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初一数学
初一数学知识点
第一章 有理数
知识点一:
有理数的分类
有理数的另一种分类
想一想:
零是整数吗?
自然数一定是整数吗?
自然数一定是正整数吗?
整数一定是自然数吗?
零是整数;自然数一定是整数;自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。
判断正误:
①不带“-”号的数都是正数()
②如果a是正数,那么-a一定是负数()
③不存在既不是正数,也不是负数的数()
④0℃表示没有温度()
知识点二:
数轴
1、填空
①规定了唯一的原点,正方向和单位长度(三要素)的直线叫做数轴。
②比-3大的负整数是_______;已知m是整数且-4 ③有理数中,最大的负整数是____,最小的正整数是____。 最大的非正数是____。 ④与原点的距离为三个单位的点有____个,他们分别表示的有理数是________。 2、选择题 ①下列数轴画法正确的是() ②在数轴上,原点及原点左边所表示的数是( ) A整数 B负数 C非负数 D非正数 ③下列语句中正确的是( ) A数轴上的点只能表示整数 B数轴上的点只能表示分数 C数轴上的点只能表示有理数 D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 知识点三: 相反数 相反数: 只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。 在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。 1、填空 ①-2的相反数是;它的倒数是;它的绝对值是。 ②|-3|的相反数是;它的倒数是;它的绝对值是。 ③相反数是它本身的数是0;倒数是它本身的数是1和-1;绝对值是它本身的数是非负数。 2、选择 ①若a和b是互为相反数,则a+b=() A、–2aB、2bC、0D、任意有理数 ②下列说法正确的是() A、–1/4的相反数是0.25B、4的相反数是-0.25 C、0.25的倒数是-0.25D、0.25的相反数的倒数是-0.25 ③用-a表示的数一定是() A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对 ④一个数的相反数是最小的正整数,那么这个数是() A、–1B、1C、±1D、0 3、判断 ①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁() ②在一个数前面添上“-”号,它就成了一个负数() ③只要符号不同,这两个数就是相反数() 4、计算: 已知和的值互为相反数,求x的值。 知识点四: 绝对值 绝对值: 一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。 1、由绝对值的定义可知: (1)一个正数的绝对值是它本身; (2)一个负数数的绝对值是它的相反数;(3)0的绝对值是0;(4)|a|大于或者等于0。 数学中规定: 在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的顺序,即左边的数小于右边的数。 由此可知: (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数; (2)两个负数,绝对值大的反而小。 2、化简 (1)-|-2/3|=_____; (2)|-3.3|-|+4.3|=___; (3)1-|-1/2|=___; (4)-1-|1-1/2|=______。 3、填空题。 ①若|a|=3,则a=____;|a+1|=0,则a=____。 ②若|a-5|+|b+3|=0,则a=___,b=___。 ③若|x+2|+|y-2|=0,则x=___,y=___。 ④绝对值小于2的整数有________。 ⑤绝对值等于它本身的数有___________。 ⑥绝对值不大于3的负整数有__________。 ⑦数a和b的绝对值分别为2和5,且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧,则b的值为。 ⑧将2.5,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1这组数按从大到小的顺序排列,并用“>”号连接。 知识点五: 有理数加减法 1、有理数的加、减法法则 ①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ②互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加,仍得这个数。 ④减去一个数,等于加上这个数的相反数。 2、计算 知识点六: 乘除法法则 ①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。 0乘以任何数,都得0。 ②几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,负因数的个数为偶数时,积为正;负因数的个数为奇数时,积为负。 ③两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数,都得0。 ④有理数中仍然有: 乘积是1的两个数互为倒数。 ⑤除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。 知识点七: 乘方 乘方定义: 求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。 中,底数是 ,指数是 ,幂是乘方的结果;读作: 的n次方或 的n次幂。 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。 1、填空 ① 23中,底数是;指数是;结果是;读作: 。 ② (-2)2中,底数是;结果是。 ③ 5中,底数是;指数是。 ④ 中,底数是;指数是;幂是。 ⑤ 18表示个相乘,结果是。 2、计算: 32=;-23=;-14=; (-3)2=;05=;0.13=. 知识点八: 运算律及混合运算 1、基本知识 v 加法交换律: v乘法交换律: v加法结合律: v乘法结合律: v乘法分配律: v有理数混合运算顺序: 先乘方;再乘除;最后算加减。 有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 同级运算,从左到右进行。 2、计算 知识点九: 科学记数法近似数 把一个大于10的数表示成 的形式(其中 是整数数位只有一位的数,即1≤|a|<10, 是正整数),使用的是科学记数法。 如: 。 知识点十: 近似数 1、近似数: 在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准确数非常地接近,像这样的数我们称它为近似数。 2、近似数的分类: (1)具体近似数(如30.2、58.0…) (2)带单位近似数(如2.4万…) (3)科学记数法(如 …) 3、精确度: 用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数,有一个近似程度的问题,这个近似程度就是精确度。 四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如: 2.4万精确到千位,而非十分位,因为2.4万就是24000,4在千位上)。 4、有效数字: 对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到末尾数止,所有数字都是这个近似数的有效数字。 求近似数要求保留n个有效数字时,第n+1个有效数字作四舍五入处理。 例: 0.0109有三个有效数字1、0、9,要求保留2个有效数字时,0.0109的第三个有效数字9四舍五入,变为0.0110,保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。 5、计算 按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)0.1296(精确到0.1/0.01/0.001) (2)220.45(精确到个位/0.1) (3)0.0099999(保留3个有效数字) 第二章整式的加减 知识点一: 整式的相关概念 代数式中的一种有理式: 不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者,则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的,那么式子叫做分式) 1.单项式: 数或字母的积(如5n, , 等),单个的数或字母也是单项式。 (1)单项式的系数: 单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。 (如果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。 (2)单项式的次数: 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。 2.多项式 (1)概念: 几个单项式的和叫做多项式。 在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。 一个多项式有几项就叫做几项式。 (2)多项式的次数: 多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。 (3)多项式的排列: 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。 在做多项式的排列的题时注意: (1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符 看作是这一项的一部分,一起移动。 (2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意: a.先确认按照哪个字母的指数来排列。 b.确定按这个字母降幂排列,还是升幂排列。 3.整式: 单项式和多项式统称为整式。 知识点二: 整式的加减运算 1.同类项的概念: 所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项。 (同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关)。 2.合并同类项: 把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 法则: 同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。 不能合并的项单独作为一项,不可遗漏 3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。 注: 去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。 第三章一元一次方程 知识点一: 方程的相关概念 等式: 表示相等关系的式子。 方程: 含有未知数的等式。 (方程一定是等式,但等式不一定是方程)。 方程的解: 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程: 求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。 一元一次方程: 只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的方程。 同解方程: 两方程的解相同。 知识点二: 等式的性质 等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 即: 如果 ,那么 。 等式的性质2: 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 即: 如果 ,那么 ;如果 ,那么 。 知识点三: 解一元一次方程 一般解法: ⅰ去分母: 两边同乘以各分母的最小公倍数; ⅱ去括号; ⅲ移项: 移项要变号; ⅳ合并同类项: 把方程化成ax=b(a≠0)的形式; ⅴ系数化为1: 两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。 一元一次方程的应用(重点难点): 列方程解应用题的关键是: 仔细审题,找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系,再设未知数,并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。 几种常见问题: 1.和差倍分问题: 这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。 2.行程相遇问题: 三个基本量的关系路程=速度×时间 (1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间: 甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同); (2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间: 快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。 3.工程任务问题: 三个基本量的关系: 工作量=工作效率×工作时间 一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。 合作效率=各个人的效率之和。 4.利润问题: 利润=售价-成本=成本×利润率;利润率=利润÷成本;实际售价=标价×折扣率。 5.分配问题: 例: 某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据),应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚好配套? 6.水上航行问题: 顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度。 应用举例: 1.一本书,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1/4,请问这本书一共有多少页? 等量关系: 已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-已读的)。 2.某服装七月份下降了10%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比() A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1% 注意: 不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。 3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米, (1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇? (2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇? 分析 (1): 设经过x秒首次相遇。 两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是: 甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×时间x乙的路程=乙的速度×时间x得到方程: 9x+7x=400 (2)设经过x秒首次相遇。 同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是: 快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。 4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天 分析: 合作时间=工作量/合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效率 甲的效率=工作量/甲的时间=1/x乙的效率=工作量/乙的时间=1/y ∴合作时间=1/(1/x+1/y) 5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元? 分析: 设标价x元,等量关系: 利润(求)÷成本(已知250元)=利润率(已知15.2%) 利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250 ∴(90%x-250)/250=15.2% 练习: 小明、小红买工具,所带钱之比为7: 6,小明用掉50元,小红用掉60元,两人余下钱之比为3: 2,,求他们分别余下多少钱? 第四章图形认识初步 知识点一: 几何图形 1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。 如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。 3、有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。 如线段、角、三角形、长方形、圆等。 4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形,但是立体图形中某些部分是平面图形,对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理。 有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。 知识点二: 点、线、面、体 1、立体图形是几何体,简称体;包围着体的是面,面有平面和曲面;面和面相交的地方形成线,线有直线和曲线;线和线相交的地方是点。 2、几何图形都是由点、线、面、体组成,点是构成图形的基本元素。 知识点三: 直线、射线、线段 1、线段: 直线上两个点和它们之间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点。 射线: 将线段向一个方向无限延长就形成了射线。 直线: 将线段向两个方向无限延长就形成了直线。 2、点与直线的位置关系: 点p在直线a上(或说直线a经过点p); 点p不在直线a上(或说直线a不经过点p)。 过一点可画无数条直线,过两点有且仅有一条直线。 简述为: 两点确定一条直线。 3、线段的中点: 把一线段分成两相等线段的点。 两点的所有连线中,线段最短,简述为: 两点之间,线段最短。 两点间的距离: 连接两点间的线段的长度。 线段的长短比较: ⑴度量法;⑵叠合法 判断: ①两点间的距离是指两点间的线段。 () ②两点间连线的长度叫这两点间的距离。 () 知识点四: 角 角: 由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成)。 角的表示: 三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母。 角的要素: 顶点和边,角的大小与边的长短无关。 角的单位: 度,分,秒①1°的60分之一为1分,记作1′,即1°=60′ ②1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″ 角的大小比较: ⑴度量法;⑵叠合法。 角平分线: 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个等角,这条射线叫角平分线。 余角和补角: 如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角;如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角。 性质: 等角的补角相等;等角的余角相等。 第五章相交线与平行线 知识点一: 相交线 1、相交线: 当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。 2、邻补角: 有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 对顶角: 一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角。 性质: 对顶角相等。 3、垂线: 垂直是相交的一种特殊情形,两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 性质: 1、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线短最短; 点到直线的距离: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 知识点二: 平行线及其性质 1、平行线: 不相交的两条直线a、b互为平行线,记作: 。 性质: 1、经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行; 2、如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 两条平行线的距离: 若一直线同时垂直于两条平行线,则该直线夹在这两条平行线间 的线段长度,叫做这两条平行线的距离。 2、同位角、内错角、同旁内角 图中: ∠1和∠3是对顶角,∠1和∠4、∠3和∠4是邻补角,∠1和∠2是同位角,∠2和∠3是内错角,∠2和∠4是同旁内角。 3、直线平行的条件: 同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补, 两直线平行。 平行线的特征: 两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。 知识点三: 平移 1.平移: 在平面内,将一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,这样的图形移动叫做平移变换,简称为平移。 平移特征: ⑴把一个图形整体沿某一个方向移动,会得到一个新的图形.新图形与原图形 的形状和大小完全相同. ⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点就是 对应点。 连接各组对应点的线段平行且相等 2.平移的基本性质: 经过平移,对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等;对应 角相等。 3.平移作图: 关键在于按要求作出对应点;然后,顺次连结对应点即可。 第六章平面直角坐标系 知识点一: 有序数对 在平面上确定物体的位置一般需要两个数据a和b,记作(a,b), a表示: 排、行、经度、角度…… b表示: 号、列、纬度、距离…… 我们把这种有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对。 生活中还有哪些确定位置的其他方法? (1)如果全班同学站成一列做早操,现在教师想找某个同学,是否还需要用2个数据呢? (2)多层电影院确定座位位置用两个数据够用吗? 必须有三个数据(a,b,c),其中a表示层数,b表示排号,c表示座号,即“a层b排c号”。 (3)确定小区中住户的位置必须有四个数据,分别为楼号a,单元号b,层数c和住户号d,即“a楼b单元c层d号。 ” (4)区域定位法: 绘出所在区域代号如B3,D5等。 排球比赛队员场上的位置等。 准确定位需几个独立数据? (1)已知在某列或某行上,只需一个数据定位; (2)在一个平面内确定物体位置,需两个数据; (3)在空间中确定物体位置,需要三个独立数据。 知识点二: 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系: 平面上互相垂直且原点重合的两条数轴构成平面直角坐标系,水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向,两坐标轴的交点为平面直角坐标系原点(0,0)。 2.坐标: 在平面直角坐标系中,一对有序实数可以确定一个点的位置;反之,任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示。 这样的有序实数对叫做点的坐标。 3.象限: 建立了平面直角坐标系后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限。 注意: 坐标轴上的点不属于任何象限。 规律1: ⑴点P(x,y)在第一象限←→x>0,y>0;点P(x,y)在第二象限←→x<0,y>0; 点P(x,y)在第三象限←→x<0,y<0;点P(x,y)在第四象限←→x>0,y<0。 ⑵x轴上的点的纵坐标为0,表示为(x,0),y轴上的点的横坐标为0,表示为(0,y) 点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,到原点的距离是。 例: 到x轴的距离为2,到,y轴的距离为3的点有________个,它们是________。 规律2: ⑴关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数; ⑵关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数; ⑶关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数。 ⑷平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同,两点间的距离=; ⑸平行于y轴的直线上的点,其横坐标相同,两点间的距离=; ⑹一、三象限的角平分线上的点横坐标等于纵坐标,可记作: (m,m); ⑺二、四象限的角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数,可记作: (m,-m)。 点拨: 同一点在不同的平面直角坐标系中,其坐标不同; 根据实际需要,可以建适当的平面直角坐标系。 第七章三角形 知识点一: 三角形 1.概念: 由不在同一直线上的三条线段,首尾顺次相连接组成的图形。 2.性质: 三角形任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边;三角形是具有稳定性 的图形,而四边形没有稳定性。 3.三角形的高、中线与角平分线 高: 从三角形的顶点向它所对的边作垂线,交点为垂足,则顶点到垂足的线段为高。 中线: 连接三角形的顶点和它所对边的中点,所得线段为中线。 角平分线: 作三角形角的平分线与该角所对边交与一点,则角所在顶点与交点之间的线段为角平分线。 每个三角形有3条高、3条中线、3条角平分线。 4.三角形的内角和外角 △ABC有三个内角∠A、∠B、∠C,三角形的内角和等于180°。 外角: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 性质: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;三角形外角和等于360°。 知识点二: 多边形及其内角和、外角和 1.概念: 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 如: 四边形、五边形。 2.对角线: 连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 3.正多边形: 各个角都相等,各条边都相等的多边形。 4.多边形的内角和公式: n边形内角和等于(n-2)×180°。 5.多边形的外角和等于360°。 6.只要满足一个顶点周围几个内角的和等于360度,就可以进行平面镶嵌 第八章二元一次方程 知识点一: 二元一次方程组 1.二元一次方程: 含有两个未知数且未知数的指数都是1的方程叫做
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