高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题论文.docx

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高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题论文

摘要

本文就某市的实际情况与需求，合理的建立了有关交巡警服务平台设置与调度的模型，通过图论模型、规划模型以及计算机程序的结合，对题中所述问题进行了求解，获得了比较满意的结果。

对于问题一，首先将出警时间的约束转换为距离约束，分别利用朴素的覆盖点集以及微变量逐次调控的方法，得出了该问题的预分配方案以及最后的优化方案。

问题一的第二个子问题是匹配问题，我们通过0-1变量match来标记每个交巡警服务平台是否参与道路的封锁。

则当封锁路口时，需要全部13个路口全部封锁才能达到目的。

警车到达节点所花费的时间应该以最后一个到达对应的节点的警车所需要的时间来决定。

于是借助MATLAB程序来解决此问题，由上文可得目标函数为：

，得到一个最佳的调度方案，封堵完成的最短时间约为8分钟。

第三个子问题作为对第一个子问题的优化补充，我们基于前面的结果对各站点的工作量进行尽量的均衡分配，根据再分配的结果，在满足各个服务站点工作量平衡的前提下，得出结论分别要在编号为42,57,62,90的四个交点上添加4个新的服务站。

对于问题二，采取与问题一的第三个子问题相同的原则和任务要求，针对全市现有的服务平台数量进行平台管辖范围的分配，分配原理与问题一的第一个子问题基本类似，只是数据规模的一个扩大问题。

而在后来的模型优化过程中，我们引入人口密度的因素，对现有服务平台管辖范围进行重新分配。

并利用工作量的均衡性来度量设置方案合理性。

最后，对于问题二的最后一个子问题，我们建立了最佳围堵方案模型。

考虑到警力资源的限制，不可能完全将该区域的任何一个点都围堵住,这时就需要在原有围堵的基础上改进方案，在那些未被围住的点继续以3分钟的圈往外延伸。

最后得出合理的围堵方案。

关键词：

0-1规划变量微调工作量均衡度

一、问题重述

警察肩负着刑事执法，治安管理，交通管理，服务群众四大职能。

为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。

如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台，分配各平台的管辖范围，调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

试就某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题：

（1）附件1中的附图1给出了该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况示意图。

请为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内出现突发事件时，尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地。

对于重大突发事件，需要调度全区20个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。

实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，请给出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案。

根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟在该区内再增加2至5个平台，请确定需要增加平台的具体个数和位置。

（2）针对全市的具体情况，按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。

如果有明显不合理，请给出解决方案。

如果该市地点P处发生了重大刑事案件，在案发3分钟后接到报警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。

为了快速搜捕嫌疑犯，请给出调度全市交巡警服务平台警力资源的最佳围堵方案。

二、问题假设

（1）每个交巡警平台的职能与警力的配置相同；

（2）不考虑警车启动与停止，路上受到阻碍所花费的时间；

（3）假设巡警都按最短路径到达各案发路口；

（4）假设犯罪案件都在路口上发生；

（5）道路均为双向；

（6）假设城区内道路无限速；

（7）假设犯罪案件不会在同一时间内发生多起；

（8）交巡警服务平台的节点的犯罪案件的解决不花费时间；

（9）假设犯罪车辆逃跑与警车的追赶速度相同；

三、符号说明

s1：

交巡警管辖距离；

v1：

警车的平均速度；

v2：

嫌疑人逃跑的平均速度；

t0：

警车到达案发路口的时间限制；

li：

各点到管辖它的交巡警平台的距离；

：

各点的发案率；

Ai：

各点的工作量；

zi：

各节点到管辖它的交巡警服务平台的距离；

xi：

第i个节点的横坐标；

yi：

第i各节点的纵坐标；

d：

两节点之间的距离；

cost（i，j）：

i，j两点的实际最短距离；

四、模型预处理

（1）交巡警服务平台的管辖范围：

该问题要求在道路交点出现突发事件时，交巡警尽量能在3分钟内到达事发点。

由于警车的时速均衡且为60km/h，所以可以将时间限制转换为距离限制，由于

，可求出交巡警在时间限制内管辖范围的最大半径为3km。

为了处理方便，我们使得交巡警服务平台以一整段路为标准来管辖各路段。

同时根据附件2所给内容，基于各个路口的发案率，假设案件均发生在交叉路口。

由此，即可将路段管理转化为对路口的管辖。

当突发事件发生时，警车立即出动至所管辖的案发点。

（2）交巡警服务平台布置的合理性：

该问题主要考虑的是交巡警服务平台的工作量均衡问题，由于A区不同地域节点的密度不同，而且发案率也不相同，所以工作量可以表示为li与

的乘积，即

。

对每个交巡警服务点所管辖的范围以交点为单位，按照工作量均衡的原则去逐个改变交点所属的辖区，最终使各个交巡警平台的工作量达到最优均衡状态。

五、问题一的解决

问题1.1

由于两节点间的距离公式为：

，借助C语言程序（见附录1），可得到各交巡警服务平台（共20个，编号1-20）到各节点（共72个，编号21-92）的距离小于3km的各节点编号，得到下表

交巡警服务平台编号

可管辖的节点编号

1

424344636465666768697071727374757677787980818283

2

4041424344646566676869707172737475767778

3

3839404344545563646566676869707576

4

54555657586062636465666768757677

5

30323346474849505152535657585961

6

3032474849505152535657585961

7

30313233343546474849

8

30313233343536374546474849525356

9

313233343536374546

10

无

11

2125262728

12

242528

13

21222324

14

26

15

31

16

3233343536374546

17

4041424344676869707172737478

18

42686971727374757677787980818283848586878889909192

19

636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192

20

808182838485868788899091

表1

对于表1，有以下四种特殊情况：

1.同一个节点被分到不同的交巡警服务平台管辖范围之内；

2.有些节点没有被交巡警服务平台所管辖；

3.有些交巡警服务平台没有管理任何节点；

4.有些距离交巡警服务平台3km以内的节点实际路程大于3km。

对于1，在处理时，先按照每个交巡警服务平台所管辖的节点的多少将其进行升序排列，优先处理管辖的节点较少的平台，每处理完一个平台之后，删除后面平台所管辖的与之重复的节点，然后重新按照每个平台所管辖的交点的多少将其进行升序排列，重复进行判断和删减，直到所有重复的点都被删除。

对于2，将没有被交巡警服务平台所管辖的节点划到离其最近的交巡警服务平台的管辖范围内。

对于3，暂不考虑，在问题1的第三小问中解决。

对于4，在解决1之前，结合附录1中的图1，将距离某个交巡警服务平台实际路程大于3km的节点在表1中将其编号删除。

根据上述方法把表1处理后，得到表2，其中28,29,38,39,61,92没有任何交巡警服务平台可以在规定的半径内管辖它们，所以将这六个点划归到离它们最近的交巡警服务平台管辖。

交巡警服务平台编号

可管辖的节点编号

1

无

2

38697173747578

3

2829445455676876

4

5758606263646566

5

4953

6

47485051525659

7

3032

8

无

9

无

10

无

11

2627

12

2561

13

21222324

14

39

15

31

16

343536374546

17

777980

18

无

19

无

20

818283848586878889909192

表二

这样分配管辖范围都可以使每个交巡警服务平台的警车在有事故时能够尽快到达事发地点。

但忽略了每个服务站工作负担的因素，导致某些工作站工作压力过大，而且有的交巡警服务平台没有工作机会，这个问题将会在第三小问中解决。

问题1.2

抽象为一个20对13的匹配问题来求解，其中对于每个交巡警服务平台是否参与道路的封锁用户0-1变量match来标记（若第i个交巡警服务平台负责第j个出口处的堵截，则match（i,j）=1，反之则为0）。

要求各节点警力到达封锁路口所花费的时间应尽可能短。

当封锁路口时，需要全部13个路口全部封锁才能达到目的。

警车到达节点所花费的时间应该以最后一个到达对应的节点的警车所需要的时间来决定。

借助MATLAB程序（见附录2）来解决此问题，由上文可得目标函数为：

约束条件为：

1.每一个服务站最多出动去一个路口（i，j的组合唯一）；

2.每个通往其他区的路口都要有相应的服务站的警车去封锁；

3.各节点警力到达封锁路口所花费的时间应尽可能短。

根据上面C语言程序的结果，结合附录，最优条件下的匹配方式为：

（3,16），（4,48），（5,30），（7,29），（10,12），（11,24），（12,23），（13,22），（14,21），（15,28），（16,14），（19,38），（20,62）。

其中所求的目标函数结果为8015.457。

所以结论为：

1.2.6.8.9.17.18号平台的警车队没有任务，3号平台的警车队去16号节点，4号平台的警车队去48号节点，5号平台的警车队去30号节点，7号平台的警车队去48号节点，10号平台的警车队去12号节点，11号平台的警车队去24号节点，12号平台的警车队去23号节点，13号平台的警车队去22号节点，14号平台的警车队去21号节点，15号平台的警车队去28号节点，16号平台的警车队去14号节点，19号平台的警车队去38号节点，20号平台的警车队去62号节点；封堵完成的最短时间约为8分钟。

问题1.3

要解决该问题，首先要解决问题1.1中的工作量不均衡问题，问题1.1中只是在分配管辖任务时对各个节点进行了分配，而现在就要根据不同平台的工作量对A区20个平台的管辖范围实行重分配，总体思想就是在保持较优解得前提下让工作量小的服务平台分担工作量大的服务平台所管辖的路口。

分成三步进行：

1.对于总工作量较小的服务平台，找出与该平台直接连通的各节点，在3km范围内，将工作量较大的节点划归到现有服务平台的管辖范围中；

2.对于工作量较大的的服务平台，将距离服务中心较远的节点划分到与此节点直接联通且工作量较小的服务平台的管辖范围中。

3.上两步预处理好后，根据模型预处理的

（2）中的公式，算出各交巡警服务平台的工作量，调节各交巡警服务平台所管辖的节点，使各交巡警服务平台的工作量达到最优均衡。

经过上述三步的操作，得到表三：

交巡警服务平台编号

可管辖的节点编号

1

69777980

2

7173747578

3

4455676876

4

57606263646566

5

495354

6

505152565859

7

303233474861

8

3536374546

9

3134

10

26

11

22

12

27

13

232425

14

21

15

2829

16

383940

17

4142437072

18

848788899091

19

818283

20

858692

表三

随后，在原来20个服务平台的基础上再添加新的服务平台。

添加服务平台的过程分成三步进行：

1.找出工作量较大的交巡警服务平台，找出其管辖的节点；

2.根据附件1的图1，在这些节点附近找出若干个节点，使得这些节点与其他节点的实际距离小于3km；

3.根据问题1.1和问题1.2的步骤，以交巡警服务平台与节点距离3km之内，各交巡警服务平台的工作量尽量均衡为原则，得到新的各交巡警服务平台所管辖的节点。

以上三步进行完毕后，可得到共要添加4个交巡警服务平台，且添加的交巡警服务平台的节点的编号为42,57,62,90。

六、问题二的解决

问题2.1

研究交巡警服务平台设置的合理性：

本题有两个判别合理性的原则：

1.警车能在3min内赶到案发节点；

2.交巡警服务平台的工作量均衡度尽量小。

对1的合理性判断：

全城剩下的5个区，均与问题1.1同理，求出各区中交巡警3min内不能赶到的节点编号，如下表四：

区编号

交巡警3min内不能赶到的节点编号

A

282938396192

B

122123124151152153

C

183199200201202203205206207208209210215238239240

247248251252253257259261262263264268269285286287288299300301302303304312313314315316317318319

D

329330331332336337339344362369370371

E

387388389390391392393395407408409411412413417418419420438439443445446451452455458459464469471474

486487

F

505506507508509510512513514515516517518519522523524525526527529533540541559560561566569574575578580

表四

由表四可得，共有138个节点交巡警不能在3min内赶到，数量太多。

所以按原则1，交巡警服务平台设置是不合理的。

对2的合理性的判断：

根据模型预处理的

（2）中的公式

及问题1中的方法，可以求得各区的各交巡警服务平台的工作量Ai如下表五所示：

A

B

C

D

E

F

编号

Ai

编号

Ai

编号

Ai

编号

Ai

编号

Ai

编号

Ai

1

10.3

93

2.1

166

3.8

320

8.7

372

5.2

475

13.1

2

9.7

94

11.3

167

8.3

321

12.0

373

4.1

476

13

3

5.6

95

9.5

168

4.7

322

4.4

374

5.5

477

10.7

4

17.1

96

11.5

169

3.4

323

4.2

375

6.1

478

9.5

5

9.7

97

5.6

170

12.9

324

7.9

376

2.6

479

8.7

6

2.5

98

12.1

171

12.4

325

2.2

377

4.2

480

4.7

7

40.4

99

4.3

172

8.3

326

5.1

378

2.6

481

7.2

8

5.0

100

4.5

173

11.5

327

7.6

379

7.4

482

4.4

9

8.2

174

10.1

328

6.7

380

2.5

483

3.3

10

1.6

175

8.7

381

6.2

484

3.8

11

4.6

176

8.1

382

10.3

485

3.3

12

10.3

177

2.2

383

10.0

13

39.6

178

4.5

384

8.3

14

7.2

179

13.0

385

9.1

15

12.9

180

13.0

386

6.3

16

28.4

181

6.2

17

5.3

182

12.2

18

6.1

19

3.4

20

11.5

表五

由表五可得，交巡警服务平台工作量不均衡，其中工作量最大的是7号，工作量为40.4；最小的是10号，工作量为1.6。

所以按原则2，交巡警服务平台设置是不合理的。

综上述，现有的交巡警服务平台的设置情况是较不合理的。

交巡警服务平台设置的优化方案：

在不改变现有交巡警服务平台的位置的情况下，适当增加交巡警服务平台的数量，从而使城区中没有警车不能在3min内赶到案发现场的节点且每个交巡警服务平台的工作量尽量均衡。

由上面中的计算结果可知，全城区共有138个交巡警服务平台的警车不能在3min内赶到案发现场的节点。

同样利用求解问题1中第三小问的方法与步骤，得到新增加的最小交巡警服务台数目与其位置，从而得到优化。

问题2.2

根据要求，在市区P点发生案件3分钟后，警局才接到报警，随而立即采取行动。

假设在接到报案那一刻，嫌疑人刚要逃离案发点，此时，假设嫌疑人以远离犯罪现场的逃离方式向四周随机逃跑。

由于3分钟内嫌疑人逃跑的最大距离为

。

以此可以圈定其逃跑范围，而交巡警在接到报警去围堵嫌疑人时又需要花费3分钟的时间。

也就是说从开始逃跑到交巡警到达围堵地点的过程中，嫌疑人共有6分钟的逃跑时间，逃跑的距离为

。

在警车出动围堵路口的过程中，

嫌疑人在以逃离

的基础上继续逃跑。

为了实现成功围堵，要将嫌疑人所有可能经过的路口都堵住。

有未被堵住的路口的话，用同样的方法，以那些未被堵住的路口为中心，再去圈定一个三分钟的罪犯逃离范围。

此时就有路口三分钟圈重叠的情况。

将这些个圈定的路口再以同样的方法调动警力，去尽量封锁嫌疑人可能逃跑所经过的路口。

从而实现成功围堵。

七、模型评价

本文缺点：

1.问题解决时的步骤过于繁琐，数据处理的工作量太大，导致结果不精确；

2.问题解决时，由于水平有限，把实际问题做了较大的简化，可能导致与实际情况不符；

3.本文没有对人口密度的情况进行综合考虑。

在城区，在设置交巡警服务平台时应该对居民区附近重点布置，使交巡警能在最快的时间内赶到，以保证城市居民的安全；

4.由于时间仓促，没有对问题2.2进行具体的求解，只是给出了一种可行的方法。

本文优点：

所建模型解决了交巡警服务平台的的出警问题，追捕嫌疑人的封堵路口问题。

除此之外，模型还可用于消防车的安排问题，事故的救援问题等，对实际情况有较好的参考作用。

八、参考文献

【1】

【2】耿国华，数据结构—用C语言描述，北京：

高等教育出版社，2011年

【3】屈婉玲，耿素云，张立昂，离散数学，高等教育出版社，2008年

【4】单锋，朱丽梅，田贺民，数学模型，国防工业出版社，2012年

附录

附录1：

#include

#include

#include

#defineMAXSIZE20

#defineMAXJIEDIAN92

typedefstruct

{

floatx[MAXSIZE];

floaty[MAXSIZE];

floatlast;

}pingtai;

typedefstruct

{

floatx[MAXJIEDIAN];

floaty[MAXJIEDIAN];

floatlast;

}jiedian;

voidmain（）{

inti;

intj;

intm=0;

intt[92][20]={0};

pingtaiM;

floatxpt[20]={413,403,383.5,381,339,335,317,334.5,333,282,247,219,225,280,290,337,415,432,418,444};

floatypt[20]={359,343,351,377.5,376,383,362,353.5,342,325,301,316,270,292,335,328,335,371,374,394};

for（i=0;i<20;i++）

{

M.x[i]=xpt[i];

M.y[i]=ypt[i];

}

jiedianN;

floatxjd[92]={413,403,383.5,381,339,335,317,334.5,333,282,247,219,225,280,290,337,415,432,418,444,251,

234,225,212,227,256,250.5,243,246,314,315,326,327,328,336,336,331,371,371,388.5,411,419,411,

394,342,342,325,315,342,345,348.5,351,348,370,371,354,363,357,351,369,335,381,391,392,395,398,

401,405,410,408,415,418,422,418.5,405.5,405,409,417,420,424,438,438.5,43