数字信号处理第三版西科大课后答案第2章.docx
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数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.1 学习要点与重要公式
2.2 FT和ZT的逆变换
2.3 分析信号和系统的频率特性2.4 例题
2.5 习题与上机题解答
2.1 学习要点与重要公式
数字信号处理中有三个重要的数学变换工具,即傅里叶变换(FT)、Z变换(ZT)和离散傅里叶变换(DFT)。
利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换,这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系,但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。
Z变换是傅里叶变换的一种推广,单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换,因此用计算机分析和处理信号时,全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT,使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换,它将信号的时域和频域,都进行了离散化,这是它的优点。
但更有它自己的特点,只有掌握了这些特点,才能合理正确地使用DFT。
本章只学习前两种变换,离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1 学习要点
(1)傅里叶变换的正变换和逆变换定义,以及存在条件。
(2)傅里叶变换的性质和定理:
傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
(3)周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。
(4)Z变换的正变换和逆变换定义,以及收敛域与序列特性之间的关系。
(5)Z变换的定理和性质:
移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初
值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
(6)系统的传输函数和系统函数的求解。
(7)用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
(8)零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。
(9)用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2 重要公式
(1)
这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
注意正变换存在的条件是序列服从绝对可和的条件,即
(2)
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对,可用以表现周期序列的频谱特性。
(3)
该式用以求周期序列的傅里叶变换。
如果周期序列的周期是N,则其频谱由N条谱线组成,注意画图时要用带箭头的线段表示。
(4)若y(n)=x(n)*h(n),则
这是时域卷积定理。
(5)若y(n)=x(n)h(n),则
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
(6)
式中,xe(n)和xo(n)是序列x(n)的共轭对称序列和共轭反对称序列,常用以求序列的xe(n)和xo(n)。
(7)
这两式分别是序列Z变换的正变换定义和它的逆Z变换定义。
(8)
前两式均称为巴塞伐尔定理,第一式是用序列的傅里叶变换表示,第二式是用序列的Z变换表示。
如果令x(n)=y(n),可用第二式推导出第一式。
(9)若x(n)=a|n|,则
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列,一些测试题都是用它演变出来的。
2.2 FT和ZT的逆变换
(1)FT的逆变换为
用留数定理求其逆变换,或将z=ejω代入X(ejω)中,得到X(z)函数,再用求逆Z变换的方法求原序列。
注意收敛域要取能包含单位圆的收敛域,或者说封闭曲线c可取
单位圆。
例如,已知序列x(n)的傅里叶变换为
求其反变换x(n)。
将z=ejω代入X(ejω)中,得到
因极点z=a,取收敛域为|z|>|a|,由X(z)很容易得到x(n)=anu(n)。
(2)ZT的逆变换为
求Z变换可以用部分分式法和围线积分法求解。
用围线积分法求逆Z变换有两个关键。
一个关键是知道收敛域以及收敛域和序列特性之间的关系,可以总结成几句话:
①收敛域包含∞点,序列是因果序列;②收敛域在某圆以内,是左序列;③收敛域在某圆以外,是右序列;④收敛域在整个z面,是有限长序列;⑤以上②、③、④均未考虑0与∞两点,这两点可以结合问题具体考虑。
另一个关键是会求极点留数。
2.3 分析信号和系统的频率特性
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。
但分析频率特性使用Z变换却更方便。
我们已经知道系统函数的极、零点分布完全决定了系统的频率特性,因此可以用分析极、零点分布的方法分析系统的频率特性,包括定性地画幅频特性,估计峰值频率或者谷值频率,判定滤波器是高通、低通等滤波特性,以及设计简单的滤波器(内容在教材第5章)等。
根据零、极点分布可定性画幅频特性。
当频率由0到2π变化时,观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化,在极点附近会形成峰。
极点愈靠进单位圆,峰值愈高;零点附近形成谷,零点愈靠进单位圆,谷值愈低,零点在单位圆上则形成幅频特性的零点。
当然,峰值频率就在最靠近单位圆的极点附近,谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
滤波器是高通还是低通等滤波特性,也可以通过分析极、零点分布确定,不必等画出幅度特性再确定。
一般在最靠近单位圆的极点附近是滤波器的通带;阻带在最靠近单位圆的零点附近,如果没有零点,则离极点最远的地方是阻带。
参见下节例2.4.1。
2.4 例 题
[例2.4.1] 已知IIR数字滤波器的系统函数
试判断滤波器的类型(低通、高通、带通、带阻)。
(某校硕士研究生入学考试题中的一个简单的填空题)
解:
将系统函数写成下式:
系统的零点为z=0,极点为z=0.9,零点在z平面的原点,不影响频率特性,而惟一的极点在实轴的0.9处,因此滤波器的通带中心在ω=0处。
毫无疑问,这是一个低通滤波器。
[例2.4.2]假设x(n)=xr(n)+jxi(n),xr(n)和xj(n)为实序列,X(z)=ZT[x(n)]在单位圆的下半部分为零。
已知
求X(ejω)=FT[x(n)]
解:
Xe(ejω)=FT[xr(n)]
因为 X(ejω)=0π≤ω≤2π
所以
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
当0≤ω≤π时, ,故
当π≤ω≤2π时,X(ejω)=0,故
0≤ω≤π
π≤ω≤2π
因此
Re[X(ejω)]=X(ejω)
Im[X(ejω)]=0
[例2.4.3] 已知
0≤n≤N
N+1≤n≤2N
n<0,2N 求x(n)的Z变换。 解: 题中x(n)是一个三角序列,可以看做两个相同的矩形序列的卷积。 设y(n)=RN(n)*RN(n),则 n<0 0≤n≤N-1 N≤n≤2N-1 2N≤n 将y(n)和x(n)进行比较,得到y(n-1)=x(n)。 因此 Y(z)z-1=X(z) Y(z)=ZT[RN(n)]·ZT[RN(n)] 故 [例2.4.4] 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为 (1)要求系统稳定,确定a和b的取值域。 (2)要求系统因果稳定,重复 (1)。 解: (1)H(z)的极点为a、b,系统稳定的条件是收敛域包含单位圆,即单位圆上不能有极点。 因此,只要满足|a|≠1,|b|≠1即可使系统稳定,或者说a和b的取值域为除单位圆以的整个z平面。 (2)系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内,所以a和b的取值域为 0≤|a|<1,0≤|b|<1 [例2.4.5] , f1=10Hz,f2=25Hz,用理想采样频率Fs=40Hz对其进行采样得到 。 (1)写出 的表达式; (2)对 进行频谱分析,写出其傅里叶变换表达式,并画出其幅度谱; (3)如要用理想低通滤波器将cos(2πf1t)滤出来,理想滤波器的截止频率应该取多少? 解: (2)按照采样定理, 的频谱是x(t)频谱的周期延拓,延拓周期为Fs=40Hz,x(t)的频谱为 画出幅度谱如图2.4.1所示。 图2.4.1 (3)观察图2.4.1,要把cos(2πf1t)滤出来,理想低 通滤波器的截止频率fc应选在10Hz和20Hz之间,可选fc= 15Hz。 如果直接对模拟信号x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)进行滤波,模拟理想低通滤波器的截止频率选在10Hz和25Hz之间,可以把10Hz的信号滤出来,但采样信号由于把模拟频谱按照采样频率周期性地延拓,使频谱发生变化,因此对理想低通滤波器的截止频率要求不同。 [例2.4.6] 对x(t)=cos(2πt)+cos(5πt)进行理想采样,采样间隔T=0.25s,得到 ,再让 通过理想低通滤波器G(jΩ),G(jΩ)用下式表示: ≤ (1)写出 的表达式; (2)求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。 解: (1) (2)为了求理想低通滤波器的输出,要分析 的频谱。 中的两个余弦信号频谱分别为在±0.5π和±1.25π的位置,并且以2π为周期进行周期性延拓,画出采样信号 的频谱示意图如图2.4.2(a)所示,图2.4.2(b)是理想低通滤波器的幅频特性。 显然,理想低通滤波器的输出信号有两个,一个的数字频率为0.5π,另一个的数字频率为0.75π,相应的模拟频率为2π和3π,这样理想 低通滤波器的输出为 y(t)=0.25[cos(2πt)+cos(3πt)] 图2.4.2 2.5 习题与上机题解答 1.设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换: (1)x(n-n0) (2)x*(n) (3)x(-n)(4)x(n)*y(n) (5)x(n)y(n)(6)nx(n) (7)x(2n)(8)x2(n) (9) 解: (1 令n′=n-n0,即n=n′+n0,则 (2) (3) 令n′=-n,则 (4)FT[x(n)*y(n)]=X(ejω)Y(ejω) 下面证明上式成立: 令k=n-m,则 (5) 或者 (6)因为 对该式两边ω求导,得到 因此 (7) 令n′=2n,则 或者 (8) 利用(5)题结果,令x(n)=y(n),则 (9) 令n′=n/2,则 2.已知 ≤ 求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。 解: 3.线性时不变系统的频率响应(频率响应函数)H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω),如果单位脉冲响应h(n)为实序列,试证明输入x(n)=Acos(ω0n+j)的稳态响应为 解: 假设输入信号x(n)=ejω0n,系统单位脉冲响应为h(n),则系统输出为 上式说明当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位取决于网络传输函数。 利用该性质解此题: 上式中|H(ejω)|是ω的偶函数,相位函数是ω的奇函数,|H(ejω)|=|H(e-jω)|,θ(ω)=-θ(-ω),故 4.设 将x(n)以4为周期进行周期延拓,形成周期序列 ,画出x(n)和 的波形,求出 的离散傅里叶级数 和傅里叶变换。 解: 画出x(n)和 的波形如题4解图所示。 题4解图 或者 5.设题5图所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示,不直接求出X(ejω),完成下列运算或工作: 题5图 (1) (2) (3) (4)确定并画出傅里叶变换实部Re[X(ejω)]的时间序列xa(n); (5) (6) 解 (1) (2) (3) (4)因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分,即 按照上式画出xe(n)的波形如题5解图所示。 题5解图 (5) (6)因为 因此 6.试求如下序列的傅里叶变换: (1)x1(n)=δ(n-3) (2) (3)x3(n)=anu(n) 0 (4)x4(n)=u(n+3)-u(n-4) 解 (1) (2) (3) (4) 或者: 7.设: (1)x(n)是实偶函数, (2)x(n)是实奇函数, 分别分析推导以上两种假设下,其x(n)的傅里叶变换性质。 解: 令 (1)因为x(n)是实偶函数,对上式两边取共轭,得到 因此 X(ejω)=X*(e-jω) 上式说明x(n)是实序列,X(ejω)具有共轭对称性质。 由于x(n)是偶函数,x(n)sinω是奇函数,那么 因此 该式说明X(ejω)是实函数,且是ω的偶函数。 总结以上,x(n)是实偶函数时,对应的傅里叶变换X(ejω)是实函数,是ω的偶函数。 (2)x(n)是实奇函数。 上面已推出,由于x(n)是实序列,X(ejω)具有共轭对称性质,即 X(ejω)=X*(e-jω) 由于x(n)是奇函数,上式中x(n)cosω是奇函数,那么 因此 这说明X(ejω)是纯虚数,且是ω的奇函数。 8.设x(n)=R4(n),试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n),并分别用图表示。 解: xe(n)和xo(n)的波形如题8解图所示。 题8解图
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