哈工大概率论与数理统计课后习题答案五.docx
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哈工大概率论与数理统计课后习题答案五
习题五
1.假设有10只同种电器元件,其中两只废品,从这批元件中任取一只,如果是废品,则扔掉重新取一只,如仍是废品,则扔掉再取一只,试求在取到正品之前,已取出的废品只数的数学期望和方差。
解设X为已取出的废品只数,则X的分布为
X
012P
X82821810910980
8
18452145即P
所以
EX822,45459844EX2,4545154488.1581405DXEX2(EX)2
2.假设一部机器在一天解设一周所获利润为T(万元),则T的可能值为10,5,0,2.
又设X为机器一周P(T10)P(X0)(0.8)0.3277
14P(T5)P(X1)C50.2(0.8)0.4096
类似地可求出T的分布为
T20510P0.05790.20480.40960.3277
ET20.057950.4096100.3277
5.209(万元)
X(毫米)服从正态分布N(,所以一周3.假设自动线加工的某种零件的内径
1),内径小于·55·
10或大于12为不合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T(元)与零件的T20,若10X12,
5,若X12.
问平均ET1P(X10)20P(10X12)5PX(
10()20[(12)(10)]5[1(12)]1
25(12)21(10)5dET25(12)21(10)d
)(12)(10212252022
即
[(12)2(10)2]211
e225
两边取对数得
即
222ln12212525.2111ln
时,平均利润最大.
4.从学校到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
数学期望.
解
即25,设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和X~B(3,223)P(Xk)C3k()k()3k,分布律为555k0,1,2,3.
·56·
X
P
02712515412523612538125
X
的分布函数为
x0,0,
27,0x1,12581
1x2,F(x)125117
2x3,125,
x3.1,
5472241506EX
1251251251255
5.设随机变量服从几何分布,其分布列为
P(Xk)(1p)k1p,0p1,k1,2,
求EX与DX解1EX其中
k(1p)
k1
k1
ppkq
k1
k1
p(x)
k
k1
xq
kpx
k1xq
q1p
由函数的幂级数展开有所以
x
k0
k
1,1x
11
EXp1p
(1x)21xxq
xq
1
.p
因为
所以
EXkpq
2
2k1
k1
x2pk
,px(x)p22pk1xq(1x)xq
2p1q
.p2p2p2
DXEX2(EX)2
·57·
EXP2pq3pq2kpqk1
2k1p(12q3qkq),解2
设
则
(1)–
(2)得S12q3q2kqk1,
(1)qSq2q23q3kqk,
(2)
1,1q(1q)S1qq2qk1
所以
S
从而,得
11(1q)2p2,EXpSp11.2ppEX2p22pq32pq2n2pqn1
2222n1p(12q3qnq)pS1,22232nqS1q2q3qnq,
2n1(1q)S113q5q(2n1)qS2,
23nqS2q3q5q(2n1)q,
2q2q2n1)11(1q)S212(qqq,1qp
12qS2,pp2
于是
所以
S1S212q23,ppp12q12q,)p2p3pp2
12q1q1p2222.pppppEX2p(故得X的方差为DXEX2(EX)2
·58·
6.设随机变量X分别具有下列概率密度,求其数学期望和方差.
(1)
(2)
(3)
1
f(x)e|x|;
2
1|x|,|x|1,
f(x)
0,|X|1;1522
x(x2),0x2,
f(x)16
其他;0,
(4)
x,0x1,
f(x)2x,1x2,
0,其他.
1
x|x|dx0,(因为被积函数为奇函数)2
1
DXEX2x2e|x|dxx2exdx
02
解
(1)EX
(2)EX
xe
11
2x
2
0
xedx2[xe
x
x
0
exdx]2.
x(1|x|)dx0,
2
1
2
1
2
3
x3x411
]0.DXEXx(1|x|)dx2(xx)dx2[
10346215152532
x(x2)dx(x4x44x3)dx(3)EX016160
15x6454x41516
x1,1665401615
2
2
所以
15x74x64x58156254
EX(x4x4x)dx,0161676507DXEX2(EX)2
1
2
2
81
1.77
2
32
(4)EX
1x
x2dx(2xx2)dxx2
01331
2
1
3
2
1
1
28
31,33
EXxdx(2x2x3)dx
12114
(81)(161),43412
·59·
所以
DX1411126.
7.在习题三第4题中求E
解因X的分布为11X
X
P01
2114218318
所以
E1111111167.1X224384896
8.设随机变量X的概率密度为
ax,0x2,f(x)cxb,2x4,
0,其他.
3已知EX2,P(1X3),求4
(1)a,b,c的值
(2)随机变量Y
解
(1)1
eX的数学期望和方差.f(x)dxaxdx(cxb)dx0224a22c244xxbx22a2b6c,2022
2xf(x)dxax2dx(cxb)xdx0224
解方程组856ac6b,3323335axdx(cxb)dxacb,12422
1ab3c28a18b56c6
33a2b5c2
·60·
得
1,4b1,1c.4a
Xx241x11ef(x)dxxedx(x1)exdx(e21)2,
(2)EYE(e)04244
214122X2x2x2xEYE(e)ef(x)dxxedx(x1)edx0424
1212222(e1)[e(e1)]44
122222DYEY(EY)e(e1).4
9.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5分钟,25分钟和55分钟从底层起行。
假设一游客在早八点的第
分布,求该游客等候时间的数学期望.
解设候梯时间为T,则X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上均匀
X5,5X,25X,5X25,Tg(X)55X,25X5560X5,X55.
ETE[g(X)]
g(x)f(x)dx600g(x)1dx60
25556015(5x)dx(25x)dx(55x)dx(65x)dx05255560
1[12.520045037.5]11.67.60
10.设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数,商店每销售一单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最小进货量。
解设商店获得的利润为T,进货量为
y,则500y(Xy)300,yX30,Tg(X)500X(yX)100,10Xy.
·61·
由题意
300X200y,yX30,600X100y,10Xy,
9280ETg(x)f(x)dx
30
y
即1y(600x100y)dx20107.5y2350y5250,(300x200y)dx
7.5y2350y40300.
解不等式得
202y26,3
即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.
11.设X与Y同分布,且X的概率密度为
32x,0x2,f(x)80,其他.
A{Xa}和事件B{Ya}独立,且P{AB}。
(1)已知事件
(2)求E3,求常数a;41
X2
解
(1)P(X
a)2a321xdx[8a3]883P{AB}P(A)P(B)P(AB)4
213[8a3]2,[8a]864
即有方程
即
可见
解之得
·62·(8a3)216(8a3)480,[(8a3)12][(8a3)4]0,8a312或8a34,a
a故
a
(2)E2313.20X84
12.于习题四第15题中求Z
解sin(XY)2的数学期望.
X,Y的分布为(x,y)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.100.150.250.20
0.150.15
EZsin0.15sin0.25sin0.2022
30.15sin0.15sin2
0.150.250.150.25
13.设的分布律为
解
(1)EX
pij0.420.230.42,EY10.30.30;
yjY1
(2)EZE()pij10.2(1/2)0.10X3ijxi
1110.10.10.1;2315
2(3)EWE(XY)
D(XY)(E(XY))2DXDY2(EXYEXEY)(EXEY)2[EX2(EX)2][EY2(EY)2]2[xiyjpij0]4IJ[0.440.290.44][0.30.3]2(0.220.10.120.130.140.80.60.445.
或
EWE(XY)2E[X22XYY2]EX22EXYEY2
0.440.290.42(0.220.10.120.130.1)0.30.34.80.40.65.
·63·
或,先求(X
Y)2的分布(XY)20P149160.20.30.40
1111(,),(,),(1,1)取值的2424EW0.240.390.45.14.设离散型二维随机变量(X,Y)在点(1,1),
概率均为
解14,求EX,EY,DX,DY,EXY.111111EX110,424244
11111052,EX416164168
5所以DX;8
111111EY110,444444
1111172DYEY;46464432
11111111EXY
(1)
(1)()()()1142442444
1119.(11)48816
15.设(X,Y)的概率密度为
(x4xyef(x,y)0,2y2),x0,y0,其他.
Z的数学期望.
解EZ
004xye
r2(x2y2)dxdy
4200rrcossine022rdrd20sin2d220r4erdrd02cos221[r3er203r2erdr]221[3(rer
200erdr)]
·64·
323
erdr2041t2redrdt42令r2
16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1,|y|x,0x1,f(x,y)0,其它.
求EX,
1x122解
xdydx2xdx;0x03
1x0ydydx;0x1xdx0ydyx;0x
1x11223EXxdydx2xdx,002x
于是
故DX1221();2318
42.189
17.假设随机变量Y服从参数为1的指数分布,随机变量
0,若Yk,k1,2.Xk1,若Yk,
求
(1)X1,X2的联合分布,
(2)E(X1X2).D(2X1)4DX
解
(1)(X1,X2)的分布:
P(X10,X20)P(Y1,1P(Y1)1e,
Y2)P(X10,X21)P(Y1,Y2)0,
P(X11,X20)P(Y1,Y2)
12P(1Y2)ee
12
(2)E(X1X2)EX1EX2ee.
·65·
18.设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a,
(1)ab]之
(2)DX4
证
(1)因为aXb,所以EaEXEb,即aEXb;
(2)因为对于任意的常数C有
DXE(XC)2,
ab取C,则有2
ab2ab2ba2(ba)2
DXE(X)E(b)E().2224
19.一商店经销某种商品,每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布。
商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润500元,试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
解设T为一周Tg(X,Y)1000X500(YX),XY.XY,1000Y,500(XY),XY.
ETE[g(X,Y)]
其中g(x,y)f(x,y)dxdy
1,10x20,10y20,f(x,y)1000,其他.
所以
ET1000y
D111500(xy)dxdy100100D2
102010dy20yydx52010dy(xy)dx10y1020
10y(20y)dy520103(y210y50)dy
2
·66·
200005150014166.67(元).3
20.设X,Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
e(y5),y5,2x,0x1fY(y)fX(x)0,其他;0,y5.
求E(XY),D(XY)
122x,解EX2xd03
EY6
(注:
因为参数为1的指数分布的数学期望为1,而fY(y)是前指数分布向右平移了5个单位,所以EY156)
因X,Y独立,所以
2EXYEXEY64.3
DXY今求
方法1DXYEX2Y2(EXY)2
EX2EY2162x3dx[DY(EY)2]1601
1375[136]16162.5.222
方法2利用公式:
当X,Y独立时
DXYDXDYDX(EY)2DY(EX)2
11413612.5.18189
21.在长为L的线段上任取两点,求两点距离的期望和方差.
解以线段的左端点为原点建立坐标系,任取两点的坐标分别为X,Y,则它们均在
[0,L]上服从均匀分布,且X,Y相互独立.
E|XY||xy|f(x,y)dxdyL0x0LL11(xy)dxdy2(xy)dxdy0xLL2
L1L2L2
2(xLx)dx3L02
LLLL1LL2221E|XY|(xy)2dxdy22xdxdy2xydxdy0000LL00
·67·
所以12L24L4L23L26
L2L2L2
D|XY|.6918
22.设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1
而Y服从标准正态分布,试求随机变量Z2XY3的概率密度.
2解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布,所以Z~N(,)
其中
EZE(2XY3)2EXEY35
2DZD(2XY3)4DXDY9
所以Z的概率密度为
fZ(z)
X,Y(z5)218,z,N(0,1)2的随机变量,求23.设是两个相互独立的且均服从正态分布
E|XY|与D|XY|.
解1E|XY|
|xy|f(x,y)dxdy
1|xy|x(x2y2)1dxdy1
x222x(xy)e(xy)dxdyxx2(x2y2)(x2y2)xedxdyyedxdy222
r243cosdredr43sindr2erdr0044(xy)edxdy(x2y2)(yx)e(x2y2)dxdy
21r2r24sin3(re00edr)42
21r2r24cos3(reedr)0024
·68·
4r2edr4
2
dt
t2
2
E|XY|2E(XY)2
(xy)2
1
e
x2y2
22
dxdy
1
1
0
(xy2xy)er3erdrd
0
2
2
(x2y2)
dxdy
sincoserr3drd
20
2
2
2
20
21
2r2er
2
0r2
21rerdr
2
cos2
0
r2dr
所以
2
0
re
r2
dre1;
D|XY|1
2
.
注意:
从上面的解题过程看,计算相当麻烦,下面给出一种简单的计算方法:
解2设Z
XY,则Z~N(0,1)
z
|z|e2dz2
E|XY|E|Z|
0
ze
z2
2
dz
所以
e
z2
2
|)
E|XY|2EZ2DZ1,
D(XY)Z|XY|2(E|XY|)21
2
.
2)分布,试证
Emin(X,Y)
Emax(X,Y)XY
证1令X1,Y1,则X1,Y1仍相互独立且均服从N(0,1)
24.设随机变量X与Y相互独立,且都服从N(,于是从而
XX1,YY1
max(X,Y)max(X1,Y1)
·69·
max(X1,Y1)
Emax(X,Y)Emax(X1,Y1)
2
2
y1
1x1
Emax(X1,Y1)max(x1,y1)2dx1dy12
22
y1x2y2
111x11
2dx1dy1y12dx1dy1x122x1y1x1y1
x1rcos
1
y1rsin2
454
cosd
0
r2e
r22
1dr
2
54
4
2
sind
0
r2e
r22
dr
12
r24
re2dr5cosdsind0
44
r2r2512244
sin5cos(re|00edr)244
5
4
2e02
r2
2
dr
2
e
r22
dr
所以
r22
dr
,
Emax(X,Y)
同理可证
Emin(X,Y)证2
X1,Y1如上所设,令ZX1Y1
~N(0,1),则Z~N(0,2)
利用23题的结果得
由公式
EZE|X1Y1|
max(X1,Y1)
1
(X1Y1|X1Y1|)21
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