完整版高考数学函数专题习题及详细答案.docx
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完整版高考数学函数专题习题及详细答案
1.函数y
x1
ex1(xR)的反函数是(
)
A.
y1lnx(x0)
B.y1lnx(x0)
C.
y1lnx(x0)
D.y1lnx(x0)
函数专题练习
2.已知f(x)
(3a1)x4a,x
logax,x1
是(
)上的减函数,那么a的取值范围是
(A)(0,1)
111(B)(0,13)(C)[17,31)
1
(D)[17,1)
3.在下列四个函数中,满足性质:
对于区
间(1,2)上的任意x1,x2(x1
x2),
|f(x1)
f(x2)|
|x2x1|恒成立”
的只有
(A)f(x)
(B)fx
4.已知
|x|
C)f(x)
2x
(D)f(x)
f(x)
数,
时,
f(x)
lgx.设
6
af(),b
5
(A)abc
5.函数f(x)
f(32),c
2
(B)b3x21x
f(52),则
ac
(C)c
ba
(D)c
ab
lg(3x1)的定义域是
A.(1,
3
6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
3
A.yx,xRB.ysinx,xRC.y
B.(31,1)
C.(
13,13)
x,x
7、函数yf(x)的反函数y
1
f1(x)的图像与y轴交于点
P(0,2)(如右图所示),则方程
A.4
B.3
f(x)0在[1,4]上的根是C.2
D.1
8、设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)f(x)f(x)是奇函数
(C)f(x)f(x)是偶函数
13)
D.(
(B)f(x)f(x)是奇函数
(D)f(x)f(x)是偶函数
x
9、已知函数yex的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称,则
A.f2xe2x(xR)
B.f2xln2glnx(x0)
C.f2x2ex(xR)
D.f2xlnxln2(x0)
10、设
f(x)
x1
2ex,x<2,
则f(f
(2))的值为
2.
log3
(x1),x
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
a,ab
11、对
a,b
R,记
max{a,b}=
,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x
b,a
R)的最小值
是
13
(A)0(B)(C)(D)3
22
12、关于x的方程(x21)2x21k0,给出下列四个命题:
2个不同的实根;
4个不同的实根;
5个不同的实根;
8个不同的实根;
①存在实数k,使得方程恰有②存在实数k,使得方程恰有③存在实数k,使得方程恰有④存在实数k,使得方程恰有其中假命题的个数是
一)填空题(4个)
ff5
A和B之间
(3)当k2时,求证:
在区间[1,5]上,ykx3k的图像位于函数f(x)图像的上方
2、设f(x)=3axb2bxc.若abc0,f(0)>0,f
(1)>0,求证:
a(Ⅰ)a>0且-2<<-1;
b
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
2xb
3.已知定义域为R的函数f(x)x21b是奇函数。
2x1a
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范围;
c2
4.设函数f(x)=2,其中a为实数.xaxa
(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间.
122
5.已知定义在正实数集上的函数f(x)x22ax,g(x)3a2lnxb,其中a0.设2
两曲线yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用a表示b,并求b的最大值;
(II)求证:
f(x)≥g(x)(x0).
解答:
一、选择题
1解:
由yex1得:
x1lny,即x=-1+lny,所以y1lnx(x0)为所求,故选D。
1
2解:
依题意,有0a1且3a-10,解得0a,又当x1时,(3a-1)x+4a7a-1,
3
1
当x1时,logax0,所以7a-10解得x故选C
7
6解:
B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
7解:
f(x)0的根是x2,故选C
8解:
A中F(x)f(x)f(x)则F(x)f(x)f(x)F(x),
即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数,B中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)此时F(x)与F(x)的关系不能确定,即函数F(x)f(x)f(x)的奇偶性不确定,
C中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)F(x),即函数F(x)f(x)f(x)为奇函数,D中F(x)f(x)f(x),F(x)f(x)f(x)F(x),即函数
F(x)f(x)f(x)为偶函数,故选择答案D。
9解:
函数yex的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称,所以f(x)是yex
的反函数,即f(x)=lnx,∴f2xln2xlnxln2(x0),选D.
10解:
f(f
(2))=f
(1)=2,选C
11解:
当x-1时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-30,所以
2-x
x+1
-2;
故f(x)
当-1
x1时,
2
1
2时,x+
x
2
x(x
(,1)
x(x
1
[1,1))
2
1(x
1
[,2))
2
1(x
[2,))
2-x;当
2
2
x
x
-x-1;
x的方程x21
3
据此求得最小值为3。
2
|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因为(x+1)-(2-x)=2x-10,
12-x;当x2时,|x+1|=x+1,|x-2|=x-2,显然x+1x
选C
12解:
关于
2
x21k0可化为
222
x21(x2-1)k0(x1或x-1)⋯
(1)
22
1+(x2-1)k0(-1x1)
(2)
k=-2时,方程
(1)的解为3,方程
(2)无解,
原方程恰有2个不同的实根
1
k=时,方程
(1)有两个不同的实根
4
6
,方程
(2)有两个不同的实根
2
2,即原方
2
程恰有4个不同的实根
当k=0时,方程
(1)的解为-
1,+1,
2,
方程
(2)的解为x=0,
原方程恰有5个不同
的实根
2
当k=时,方程
(1)的解为
9
15,
3
23
3
方程
(2)的解为3
3
6,即原方程恰
3
有8个不同的实根
选A
二、填空题。
1解:
由f
x2
x4
1
x2
f(x),所以f(5)
f
(1)5,则
f(
5)
f
(1)
f(12)
2解:
g(g(21))
2
1l
g(ln2)e
1
ln11
2
3解:
111
函数f(x)ax1.若f(x)为奇函数,则f(0)0,即a010,a=1
2x12012
4解:
2
由a0,a1,函数f(x)loga(x22x3)有最小值可知a1,所以不等式
三、解答题
1解:
(1)
loga(x1)0可化为x-11,即x2.
则g(x)min0.
②
当4k当2
1,即k
6时,取x
1,g(x)min=2k0.
由①
、②可知,当
k2时,
g(x)
0,
x[1,5].
因此,
在区间[
1,5]上,y
k(x
3)的图像位于函数f(x)图像的上方
[解法二
]当x[
1,5]时,
f(x)
x2
4x5.
yk(x3),2由2得x2(k4)x(3k5)0,
yx4x5,
令(k4)24(3k5)0,解得k2或k18,
在区间[1,5]上,当k2时,y2(x3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点
(1,8);当k18时,y18(x3)的图像与函数f(x)的图像没有交点
如图可知,由于直线yk(x3)过点(3,0),当k2时,直线yk(x3)是由直线y2(x3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到.因此,在区间[1,5]上,yk(x3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
2(I)证明:
因为
f(0)
0,f
(1)
0
,所以
c
0,3a2bc0
由条件a
b
c0,
消去b,
得
ac
0;
由条件a
b
c0,
消去c,
得
ab
0,
2ab0.
故2b
1.
a
(II)抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为(b,3acb),3a3a
b2.
3a3.
22
acaca3caac0,
b11在21的两边乘以,得
a33
又因为f(0)0,f
(1)0,而f(b)
3a
所以方程f(x)0在区间(0,b)与(b,1)内分别有一实根。
3a3a
故方程f(x)0在(0,1)内有两个实根.
3解:
(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即b10a2
1f(x)
x
12x
x1
a2x1
又由f
(1)=-f(-1)知
a2.
x
12x
(Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)知f(x)x1
22x1
1
x1,易知f(x)在(
2x1
)上
为减函数。
又因f(x)是奇函数,从而不等式:
等价于f(t2
2t)f(2t
k)f(k2t2),因
2
t22tk
2
2t2.即对一切
2
R有:
3t2
2tk
22
f(t22t)f(2t2k)0
f(x)为减函数,
由上式推得:
0,
从而判别式
412k0
解法
由(Ⅰ
f(x)
又由
设条
件得
12t22t
22t22t1
122t2
222t2k1
0,
2t2即:
(22t
k12)(12t2t)
(2t2t
12)(1
2t2
22t
k)
0,
2tk
整理得23t2tk1,因底数2>1,故:
3t2
上式对一切tR均成立,从而判别式
412k
2
0.
4a0,
4解:
(Ⅰ)f(x)的定义域为R,x2axa0恒成立,
0a4,即当0a4时f(x)的定义域为R.
x
(Ⅱ)f(x)x(2xa2)e2,令f(x)≤0,得x(xa2)≤(xaxa)
由f(x)0,得x0或x2a,又Q0a4,
0a2时,由f(x)0得0x2a;
当a2时,f(x)≥0;当2a4时,由f(x)0得2ax0,
即当0a2时,f(x)的单调减区间为(0,2a);
当2a4时,f(x)的单调减区间为(2a,0).
5解:
(Ⅰ)设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.
∵f(x)x2a,g(x)
3a2,由题意
f(x0)
g(x0),f(x0)g(x0).
122
x02ax03alnx0b,即2
x0
2a
3a2,
x0
由x0
2a3a得:
x0a,或x03a(舍去).
x0
即有b
令h(t)
12
a
2
5t2
2
2252
2a23a2lnaa2
2
3a2lna.
当t(1
3lnt)
当t(1
3lnt)
故h(t)在0,
2
3t2lnt(t
0,即0
0,即t
0),则h(t)2t(13lnt).于是
1
te3时,h(t)0;
1
e3时,
h(t)
0.
1
e3为增函数,在
1
e3,
∞为减函数,
于是h(t)在(0,∞)的最大值为
1
he3
3e3
2
(Ⅱ)设F(x)
1f(x)g(x)12x
22ax3a2lnxb(x0),
则F(x)x
2a3a2(xa)(x3a)(x0).x
故F(x)在(0,
a)为减函数,在(a,∞)为增函数,
于是函数F(x)在(0,∞)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0.
故当x0时,有f(x)g(x)≥0,即当
x0时,f(x)≥g(x).
2
6解析:
(1)∵f(x)x2x
1,,是方程
f(x)=0的两个根(
),
15
2
(2)f'(x)2x
1,
2
anan1
2an1
11
an(2an1)(2an
24
1
2an
1)54
1
=14(2an
1)
2an1
1,
2
a11,∴有基本不等式可知a2
51
2
0(当且仅当
51
a1
2
时取等号
(3)an1
51
),∴a2
2
(an
an
0同,样a351,⋯⋯,an
2
)(an)an
2an12an1
(an1),而
51
2
(n=1,2,
1,即1
),
(a2nan1),bn12bn,又b1ln11ln33552ln325
an1(an),同理an1
n12an1n1
Sn2(2n1)ln35
2
四、创新试题
1解:
依题意,有x1=50+x3-55=x3-5,x1x3,同理,x2=30+x1-20=x1+10x1x2,同理,x3=30+x2-35=x2-5x3x2故选C
1
2解:
令c=π,则对任意的x∈R,都有f(x)+f(x-c)=2,于是取ab,c=π,则对任
2
意的x∈R,af(x)+bf(x-c)=1,由此得bcosc1。
选C。
a
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