复合函数知识总结及例题.docx
- 文档编号:12653379
- 上传时间:2023-04-21
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:42.33KB
复合函数知识总结及例题.docx
《复合函数知识总结及例题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《复合函数知识总结及例题.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题
一、复合函数定义:
设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f
[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,U叫中间量.
二、复合函数定义域问题:
(1)、已知f(χ)的定义域,求f[g(χ)1的定义域
思路:
设函数f(X)的定义域为D,即X∙D,所以f的作用范围为D,又f对g(χ)作用,作用范围不变,所以g(x)∙D,解得X∙E,E为fIg(X)]的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为(O,1),贝U函数f(Inx)的定义域为。
解析:
函数f(U)的定义域为(0,1)即u•(0,1),所以f的作用范围为(0,1)
又f对InX作用,作用范围不变,所以0:
:
:
InX:
:
:
1
解得X•(1,e),故函数f(Inx)的定义域为(1,e)
1
例2.若函数f(X)=,则函数f[f(x)]的定义域为。
X+1
1
解析:
先求f的作用范围,由f(X),知X=-1
X+1
即f的作用范围为■RlX=,又f对f(χ)作用所以f(X)∙R且f(x)--1,即fIf(X)1中X应rdx≠-1
X式一1L
满足彳即{1,解得x≠一1且x≠一2
If(X)H—1—≠-1
ιX+1
故函数fIf(X)的定义域为CXR|x=-1且Xn-2
(2)、已知fIg(X)】的定义域,求f(x)的定义域
思路:
设fIg(X)1的定义域为D,即X∙D,由此得g(x)∙E,所以f的作用范围为E,又f对X作用,作用范围不变,所以X∙E,E为f(X)的定义域。
例3.已知f(3—2x)的定义域为Xe[―1,2],则函数f(x)的定义域为。
解析:
f(3-2x)的定义域为1-1,21,即X•〔-1,21,由此得3-2χ∙∣-1,5】
所以f的作用范围为〔-1,51,又f对X作用,作用范围不变,所以1-1,51
2
即函数f(x)的定义域为丨_1,5]例4.已知f(χ2-4)=Igr,则函数f(X)的定义域为
X—8
22
解析:
先求f的作用范围,由f(X2—4)=Igr,知r0
X—8X—8
2
解得X-44,f的作用范围为(4,•:
:
),又f对X作用,作用范围不变,所以X(4,•:
:
),
即f(x)的定义域为(4,•:
:
)
(3)、已知f⅛(x)]的定义域,求fh(x)]的定义域
思路:
设fIg(X)1的定义域为D,即X∙D,由此得g(x)∙E,f的作用范围为E,又f对h(x)作用,作用范围不变,所以h(x)∙=E,解得XF,F为fIh(X)I的定义域。
例5.若函数f(2x)的定义域为1-1,1],贝Uf(log2x)的定义域为。
解析:
f(2x)的定义域为1-1,11,即1-1,1],由此得2x•1,2
11
f的作用范围为-,2,又f对log2X作用,所以Iog2X•-,2,解得∣.2,4丨
即f(log2x)的定义域为Lj2,4I
评注:
函数定义域是自变量X的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范
围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”
的感觉,值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明
已知函数申=f(g(x)).若U=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(C,d),又函数申=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)上是增函数.
证明:
在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a.x1:
:
:
x2:
:
:
b
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即
U1U2,且U1,U2(c,d)
因为函数Y=f(U)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1):
:
f(u2),即f(g(x1)):
:
f(g(x2)),故函数目=f(g(x))在区间(a,b)上是增函数.
(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
y=f(u)
增/
减\
u=g(χ)
增/
减\
增/
减\
y=f(g(χ))
增/
减\
减\
增/
以上规律还可总结为:
“同向得增,异向得减”或“同增异减”
(3)、复合函数月=f(g(x))的单调性判断步骤:
i确定函数的定义域;
ii将复合函数分解成两个简单函数:
y=f(U)与U=g(x)。
iii分别确定分解成的两个函数的单调性;
iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数y=f(g(x))为增函数;若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函
数),则复合后的函数Xf(g(x))为减函数。
(4)例题演练
2
例1、求函数y=Iog1(X-2x-3)的单调区间,并用单调定义给予证明+
2
解:
定义域χ2—2x「3•0=X•3或X:
:
:
-1
单调减区间是(3,二)设x1,X2(3,且X1:
:
:
X2则
22
y^Iog1(X1-2治-3)y^∣og1(X2-2x?
-3)
22
22
(x1-2x1-3)-(X2-2x2~3)=(x2-x1)(x2x1-2)
∙∙∙x2x13∙∙∙X2-X10x2X1-20
221
(Xi-2x1-3)>(X2-2x2-3)又底数O:
:
:
:
:
:
1
2
∙∙∙y2-yi:
:
O即y2:
:
yi
∙∙∙y在(3,=)上是减函数.
同理可证:
y在(-:
:
,-1)上是增函数.
[例]2、讨论函数f(χ)=loga(3x2一2X-1)的单调性.
[解]由3x2_2x_1.0得函数的定义域为
、1
{xIX>1,或X£--}.
3
则当a.1时,若X1,∙∙∙u=3x2_2x_1为增函数,∙f(x)=loga(3x2-2x-1)为增函数.
1
若X,∙∙∙U=:
3x2-2X-1为减函数.
3
∙f(x)=loga(3x2-2x-1)为减函数。
1
当0:
:
:
a<1时,若X1,贝yf(x)=IOagX2—2x-1)为减函数,若x:
:
:
-1,则
3
f(x)=IOagX2-2X-1)为增函数.
例3、.已知y=Ioga(2-ax)在[0,1]上是X的减函数,求a的取值范围.
解:
∙.∙a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2-ax>0是减函数
X
由y=Ioga(2-a)在[0,1]上X的减函数,知y=∣ogat是增函数,
∙a>1
由x∙:
0,1]时,2-ax-2-a>0,得a<2,
∙1 当00是增函数• 由y=loga(2-ax)在[0,1]上X的减函数,知y=logat是减函数, ∙0 由X: 0,1]时,2-ax-2-1>0,∙0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 复合 函数 知识 总结 例题