨,∧)都是格。
则(L1×L2,≤,∨,∧)也是格。
(a,b)∨(c,d)=(a∨c,b∨d)
(a,b)∧(c,d)=(a∧c,b∧d)
子格sublattice
设(L,≤)是格,SL,S对∨,∧封闭,
即a,b∈Sa∨b,a∧b∈S。
记做(S,≤,∨,∧)(L,≤,∨,∧)或格SL。
例如(Dn,|,LCM,GCD)(Z+,|,LCM,GCD)
例9
格的同构IsomorphicLattices
f:
(L1,≤,∨,∧)→(L2,≤,∨,∧),
f是L1到L2的序同构,则f保持
∨,∧运算,
f(a∨b)=f(a)∨f(b)
f(a∧b)=f(a)∧f(b)
格同构也记做L1L2。
D6P({a,b}).
问题(6.3.2)1)Dn同构与(P(S),≤)的充分必要条件?
2)Dn同构与Dm的充分必要条件是什么?
格的性质PropertiesofLattices
定理2
设L是格,
则a≤ba∨b=ba∧b=a.
定理3.
设L是格,则L具有如下性质:
幂等律
a∨a=a,a∧a=a
交换律
a∨b=b∨a,a∧b=b∧a
结合律
a∨(b∨c)=(a∨b)∨c,
a∧(b∧c)=(a∧b)∧c
吸收律
a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a
定理3’
设集合L上有运算∨,∧,(L,∨,∧)满足幂等律,交换律,结合律,吸收律,则L是格。
证明.
1)a∨b=biffa∧b=a。
a∧b=a∧(a∨b)=a.
a∨b=a∨(a∧b)=a.
2)定义L上≤关系:
a≤biffa∨b=biffa∧b=a。
3)≤是L上偏序:
1)自反性:
由a∨a=a,得a≤a
2)反对称性:
设a≤b,b≤a,
a=a∧b=b∧a=b,
3)传递性
设a≤b,b≤c,
a∨c=a∨(b∨c)=(a∨b)∨c=b∨c=c
a≤c
4)a∨b,a∧b分别是上下确界
a∨b上界:
a∧(a∨b)=a,a≤a∨b
b∧(a∨b)=b,b≤a∨b
a∨b上确界
设a≤c,b≤c,
(a∨b)∨c=a∨(b∨c)=a∨c=c
a∨b≤c
a∨b是a,b的最小上界。
定理4.
设L是格,
1)如果a≤b,则
(a)a∨c≤b∨c
(b)a∧c≤b∧c
2)a≤c,b≤ciffa∨b≤c
3)c≤a,c≤biffc≤a∧b
4)如果a≤b,c≤d则
a∨c≤b∨d且a∧c≤b∧d
有界格
有界格Boundedlattice:
有最大元1,最小元0的格叫有界格。
L是有界格,则对任意a∈L,
有0,1律成立。
1)0≤a≤1
2)a∨0=a,a∧0=0
3)a∨1=1,a∧1=a
定理5.L是有限格,则L有界。
分配格DistributiveLattice:
1.a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)
2.a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)
12
(a∨b)∧(a∨c)
=((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c)
=a∨((a∨b)∧c)
=a∨((a∧c)∨(b∧c))
=a∨(b∧c)
例16.格(P(S),∪,∩)是分配格。
1
1
例18.下列格
b
c
a
a
b
c
0
0
定理6格L不是分配格当且仅当L含有例18中的子格。
可补格ComplementLattice.
有界格L是可补格,如果任意a∈L,有a’∈L,使
a∨a’=1,a∧a’=0.
称a’为a的补元。
0
例19.格(P(S),∪,∩)是可补格。
例21.D20,D30都是可补格。
定理7.设L是有界格,a∈L,如果a有补元,则其补元唯一。
证明.
设a’,a”都是a的补元。
则a’=a’∨0=a’∨(a∧a”)
=(a’∨a)∧(a’∨a”)
=a’∨a”
a”=a”∨0=a”∨(a∧a’)
=(a”∨a)∧(a”∨a’)
=a’∨a”
因此a’=a”.
HomeworkP216-217
12,14,18,21,23,24,27,31,33
§6.4有限布尔代数
FiniteBooleanAlgeblas
定理1设S1={x1,x2,……,xn},S2={y1,y2,……,yn},则格(P(S1),)(P(S2),).
证明.令f:
S1→S2,
f(xi)=yi,i=1,2,……,n.
则f:
P(S1)→P(S2)是格同构。
1.任意A∈P(S1),AS1,
f(A)S2,是一一对应。
2.任意A,B∈P(S1),AB,
f(A)f(B).f保序。
定义:
|S|=n,格(P(S1),)记做Bn
Bn是布尔代数。
定理2.n=p1p2……pk时,Dn是布尔代数。
证明.令S={p1,p2,……,pk}
Dn中的元素m=pk1*,...,pkm
P(S)中的元素T={pk1,…,pkm}
f:
P(S)→Dn
f(T)=pk1*…*pkm
只需证明f是同构对应。
1)f是一一映射
2)T1T2→f(T1)|f(T2)
显然成立
例D1001是布尔代数。
定理3.设B是布尔代数,x,y∈B,
1.(x’)’=x,
2.(x∧y)’=x’∨y’.De.Morgan律
3.(x∨y)’=x’∧y’
布尔代数的性质:
交换律commutativeproperties
x∧yy∧x
x∨yy∨x
结合律associativeproperties
(x∧y)∧rx∧(y∧r).
(x∨y)∨rx∨(y∨r).
分配律distributiveproperties
x∧(y∨r)x∧y∨x∧r.
x∨(y∧r)(x∨y)∧(x∨r).
幂等律idempotentproperties
x∨xx.
x∧xx.
双重否定propertyofnegation
9.x’’x
DeMorgan’slaw
10.(x∨y)’x’∧y’
11.(x∧y)’x’∨y’
吸收律
12x∨(x∧y)=x
13x∧(x∨y)=x
01律
14.x∨0=x,x∧0=0
15.x∨1=1,x∧1=x
16.x∨x’=1,x∧x’=0
17.1’=0,0’=1
例7.P230图6.62不是布尔代数。
例8.p2|n,p是素数,则Dn不是布尔代数。
证明.
设Dn是布尔代数。
p2|n,n=p2k.p∈Dn,p’∈Dn。
p∧p’=0,GCD(p,p’)=1,
p∨p’=1,LCM(p,p’)=n.
GCD(p,p’)=1~p|p’.
LCM(p,p’)=n=p2kp|p’.
矛盾。
例9.D12不是布尔代数。
定理4.BnB×B×……×B
BnB×B×……×B,n个
B的卡氏积。
证明.
令f:
Bn→B×B×……×B
S={x1x2……xn},Bn=P(S).
Bn中任意元素A={xk1,…,xkm}
B×B×……×B中的任意元素a=(a1,…,an),ai{0,1}
令f(A)=(a1,…,an)
IfxiAthenai=1
IfxiAthenai=0
其中
只需证明f是同构对应。
1)f是一一映射
2)ABiff(a1,…,an)≤(b1,…,bn),
显然成立
Bn=B×B×……×B
设x=a1a2……ak,y=b1b2……bk∈Bn
1.x≤yiffak≤bk,k=1,2,……,n
2.x∧y=c1c2……ck,ck=min{ak,bk}
3.x∨y=d1d2……dk,dk=max{ak,bk}
4.x’=z1z2……zk,zk=ak’.
HomeworkP224-225
16,18,20,22,24,26
§6.5布尔函数FunctiononBooleanAlgebra
布尔函数定义f:
Bn→B,
0元的布尔函数
0,1
1元的布尔函数
X
F0
F1
F2
F3
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
2元的布尔函数
X1
X2
F0
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
名称
0
*
多元的布尔函数
f(x1,x2,……,xn)
x1
x2
x3
f(x1,x2,x3)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
布尔函数的公式表示:
布尔多项式BooleanPolynomials
布尔表达式Booleanexpression
p(x1,x2,……,xn):
1.单个变元xi,1≤i≤n,是布尔多项式。
2.0,1是布尔多项式。
3.若p(x1,x2,……,xn),q(x1,x2,……,xn)是布尔多项式,则p(x1,x2,……,xn)∨q(x1,x2,……,xn),p(x1,x2,……,xn)∧q(x1,x2,……,xn),
(p(x1,x2,……,xn))’,也是布尔多项式。
(x∨y)∧z,(x∨y’)∨(y∧1),
(x∨(y’∧z))∨(x∧(y∧1)),
都是布尔多项式。
范式normalformulas
析取范式
极小项
命题变元p1,p2,……,pn的极小项
minimalterms
Q1∧Q2∧……∧Qn
其中每个
Qi=pi或~pi1≤i≤n.
p1p2…pn有2n个极小项。
p1p2p3的8个极小项为
p1∧p2∧p3,p1∧p2∧~p3,
p1∧~p2∧p3,~p1∧p2∧p3,
p1∧~p2∧~p3,~p1∧~p2∧p3,
~p1∧p2∧~p3,~p1∧~p2∧~p3。
每个极小相,只有一个对应的成真赋值。
p,q,r的8个极小项对应的赋值:
若干极小项的析取叫析取范式
normaldisjunctionformulas
定理每个可满足的命题公式都等价于唯一一个析取范式。
先给出命题公式的真值表,找出取值为1的所有赋值,这些赋值对应的基本合取项的析取就是所求的析取范式。
也可以通过等价变换得到析取范式:
p→(q→r)~p∨~q∨r~p∧(q∨~q)∧(r∨~r)∨(p∨~p)∧~q∧(r∨~r)∨(p∨~p)∧(q∨~q)∧r
~p∧q∧r∨~p∧~q∧r∨~p∧q∧~r∨~p∧~q∧~r∨p∧~q∧r∨p∧~q∧~r∨~p∧~q∧r∨~p∧~q∧~r∨p∧q∧r∨p∧~q∧r∨~p∧q∧r∨~p∧~q∧r
~p∧q∧r∨~p∧q∧~r∨~p∧~q∧~r∨p∧~q∧r∨p∧~q∧~r∨~p∧~q∧r∨~p∧~q∧~r∨p∧q∧r
合取范式
命题变元p1,p2,……,pn的基本析取项
basicdisjunctionterms
Q1∨Q2∨……∨Qn
其中每个
Qi=pi或~pi1≤i≤n.
p1p2…pn有2n个基本合取项。
p1p2p3的8个基本合取项为
p1∨p2∨p3,p1∨p2∨~p3,
p1∨~p2∨p3,~p1∨p2∨p3,
p1∨~p2∨~p3,~p1∨~p∨p3,
~p1∨p2∨~p3,~p1∨~p2∨~p3。
命题变元p1,p2,…,pn的赋值σ(p1,p2,…,pn)对应的基本析取项:
Q1∨Q2∨……∨Qn
其中每个
Qi=piifpiσ=0
Qi=~piifpiσ=1.
设Q1∨Q2∨……∨Qn是命题变元p1,p2,…,pn的一个基本析取项,σ是p1,p2,…,pn的一个赋值,
(Q1∨Q2∨……∨Qn)σ=0
当且仅当
Q1∨Q2∨……∨Qn是σ对应的基本析取项。
若干基本析取项的合取叫合取范式
Normalconjunctionformulas
定理每个不恒真的命题公式都等价于唯一一个合取范式。
先给出命题公式A的真值表,找出取值为0的所有赋值,这些赋值对应的基本析取项的合取就是A的合取范式。
也可以先给出~A的析取范式,再用DeMorgan律算出A的合取范式。
布尔函数的门电路表示:
联结词的全功能集functionalcompletesetoflogicalconnectives
定义F={f1,…fm}为m个真值函数的集合,若任意的n元真值函数h(x1,…,xn)都可以由f1,…,fm来构造,就说F是一个全功能集
常见全功能集
{~,∨,∧}是一个全功能集。
每个命题公式都能表示为析取范式,可以只用~,∨,∧做联结词。
{~,∧},{~,∨}也是全功能集。
由p∨q~(~p∧~q)
p∧q~(~p∨~q)
{~,→}也是全功能集
由p∨q~p→q知
{↑},{↓}也是全功能集。
↑与非p↑q~(p∧q)
↓或非p↓q~(p∨q)
p
q
p↑q
p↓q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
~pp↑pp↓p
p∧q~(p↑q)(p↑q)↑(p↑q)
p∨q~(p↓q)(p↓q)↓(p↓q)
如何证明一组函数是全功能集?
常见的非全功能集
{∨},{∧},{→},{~,}都不是全功能集。
如何证明一组函数不是全功能集?
真值函数的性质
1)1保持的f(1,1,…,1)=1;
2)0保持的f(0,0,…,0)=0;
3)单调的.任意(x1,..,xn)(y1,…,yn)有f(x1,..,xn)f(y1,…,yn)
4)自对偶的。
f(x1,..,xn)=f(x1,..,xn)
5)计数的。
每个变量要么是哑变量,要么是计数变量。
Post定理
HomeworkP229
4,6,8,11,14,15,16,17,18
§6.6线路设计CircuitDesigns
定义
设f:
Bn→B是一个布尔函数,
令S(f)={b∈Bn|f(b)=1}
定理1.令f,f1,f2都是Bn到B的布尔函数。
(a)如果S(f)=S(f1)∪S(f2),
则对任意b∈Bn,f(b)=f1(b)∨f2(b)
(b)如果S(f)=S(f1)∩S(f2),
则对任意b∈Bn,f(b)=