数学文化与数学学习.docx

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数学文化与数学学习

对立统一——微积分生命力的源泉

纵观数学发展的历史，我们会发现有些数学理论虽然盛极一时，但是随着时间的推移，这些理论再也无人问津了。

而另有些理论，像微积分，虽已走过了漫长岁月，但仍魅力不减，倍受青睐。

那么是什么原因造成数学理论有如此鲜明的差异呢？

数学生命力的源泉究竟在哪里呢？

大数学家希尔伯曾经说过：

“数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是数学所有各部分间的不可分离的结合。

”就是说数学的生命力在于各部分之间的有机联系。

问题是什么样的联系才是有生命力的联系？

我们认为，美的联系是使数学具有生命力的联系之一,那么什么联系又是美的联系呢?

德国著名的物理学家海森堡说过“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。

”简单讲和谐的联系就是美的联系,例如“在极度复杂的事物中表现出思想的极度简单性（简单美），在极度杂乱的事物中概括出的极度统一性（统一美），在极度变化的事物中发现的极度不变性、对称性（对称美），在极度平凡的事物中表现出的极度奇异性（奇异美）。

”

不难看出其实以上四个方面本质都是一种思想,即对立统一的思想。

无论是复杂与简单、杂乱与统一、变化与不变还是平凡与奇异，只要对立的两个方面能够和谐的相处在一个统一体当中就是一种和谐,就是一种美。

对立统一的方式有两种，一种是互补型，一种是转化型。

就像男性与女性这两个互补型对立面如果能够和谐地相处于同一个统一体--家庭中就是一种美。

所以对立统一就是一种美，一种数学理论的生命力就在于其内部各部分之间及各部分与整体之间和谐的对立统一，这一点，在微积分中有着充分的体现。

首先，我们从整体上来看构成一元微积分的两个部分——一元函数微分学和一元函数积分学。

我们知道微分是描述函数在某点领域内局部性质的概念，而定积分描述的是函数在一个区间上整体性质的概念，显然他们之间是不同的，是对立的。

但是，它们又是统一的，微积分基本定理所描述的正是微分与积分的对立统一，她让微分与积分这两个对立的概念和谐的统一在下面的公式中

爱因斯坦著名的质能公式把物质与能量这两个乍看起来并不相关甚至是对立的两个方面联系了起来,最终导致了核时代的到来,她给人类带来了巨大的利益和巨大的灾难。

微积分也一样，微积分基本定理把微分与积分这两个对立的概念统一了起来，才使得我们能把一个乍看起来难的一塌糊涂的定积分的计算问题，转化为只需计算一个函数F（x）在区间端点上函数值之差，这样一个极其简单的小学算术问题。

事实上，微积分理论能够被世人所承认，并成为数学家族中一个重要成员，其关键也是因为微分与积分的这种对立统一。

如果微分与积分没有这种对立统一，那么微积分的命运便可想而知了。

就像人类的男性、女性如果没有统一，彼此只是孤立的存在的话，那么人类将无法繁衍，人类社会也将无法存在。

再让我们缩小一下范围，从局部分别看一看微分学与积分学。

微分学中最基本的概念是导数、微分，最基本的定理是微分中值定理。

导数的定义中是函数f（x）在区间或上的平均变化率，

则是函数f（x）在点的瞬时变化率，显然它们是不同的，但它们又是统一的。

平均变化率蕴含着瞬时变化率，瞬时变化率是平均变化率的极限状态，因此导数的概念是对立统一的，是平均变化率与瞬时变化率的对立统一。

微分的概念也一样是对立统一的,微分是这样定义的：

函数f（x）在的某个邻域内如果满足则我们称函数在可微。

但如果我们把上面的式子的形式改变一下

然后再移项得,

从几何意义来看前面的y是曲线y=f（x）的值，后面是过点的直线y=的值。

因此微分定义的几何解释就是：

如果函数f（x）在的某个邻域内，存在一条过点的直线y=，曲线y=f（x）在ｘ点的值与过点的直线y=在ｘ点的值相差为的高阶无穷小量，即

曲—直=

则我们称函数在可微。

直线与曲线本来是对立的，但如果函数在可微则当x趋于时直与曲可以达到统一，因此，在用微分进行近似计算时在很小的邻域内可以近似地以直代曲。

也就是说微分概念的本质从几何意义来看就是描述了直线与曲线在一定条件下的对立统一。

我们再看拉格朗日中值定理：

f（x）在一定条件下有这样的结论：

，，

上式左边表示在

上的平均变化率，右边表示在f（x）在t处瞬时变化率，对立性不言自明，统一性也十分明显，函数在区间上的平均变化率等于函数在区间内部某一点处的瞬时变化率。

事实上，中值定理在微分学中举足轻重的地位，就是因为她把研究函数局部性质的导数与函数在整个区间上的平均变化率联系起来了，这样我们才能够用导数来研究函数的单调性、凹凸性、极值、最值等等，而且应用起来十分简便、有效。

同样，在积分学中，定积分的概念和积分中值定理也一样是对立统一的，这里我们就不做详细的分析了。

其实，在多元函数微积分中许多基本概念和重要定理也是对立统一的：

例如二元函数微分的概念，若

在

的某邻域内满足

则称

在

点可微。

但如果我们像一元函数微分一样，把

形式改变一下，

移项得

，显然前面的z是曲面的值，后面的

是平面z=

的值。

因此二元函数微分概念的几何解释是：

若

在

的某邻域内存在一个过

点的平面，满足曲面值-平面值=

则称

在

点可微。

显然微分描述的是

在

的某邻域内曲面与平面的对立统一，平面与曲面是不同的，但当邻域很小的时候平面与曲面可以统一，所以可用平面近似代替曲面。

再如多元函数积分学中像著名的Green公式描述的是区域D上的二重积分与其边界上第二类曲线积分的对立统一；Gauss公式描述的是空间区域上的三重积分和其边界上第二类曲面积分的对立统一；Stokes公式描述的是第二类曲面积分与其边界上第二类曲线积分的对立统一。

　　事实上微积分最基本的研究工具极限这个概念也是对立统一的，所谓极限思想从数学角度来看就是用已知的近似值去逼近未知的精确值，这种思想从哲学角度来看就是对立统一的思想，因为近似与精确是对立的也是统一的，在一定的条件下可以相互转化。

当我们不能马上求出精确值时不妨先退一步，先求出已知的近似值，然后再用已知的近似值去逼近未知的精确值。

以柔克刚，以退为进，利用对立面达到自己的目的，这一点和我们东方文化中儒家阴阳的对立统一，道家刚与柔、有与无的对立统一，佛家色与空的对立统一其思想是相通的。

如果我们再注意一下微积分中的其它一些概念和定理，就会发现，微积分这座美丽的大厦，就是通过常量与变量、有限与无限、近似与精确、整体与局部等等的对立统一建筑起来的。

它的美在于对立统一，它的善在于对立统一，它的真在于对立统一，它的生命力就在于其内部各部分之间及各部分与整体之间和谐的对立统一。

如果没有对立统一，微积分就只是一些孤立的概念、公式、定理的堆积，毫无生气可言，更谈不上和谐谈不上美。

对数学美如果进一步的研究思考就不难发现当两个对立面相差越远，她们所形成的统一体也就越美，美度也就越高，而美度越高数学的生命力也就越强。

这和杂交优势的理念是一致的，两个杂交个体相差越远其杂交体的生命力也就越强。

事实上，对立统一不仅是微积分生命力的源头活水，也是其它许多数学理论的源头活水。

例如，解析几何学就是形象的几何学与抽象的代数学的对立统一，这种对立统一的力量也是有目共睹的：

（1）它使以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础。

（2）它使代数和几何融合为一体，实现了几何图形的数字化，是数字化时代的先声。

（3）代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚。

它带来了认识新空间的需要，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。

通过上面的分析不难看出作为高等数学主要内容的微积分其基本的思想就是对立统一的思想，微积分的和谐也主要表现在这种贯穿始终的对立统一。

如果我们能够认识到微积分思想的统一性，能够认识到微积分的这种美，我们就会更深刻的认识到数学深刻的文化内涵，就会更热爱数学，喜欢数学。

如果我们能够理解这种思想，进一步把它融化到自己的灵魂里，慢慢就会形成一种美的人格，这不是我们这个时代所真正需要的吗？

这不是我们教育的真正目的吗？

爱情（极限）

一枚金币

正面是你（

）

反面是我（A）

无论哪面在上

这，都不是爱情（极限）

竖立起来

也不是爱情（极限）

因为这时还有你我的分别

飞旋起来吧

哪一面是你（

）

哪一面又是我（A）

这，就是爱情（极限）

《天真的预言》

一颗沙里看出一个世界，

一朵花里藏着一座天堂。

把无限放在你的手掌，

让永恒在刹那里收藏。

英国诗人布莱克

一沙一世界，

一花一人生

用有限把握无限

让瞬间化为永恒

也许我们下面讨论的话题可能太单纯太理想。

但我们这一辈子能够单纯的坐在一起谈论理想谈论真理的时光其实可能很短，就像学生时代纯真的爱情，离开学校也许永不再有。

所以今天我们就单纯一次吧，谈谈理想，谈谈真理。

1.大学要培养什么样的人

大学里的最高学位是什么，人格，人格是最高的学位。

教育的目的并不是让学生的心变得更加世故、更加复杂，恰恰相反而是要恢复学生天真的童心、好奇心。

人生不管时代的潮流和社会的风尚怎样，人总可以凭着自己高贵的品质，超脱时代和社会，走自己正确的道路。

---爱因斯坦

Euclid曾经让他的仆人给一个想要问学几何能干什么的学生一个金币然后驱逐他走，为什么？

Euclid说因为他想从中获利.

你知道吗，在这尘世之上的地方，那里有比金钱、比利益、比存在这世上的一切东西更重要的东西。

分数——拥有智慧，金钱——拥有幸福，知识——获得真理，这三对你们选谁？

许多人选前者，因为前者实在，后者虚幻。

其实我们都知道前者是手段，后者才是我们的目标。

你们将来可以富有，也可以贫穷，可以是领导，也可以是一个小职员。

但你们必须是个理想主义者，是个真理的追求者。

虽然通向真理的道路往往会有艰难险阻，而你亦会为此而受尽磨难。

但是，理想主义者的结局悲壮而决不可怜。

2.数学与真理

数学是真理吗？

在这里真理的意思就是不可动摇的意思。

平面几何说过直线外一点能做一条直线与之平行，是真理吗？

黎曼几何说过直线外一点所有直线都是平行的，罗氏几何说过直线外一点至少存在两条直线与已知直线平行，哪个对？

无界函数在定积分看来一定是发散的，而广义积分看来可能收敛，哪个对？

数学不是真理，是知识是假设。

那么真理在哪？

真理女神在数学知识的后面，而我们却常常一面趴在地上抱着真理女神冰冷的影子不放，还一面抱怨着学数学没意思没感觉。

“我们所能有的最美好的经验是对宇宙真理奥秘的体验，它是坚守在真正艺术和真正科学发源地上的基本感情。

谁要是体会不到它，谁要是不再有好奇心，也不再有惊讶的感觉，他就无异于行尸走肉。

”------爱因斯坦

拥抱真理女神吧！

用你的心！

几点建议：

1.学会独立学习主动学习

大学里的教学方式与其它时期的教学方式不同了，老师可能会讲得很快，你跟不上，你听不懂。

听不懂老师也就过去了，没有了高中时的反复讲解，也没有了以前老师布置的做不完的作业。

记住在大学里面没有任何一个教师会围着你转，听不懂你要在课后想办法搞懂，你要学会自己去找题做，你要学会自己学习。

不要埋怨老师不关心你，你要知道尽管教书育人是老师不可推卸的责任，但学不学主要还是自己的事，因为你是大学生了你已经是成年人了，你要学会独立。

有的老师讲课确实不够好，照本宣科，枯燥乏味。

但是你能因此就不学了，你就用不及格向老师抗议，用毕不了业找不到工作气死老师。

要在社会中生存，我们必须学会接受那些不能改变的事。

如果你不喜欢学习，所以你就不学，那么农民不喜欢种田他就不种了，工人不喜欢做工他就不做了，军人不喜欢打仗他就不打了。

许多人觉得学书本上的东西对自己将来工作没有什么用，学了又怎么样，不学又怎么样？

其实社会发展日新月异，我们不能保证大学里所学的任何一门课n年以后仍然管用。

关键的是，你要学会思考，并掌握学习的方法，这样，无论n年以后出现什么样的新知识或新技术，你都能游刃有余。

教育的本质究竟是什么呢？

爱因斯坦说“如果我们将学过的东西忘得一干二净时，最后剩下来的东西就是教育的本质了。

”所谓“剩下来的东西”，其实就是自学的能力，自己解决问题的能力。

只有这样，大学毕业生才能适应瞬息万变的未来世界。

如果感觉在大学里学习“没用”，那你自己一定没有把握自己需要的，主动去追求。

从大学的第一天开始，你必须从被动转入主动，你必须成为自己未来的主人，你必须积极地管理自己的学业和将来的事业，因为没有人比你更在乎你自己的学业与事业。

“让大学对自己有用”是你自己的责任。

2.敢于承当责任

你们大多数人已经年满十八岁了，都是成人了，许多人自己也说自己长大了，成熟了，懂事了。

但我觉得，许多人所谓的成熟懂事只是一种表相。

什么叫成人？

成熟？

什么叫懂事？

虽然大家对于成熟懂事的标准说法不一，但有一个标志是大家公认的，那就是责任。

这种责任不是别人从外面给你的，而是从你自己的内心深处产生的。

爱因斯坦说过：

“人是为别人而生存的——首先是为那样一些人，他们的喜悦和健康关系着我们自己全部的幸福，然后是为许多我们所不认识的人，他们的命运通过同情的纽带和我们密切连接在一起。

我每天上百次地提醒自己，我的精神生活和物质生活都依靠着别人（包括活着的和死去的）的劳动，我必须尽力以同样的分量来报偿我所领受了的和至今还在领受着的东西。

”

我们也应该这样;

我到这个世界上来并不是仅仅为了我自己活着，还要为别人活着。

为父母、为爱我的人、为我爱的人甚至为一切需要我帮助的人。

至少我们对自己父母具有永远都无法推卸的责任。

既然我是为别人而生存的，那么不管自己想不想学，爱不爱学，我都没有任何理由放弃自己应该承担的使命，不管我爱不爱做想不想做我都应该高高兴兴地去做。

我要向世人大声的喊，这世界，既然我来啦，我就要承担一切该我承担的责任。

我绝不放弃！

绝不逃避！

我敢于迎接任何的挑战，敢于面对任何困难。

这就是成熟了，这就是懂事了。

有人说老师你们动不动就拿责任吓唬我们，拿要孝顺父母来逼我们。

其实自己养活自己，给父母找食吃这是动物都会的，是对动物的要求。

我们讲什么都没用，讲什么都激不起你们的热情，没有办法才拿动物的标准要求你们的。

3.要正确认识素质教育和发展能力

要正确认识素质教育和发展能力，素质教育不是会唱歌，会跳舞，会走台。

能力不是办点小报纸，开点小会，搞几个舞会。

素质教育是教一个人培养高尚的人格和高雅的志趣，能力是学习扎实丰富的知识，掌握系统综合的能力，去解决希望解决的问题，去为社会服务。

但是现在的许多大学生，都在高考这个所谓应试教育终结后全部选择走所谓“素质教育”的路线，脱离书本，整天醉心于所谓的“能力的锻炼”中去，其实呢？

学到了什么啊？

再说了大学不是职员的培训机构，过多的社会活动和社交事宜只会占用学生太多的学习时间，当代的许多大学生完全不不配“象牙塔”这样的名词，因为大学的象牙塔是高尚的，纯洁的，是脱离低级趣味的，是追求真理的地方。

现在的许多所谓的素质教育已经偏离了方向，过多的所谓能力的锻炼把学生的心弄野了，根本无心读书，对书本知识不屑一顾，这是及其危险的。

否则当你们大学毕业以后，会突然发现自己除了拿到了一个大学毕业证之外，除了能说一点好像很深奥的话题之外，并没有学到真正过硬的本事时，也许只是名称好听点而已。

我们每一个人都想过上高质量的生活，都想让自己的至亲过上无忧的生活，都想在世上留下自己价值的痕迹，但这些不是在空谈中就可以实现的。

大学这段时间是你们最佳的学习时间，所以请你们放弃一些无意义的“素质教育”、“能力锻炼”努力地重塑有价值的自我，为以后的腾飞积聚力量。