完整word版全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版.docx
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完整word版全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版
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试题类型:
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)设集合S
x|(x
2)(x
3)0,
Tx|x0
,则SI
T=
A.2,3
B.
2
U3,
C.3,
D.0,
2U3,
【答案】D
【解析】易得
S
2U
3,,
SIT0,2
U3,
,选D
考点】解一元二次不等式、交集
(2)若z12i,则4i
A.1B.1
zz1
C.iD.i
【答案】C
【解析】易知z1
2i,故zz14,
4i
i,选C
考点】共轭复数、复数运算
zz1
uuur13uuur31
(3)已知向量BA2,2,BC=(23,2),则ABC
A.30°B.45°C.60°D.120
答案】A
解析】法
cosABC
uuur
uuur
BA
BC
uuuruuur
BABC
233,
112,
o
ABC30
ABx60o,CBx30o,ABC30o
法二:
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系,易知
考点】向量夹角的坐标运算
(4)
某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15oC,B点表示四月的平均最低气温约为5oC.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0oC以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20oC的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20oC的月份有七月、八
月,六月为20oC左右,故最多3个【考点】统计图的识别
32
(5)若tan4,则cos22sin2
64
48
16
A.
B.
C.1D.
25
25
25
答案】
A
解析】
2cos
2
2sin2cos
4sincos
14tan
64
222cossin1tan25
考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
4
2
1
(6)已知a23,b
33,c
253,
则
A.bac
B.a
bc
C.bcaD.cab
【答案】A
4
2
2
12
【解析】a23
43,b
33,c
25353,故cab
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
答案】B
解析】列表如下
a
4
2
6
-2
4
2
6
-2
4
b
6
4
6
4
6
s
0
6
10
16
20
n
0
1
2
3
4
考点】程序框图
π1
(8)在△ABC中,B4,BC边上的高等于3BC,则cosA
43
解析】如图所示,可设BDAD1,则AB2,DC
2332362393654185
【考点】三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是
4πB.92πC.6πD.332π
23
答案】
大,选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面,如图所示,则由切线长定理可知,内接圆的半径为2,
又AA1322,所以内接球的半径为
即V的最大值为
考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
b0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.
P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的
考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列”a{n}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,⋯,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()
A.18个B.16个C.14个D.12个
答案】C
解析】
0
1111
0
111
0
1
1
0
11
1
01
0
0
111
0
1
0
11
1
1
01
0
011
1
0
101
0
111
0
1
011
10
101
011
1
0
101
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题
为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
x
y
10
(13)设x,y满足约束条件x
2y
0,则zxy的最大值为.
x
2y
20
3
【答案】3
2
【解析】三条直线的交点分别为
2,1,1,21,0,1,代入目标函数可得
3
3,32,1,故最小值为10
考点】线性规划
(14)函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.
2【答案】
3
【解析】Qysinx3cosx2sinx,ysinx3cosx2sinx3,故可前者的图像可由后者向33
答案】2xy10
解析】法
f'(x)1313,xx
f'1
法二:
当x0时,fx
xlnx3x,
f'x13,x
2,故切线方程为2xy10
f'12,故切线方程为2xy10
考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线l:
mxy3m30与圆x2
2
y212交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D
两点,若AB23,则|CD|
答案】3
解析】如图所示,作AEBD于E,作OFAB于F,
QAB23,OA23,OF3,即
∴直线l的倾斜角为
30°
x
233
2
考点】直线和圆、弦长公式
CDAE23
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
已知数列
an的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)
证明
an是等比数列,
并求其通项公式;
(2)
若S5
31,求
32
λ.
【答案】
(1)
;
(2)
【解析】
解:
(1)
QSn
1an,
0
an0
当n2时,a
nSnSn
11
an1an1an
(17)(本小题满分12分)
即
1anan1,
an
an1
1,n
2,
an
是等比数列,
公比
n=1
时,S11
a1
a1,
a1
an
n1
2)
S5
31
32
则S5
11
5
31
132
考点】等比数列的证明、由
Sn求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注:
777
参考数据:
yi9.32,tiyi40.17,(yiy)20.55,7≈2.646.
(tit)(yiy)
i1
参考公式:
r,nn
(tit)2(yiy)2
i1i1
解析】
将t9代入回归方程可得,y$1.82
(1)证明MN∥平面PAB;
考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
答案】
(1)见解析;
(2)85
25
2
解析】
(1)由已知得AM3AD2,取BP的中点T,连接AT,TN,
1
由N为PC中点知TN//BC,TNBC2.3分
2
又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN//平面PAB.
6分
面ABCD,故可以A为坐标原点,以AE为
(2)取BC中点E,连接AE,则易知AEAD,又QPA
x轴,以AD为y轴,以
AP为z轴建立空间直角坐标系,
则A
0,0,0、
P0,0,
4、C5,2,0、N
25,1,2
、M0,2,0
uuur
AN
25,1,
uuuur
2,PM
uuur
0,2,4,PNN
25,1,
故平面
PMN的法向量n
0,2,1
uuurr4AN,n
552
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85
25
考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程【答案】
(1)见解析;
(2)y2x1
【解析】
(1)法一:
1
由题设F(2,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且22
a2b2111ab
A(a2,a),B(b2,b),P(21,a),Q(21,b),R(21,a2b).
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.
由于F在线段
AB上,
故1
ab0.
记AR的斜率为
k1,
FQ的斜率为k2,则
aba
b
1
ab
k122
bk2.
11a2a2
ab
a
a
所以AR∥FQ.
.5分
法二:
证明:
连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则SABF2baFD2bax12,SPQF2.由题设可得12bax112a2b,所以x10(舍去),x11.设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得2y(x1).
abx1
ab2
而2y,所以y2x1(x1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2x
3分
1.12分
考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
(1)求f'x;
(2)求A;
(3)证明:
2A.
解析】
(1)
(2)
见解析
f'x
2asin2xa1sinx
1时,
|f(x)||acos2x(a1)(cosx1)|
a2(a1)
3a2f(0)
因此,
3a
2.
当0
1时,
将f(x)变形为f(x)2acos2x(a
1)cosx1.
令g(t)
2at2
(a
1)t1,则A是|g(t)|在[
1,1]上的最大值,
g
(1)
a,g
(1)
3a2,且当
14aa时,
4a
g(t)取得极小值,
1a极小值为g()
4a
(a1)2
8a
a26a
8a
令1
14aa1,
4a
解得a
舍去),a
①当
a1时,
5
g(t)在(
1,1)内无极值点,
|g
(1)|a,
|g
(1)|
23a,|g
(1)||g
(1)|,所以
3a.
②当
a1时,
由g(
1)
g
(1)2(1a)
0,知g
(1)
g
(1)
g(14aa).
4a
1
又|g(1
4aa)||g
(1)|
(1
a)(17a)0,
8a
所以A
1
|g(14a
a
)|
a26a1
8a
23a,0
2
综上,Aa6a1
8a
3a
1
5
2,a
1.
(3)由
(1)得|f(x)|
2asin2x
(a1)sinx|2a|
a1|.
1'
当0a时,|f'(x)|1a
24a2(23a)
2A.
当1
5
a13'
a1时,A1,所以|f'(x)|1a2A.
88a4
当a
1时,|f'(x)|3a16a42A,所以|f'(x)|2A.
请考生在22、23、24题中任选一题作答
考点】导函数讨论单调性、不等式证明
多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修41:
几何证明选讲
AB于E,F两点。
如图,⊙O中?
AB的中点为P,弦PC,PD分别交
(I)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
解析】
平分线上,因此OGCD.
考点】几何证明选讲
(23)
(本小题满分10分)选修44:
坐标系与参数方程
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求PQ的最小值及此时P的直角坐标
答案】见解析
解析】
2
(1)C1的普通方程为x3y21,C2的直角坐标方程为xy40.⋯⋯5分
3
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos,sin),因为C2是直线,所以|PQ|的最小值,
8分
31当且仅当2k6(kZ)时,d()取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为(2,2).
10分
考点】坐标系与参数方程
(24)(本小题满分10分),选修45:
不等式选讲
已知函数fx2xaa.
(1)当a=2时,求不等式fx6的解集;
xgx3,求a的取值范围。
(2)设函数gx2x1.当xR时,
答案】
(1){x|1x3};
(2)[2,)
解析】
(1)当a2时,f(x)|2x2|2.
解不等式|2x2|26,得1x3.
因此,f(x)6的解集为{x|1x3}.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|
|2xa12x|a
|1a|a,
1
当x2时等号成立,
考点】不等式选讲
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