信号处理实验三报告.docx
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信号处理实验三报告
实验三抽样
3.3.1抽样引起的混叠
【实验内容】
f0=500HZ,fs分别取100HZ,1kHZ,10kHZ,绘出x[n]及其DTFT。
【程序】
%---文件exp331.m---
%问题3.3.1实验内容
closeall;clearall;
f0=500;
B=0.25*pi;%初相
n=0:
20;
fs1=100;%采样频率100HZ
t1=n/fs1;
x1=sin(2*pi*f0*t1+B);
[X1,W1]=dtft(x1,1000);%对采样信号做DTFT
fs2=1000;%采样频率1kHZ
t2=n/fs2;
x2=sin(2*pi*f0*t2+B);
[X2,W2]=dtft(x2,1000);%对采样信号做DTFT
fs3=10000;%采样频率10kHZ
t3=n/fs3;
x3=sin(2*pi*f0*t3+B);
[X3,W3]=dtft(x3,1000);%对采样信号做DTFT
hf=figure;%绘制x1时域采样结果
subplot(2,3,1);stem(n,x1);
title('fs=100HZ时域采样结果');
xlabel('n');ylabel('x1[n]');
subplot(2,3,4);%绘制x1频域解图
plot(W1,X1);
gridon;
title('fs=100HZ采样信号的DTFT');
xlabel('W1');ylabel('X1');
%绘制x2时域采样结果
subplot(2,3,2);stem(n,x2);
title('fs=1kHZ时域采样结果');
xlabel('n');ylabel('x2[n]');
subplot(2,3,5);%绘制x2频域解图plot(W2,X2);gridon;
title('fs=1kHZ采样信号的DTFT');
xlabel('W2');ylabel('X2');
%绘制x3时域采样结果
subplot(2,3,3);stem(n,x3);
title('fs=10kHZ时域采样结果');
xlabel('n');ylabel('x3[n]');
%绘制x3频域解图subplot(2,3,6);plot(W3,X3);gridon;
title('fs=10kHZ采样信号的DTFT');
xlabel('W3');ylabel('X3');
saveas(hf,'exp331.fig');
【结果及分析】
如图1.1所示,前三幅图分别为欠采样、临界采样和完全采样的结果,后三幅图为他们分别对应的DTFT。
图1.1正弦信号的不同频率采样及DTFT
3.3.2抽样的频域视图
【实验内容】
a.已知
求出并绘制其傅里叶变换xa(jΩ)
b.以5000HZ和1000Hz分别对其进行采样得到x1(n),x2(n);画出他们的DTFT并与xa(jΩ)。
【程序】
%---文件exp332.m---
%问题a
%傅里叶变换结果X(W)=2000/(1000000+W^2)
clearall;
Dt=0.00005;%模拟信号
t=-0.005:
Dt:
0.005;
xa=exp(-1000*abs(t));
Wmax=2*pi*2000;
K=500;
k=0:
1:
K;
W=k*Wmax/K;
Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt;
Xa=real(Xa);%连续时间傅里叶变换
W=[-fliplr(W),W(2:
501)];%频率介于-Wmax和Wamx之间
Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:
501)];%Xa介于-Wmax和Wamx之间
hf=figure;
subplot(2,2,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t(ms)');ylabel('xa(t)');
gridon;title('模拟信号');
subplot(2,2,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('f(kHZ)');ylabel('Xa(jw)');
gridon;title('连续时间傅里叶变换');
Ts1=0.0002;n=-25:
25;
x1=exp(-1000*abs(n*Ts1));%离散信号
K=500;k=0:
K;w=pi*k/K;
X1=x1*exp(-j*n'*w);X1=real(X1);%离散时间傅里叶变换
w=[-fliplr(w),w(2:
K+1)];
X1=[fliplr(X1),X1(2:
K+1)];
subplot(2,2,3);plot(w/pi,X1);
xlabel('w(rad/s)');ylabel('X1(w)');
gridon;title('Ts=5000HZ');
Ts2=0.001;n=-25:
25;
x2=exp(-1000*abs(n*Ts2));%离散信号
K=500;k=0:
K;w=pi*k/K;
X2=x2*exp(-j*n'*w);X2=real(X2);%离散时间傅里叶变换
w=[-fliplr(w),w(2:
K+1)];
X2=[fliplr(X2),X2(2:
K+1)];
subplot(2,2,4);plot(w/pi,X2);
xlabel('w(rad/s)');ylabel('X2(w)');
gridon;title('Ts=1000HZ');
saveas(hf,'exp332.fig');
【实验结果及分析】
如图1.2所示,第一幅图为模拟信号原型,第二幅图为他的连续时间傅里叶变换,第三四幅分别为采样周期5000HZ和1000Hz的DTFT。
5000HZ采样满足奈奎斯特定理,1000Hz不满足奈奎斯特定理。
图1.2实验3.3.2结果
3.3.3从样本重建信号
1、拟合正弦波
【实验内容】
假设三个样本符合正弦波,能不能确定其各个参数,w需要什么条件。
不能的话,给出理由。
选取几个样本绘制图像。
【程序】
%---文件exp333_1.m---
%问题1
%拟合正弦波
%不能确定。
t=0:
0.01:
2*pi;
x=2*cos(pi*t/3);
closeall;
hf=figure;
plot(t,x);gridon;
title('解出频率w=pi/3的信号');
set(gca,'xtick',0:
0.01:
2*pi);
xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');
saveas(hf,'exp333.1.fig');
【结果及分析】
不能根据三点得到正弦信号各个量,由于Ts=1,由采样定理,当w>pi时才能基本确定重建信号。
程序产生正弦信号x(t)=2cos(pi*t/3)。
并绘制其图形进行展示。
图1.3计算正弦信号绘制
2、线性与多项式插值
【实验内容】
a.使用matlab用直线连接样本,解释plot如何绘制图像。
b.将三角形冲击与样本卷积。
证明假设t=-1和t=3的样本是0,上面结果与线性插值相同
c.使用matlab对上面样本拟合为二阶多项式。
绘制结果。
此信号是否能很好的在0~2区间以外拓展。
【程序】
%---exp333_2.m---
%问题2
%%
%a问
x=[21-1];
n=0:
2;
closeall;
hf=figure
(1);
plot(n,x);gridon;
set(gca,'xtick',0:
0.01:
2);
saveas(hf,'exp333.2a.fig');
%%
%b问
%计算卷积
SJ=[0.20.40.60.81.00.80.60.40.2];
x0=[2000010000-1];
t=-4:
14;
Co=conv(SJ,x0);
hf1=figure
(2);
%计算线性插值
vv=[021-10];%插值点
xx=-1:
3;
xq=-1:
0.1:
3;%被插值点
vq=interp1(xx,vv,xq,'linear');%线性插值
subplot(2,2,1);%绘制两图在同一个图中
%t/5因为卷积之前加了四个0
plot(t/5,Co,'.-r',xq,vq,'.g');xlabel('t');ylabel('x(t)');
hl1=legend('冲击卷积结果','线性插值结果');set(hl1,'fontsize',5);
%分别绘制两种结果在不同坐标中
subplot(2,2,3);plot(t/5,Co,'.-r');
title('冲击卷积结果');
xlabel('t');ylabel('x(t)');
subplot(2,2,4);plot(xq,vq,'.-g');
title('线性插值结果');
xlabel('t');ylabel('x(t)');
saveas(hf1,'exp333.2b.fig');%保存结果
%%
%问题c
p=polyfit(n,x,2);
nn=-5:
0.5:
5;
f=polyval(p,nn);
hf2=figure;
plot(n,x,'o',nn,f);
hl2=legend('样本点','二阶多项式拟合结果');
set(hl2,'fontsize',8);
xlabel('t');
gridon;set(gca,'xtick',-5:
0.1:
5);
saveas(hf2,'exp333.2c.fig');
【结果及分析】
a.plot绘制的结果如图1.4所示,plot绘图的原理是在二维坐标系以直线顺序连接两详尽样本点。
图1.4plot绘制样本点
b.如图1.5所示,线性插值与冲击卷积得到得到结果相同,其中冲击卷积的结果在横坐标除以5。
图1.5冲击卷积与interp1线性插值结果
c.如图1.6所示,信号不能在0~2以外出无限拓展,因为二阶多项式不满足绝对可积条件,信号不是稳定信号。
图1.6二阶多项式拟合图
3、理想低通滤波器
【实验内容】
a.假设只有有限数量的样本信号是非0值,且秩序在有限时间区间上进行重建,写出基于3.18的sinc内插表达式。
b.对t=0处的数值为1的单样本进行插值,绘出结果。
c.对3.3.3中的样本进行插值。
【程序】
%文件---exp333_3.m---
%问题3
%理想低通滤波器
%b
clearall;clc;closeall;
t=-5:
0.05:
5;
%由内插公式,Ts=1s,易得内插表示为:
x0=1*sinc((ones(length
(1),1)*t-0*1*ones(1,length(t))));
hf1=figure;
subplot(2,1,1);plot(t,x0);
gridon;
title('内插计算结果');xlabel('t');
subplot(2,1,2);plot(t,sinc(t));
gridon;
title('辛格函数sinc(t)');xlabel('t');
saveas(hf1,'exp333.3b.fig');
%c
t=-0.5:
0.05:
3;
xn=[2,1,-1];%样本点
M=0;N=2;%样本点起始和终止点
n=[M:
N];%n
Ts=1;%采样周期
t1=-1:
0.05:
2;%插值的点横坐标
xa=xn*sinc(1/Ts*(ones(length(n),1)*t1-n'*Ts*ones(1,length(t1))));%sinc插值结果
%-----------exp333_2.m部分内容------------
x=[21-1];
n=0:
2;
%计算卷积
SJ=[0.20.40.60.81.00.80.60.40.2];
x0=[2000010000-1];
tt=-4:
14;
Co=conv(SJ,x0);
%计算线性插值
vv=[021-10];%插值点
xx=-1:
3;
xq=-1:
0.1:
3;%被插值点
vq=interp1(xx,vv,xq,'linear');%线性插值
%plot(xq,vq,'.-g')
xlabel('t');ylabel('x(t)');
%----以上为拟合正弦波文件部分内容------
%绘制三次实验的结果在同一幅图上
hf2=figure;
plot(t1,xa,n,x,'o-g',tt/5,Co,'.-r');holdon;
stem([M:
N],xn,'o');gridon;
hl=legend('sinc内插','直线连接拟合','卷积/线性插值结果');
set(hl,'fontsize',8);
saveas(hf2,'exp333.3c.fig')
【结果及分析】
a.有限时间域插值函数如b和c问的程序所示:
xa=xn*sinc(1/Ts*(ones(length(n),1)*t1-n'*Ts*ones(1,length(t1))));
b.如图1.7所示,t=0处,样本为1的点sinc插值与辛格函数相同
图1.7sinc插值重建t=0样本
c.如图1.8所示,图上对比了sinc内插,直线卷积和线性内插重建信号。
Sinc内插的结果要比卷积或者线性内插得到的结果要圆滑。
图1.8内插重建3.3.3的样本对比
4、设定带宽的我选择
【实验内容】
能否用fb重建信号。
【程序】
%----文件exp333_4.m----
%问题4
%
%问题抽象为用大于信号本身频带宽度的重建滤波器能否恢复信号;
%不能
clearall;closeall;clc;
Ts=0.0002;
n=-25:
25;
nTs=n*Ts;
fs=5000;
x=exp(-1000*abs(nTs));
%模拟信号的重构
Dt=0.00005;
t=-0.005:
Dt:
0.005;
xa=x*sinc(fs*(ones(length(n),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
hf=figure;
holdon;%gridon;
xa2=x*sinc(1000/2/pi*(ones(length(n),1)*tnTs'*fs/1000*2*pi*ones(1,length(t))));
plot(t*5000,xa,t*5000,xa2,'.-r');
set(hl,'location','best');
legend('以fs重建的信号','以fb重建的信号');
【结果及分析】
预判:
不能用截止频率为fb的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值。
如图1.9所示,使用3.3.2中的带限信号
进行实验,采样频率50000HZ,fb=1000/2/pi;绘制使用截止频率为fs的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值的图(蓝色),与使用截止频率为fb的理想低通重建滤波器冲击响应对带限于fb信号样本进行插值的图(红色)进行比较。
证明判断正确。
图1.9fb和fs滤波器重建结果
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