湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案.docx
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湖南省普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
()1.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则(CUA)∪B=
A.{5}B.{3,4,5}C.{3,4}D.{1,2,5}
U,∴(CUA)∪B={3,4,5}.故选B
【解析】∵CA3,4,5
1
x
()2.f(x)()2,x[1,2]
2
的最大值为
A.4B.3C.
5D.
2
9
4
1
x
【解析】∵函数f(x)()2,是减函数,∴f
(1)4为该函数在区
2
间[-1,2]上的最大值.故选A
()3.“x1或x2”是“x1”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】∵前者后者,后者亦前者.故选D
()4.不等式2x15的解集为
A.xx2B.xx3
C.x3x2D.xx3或x2
【解析】由2x152x15或2x15,
解得x3或x2.故选D
()5.已知向量a(2,3),b(1,m),且a//b,则m=
A.
3B.
2
3C.3D.3
2
1
【解析】由
2
1
3
m
3
m.故选A
2
()6.已知
4π
cosα,(,0)
α,则tanα
52
A.
3B.
5
4C.
3
3D.
4
4
3
【解析】由
4
π
cosα,(,0)
α
52
sin
3
α1cos,
2α
5
∴
tan
sin3
α
α.故选C
cos4
α
2x
()7.已知定义在R上的奇函数f(x),当x0时,()2,
fxx则f
(1)
A.3B.1C.-1D.-3
2.故选D【解析】依题意,知f
(1)-f
(1)(121)3
()8.设
0.2
a,blog30.2,
1.7
5
c0.2,则
A.abcB.bacC.cbaD.bca
【解析】由指数及对数函数性质知b﹤0,0﹤c﹤1,a﹥1.故选D
()9.已知点P(4,5),点Q在圆:
(1)2(y1)24
C上移动,则PQ的
x
取值范围为
A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]
【解析】∵PC5,r2,PQ[PCr,PCr].故选C
()10.已知a,b,c为三条不重合的直线,给出下面三个命题:
①若ab,ac,则b//c;②若ab,ac,则bc;
③若a//b,bc,则ac,其中正确的命题为
A.③B.①②C.①③D.②③
【解析】由于①②都错,只有③才是对的.故选A
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
2
11.袋中有6个红色球,3个黄色球,4个黑色球,从袋中任取一个
球,则取到的球不是黑球的概率为.
【解析】p(非黑)1
4
13
9
13
12.已知数列
2,则
a的前n项和Snn2n
n
a.
2
【解析】835
a2SS
21
13.若不等式x2xc0的解集为x2x1,则c=.
【解析】由21cc2
14.6位同学站成一排照相,其中甲、乙两人必须相邻,共有种
不同的排法(用数字作答).
25【解析】用捆绑法240
NP2P
5
2y
2
15.已知A,B为圆1
x上的两点,AB3,O为坐标原点,则
AB.
OA
【解析】依题意,有
1131
cosAOB,即
2112
0
AOB120,
∴
0
ABOA150,故ABOA
31cos150
0
3
2
三、解答题(本大题共7小题,每小题都为10分,其中第21、22小题为选做
题.满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.已知函数f()log
(2).(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)若
x2x
f,求m的值.
(m)f(m1)1
【解析】(Ⅰ)由x20x2,即f(x)的定义域为(2,);
m20
(Ⅱ)依题意,有
,解得m4.(m1)20
(m2)(m3)2
0.3在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
3
2
ππ
a,.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求)
3b,Asin(B
336
的值.
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
sin
bsinA1
B;
a3
(Ⅱ)∵ba,∴BA,故
cos
22
B1sin,
2B
3
π
∴)
sin(B
6
π.
π
3
sincosBcossinB
662
18.已知各项都为正数的等比数列
a中,a11,a33.(Ⅰ)求
n
a的
n
通项公式;(Ⅱ)设
a的前n项和为Sn,且Sn13(31),求n的值.
n
【解析】(Ⅰ)设公比为q,依题意有123q0
q且,解得q3,
n1
∴
n1n1
a的通项公式为ana1q(3)32;
n
(Ⅱ)∵
nnn
a(q1)1[(3)1](3)1
S,
1
nq
1
3131
而13(31)
S
n
13(31)(,
31)26
3131
∴(3)n126,即(3)n27,解得n6.
19.如图1,在三棱柱
ABC中,A1A⊥底面ABC,3,
A1BCAA
111
AB1,.(Ⅰ)证明:
BA平面
ACABAC
ACC;(Ⅱ)求直线B1C与
1AACC;(Ⅱ)求直线B1C与
1
平面ACC1A1所成角的正弦值.
A
1
C
1
【解析】
B
1
(Ⅰ)证:
∵AA
1⊥底面ABC,∴BAA1A,
BA
A
1
A
由BAACBA平面ACC1A1;
A
C
AA
1
ACA
B
图1
(Ⅱ)连AC
1,则B1CA1即为直线B1C与平面ACC1A1所成的角,
4
在
2222
Rt中,1,2,5
B1CAA1BACAAACBCABAC
11111111
∴
sin
BA15
B,即直线BC
CA
11与平面ACC1A1所成角的正弦
1
1BC
1
55
1
值为
5
5
.
22
xy
20.已知椭圆1
(2)
C:
a的离心率
2
a4
5
e.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)
3
设直线
值.
5
l:
ykx与椭圆C相交于A,B两点,且AB中点的横坐标为1,求k的
3
【解析】
(Ⅰ)依题意,知椭圆的焦点在x轴上,由
2
5a452
ea9
2
3a9
2y2x
∴椭圆C的方程为1
;94
2y
2
x
(Ⅱ)联合1
及
94
5
2x2kx
ykx(9k4)30110,
3
30k
2
9k4
依题意,有1,解得
2
1
k或
3
4
k.
3
选做题:
请考生在第21、22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第
21题计分.作答时请写清题号.
21.已知复数z1ai(aR),且z2.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若a0且
n且,求n的所有值.zR(nN*n12)
2
【解析】(Ⅰ)依题意,有12
a,解得a3;
ππππ
nn
n,
n
(Ⅱ)∵)
z13i2(cosisin,∴z2(cosisin)
3333
n
π
n且,∴0
由于zR(nN*n12)
sin
3
,故n3、6、9、12.
5
22.某厂生产甲、乙两种产品,每件甲产品的销售收入为1500元,每件乙产品
的销售收入为1000元.这两种产品都需要经过A,B两种设备加工,在A,B设备
上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h,加工1件乙产品所需工作时数为
4h,2h.若A,B两种设备每月工作时数分别不超过200h,250h,则每月生产甲、
乙两种产品各多少件,才能使销售收入最大?
【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为x、y件,销售收入为Z,则
目标函数maxZ1500x1000y
2x4y200
约束条件为4x2y250
*
x,yN
2x
4x
x,
4
2
y
y
y
200
x
250
*y
N
50
25
由,此时,Z150********5100000(元)
即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时,销售收入可以达
到最大值,最大值为十万元.
6
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