绝对值大全零点分段法化简最值.docx
- 文档编号:1263772
- 上传时间:2022-10-19
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:141.23KB
绝对值大全零点分段法化简最值.docx
《绝对值大全零点分段法化简最值.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《绝对值大全零点分段法化简最值.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
绝对值大全零点分段法化简最值
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
一、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即||=,有||<;||>
2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化||<或||>(>0)来解,如||>(>0)可为>或<-;||<可化为-<+<,再由此求出原不等式的解集。
对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解,也可利用结论“≤||≤≤≤或-≤≤-”来求解,这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有“单项”绝对值的不等式,利用||=可在两边脱去绝对值符号来解,这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷,解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数,需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数(式)时,才可以直接用两边平方去掉绝对值,尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法,是指:
若数,,……,分别使含有|-|,|-|,……,|-|的代数式中相应绝对值为零,称,,……,为相应绝对值的零点,零点,,……,将数轴分为+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于或(为正常数)类型不等式。
对(或<),当||≠||时一般不用。
二、如何化简绝对值
绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。
(一)、根据题设条件
例1:
设化简的结果是( )。
(A)(B) (C) (D)
思路分析:
由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去.
解:
∴应选(B).
归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路.
(二)、借助数轴
例2:
实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于( ).
(A) (B) (C) (D)
思路分析 由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍.
解:
原式
∴应选(C).
归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清:
1.零点的左边都是负数,右边都是正数.
2.右边点表示的数总大于左边点表示的数.
3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了.
(三)、采用零点分段讨论法
例3:
化简
思路分析 本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论.
解:
令得零点:
;令得零点:
,把数轴上的数分为三个部分(如图)
①当时,
∴ 原式
②当时,,
∴原式
③当时,,
∴ 原式
∴
归纳点评:
虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是:
1.求零点:
分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个).
2.分段:
根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定.
3.在各区段内分别考察问题.
4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案.
误区点拨 千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果.
三、带绝对值符号的运算
在初中数学教学中,如何去掉绝对值符号?
因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视。
其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题。
那么,如何去掉绝对值符号呢?
我认为应从以下几个方面着手:
(一)、要理解数a的绝对值的定义。
在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样定义的,“在数轴上,表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
”学习这个定义应让学生理解,数a的绝对值所表示的是一段距离,那么,不论数a本身是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数。
(二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知,一个正数的绝对值肯定是它的本身,一个负数的绝对值必定是它的相反数,零的绝对值就是零。
在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去表示a的相反数(可表示为“-a”),以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用,二是括号的作用)。
(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如︱a︱的一类问题
只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时,︱a︱=a(性质1:
正数的绝对值是它本身);
当a=0时,︱a︱=0(性质2:
0的绝对值是0);
当a<0时;︱a︱=–a(性质3:
负数的绝对值是它的相反数)。
2、对于形如︱a+b︱的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b)=a+b(性质1:
正数的绝对值是它本身);
当a+b=0时,︱a+b︱=(a+b)=0(性质2:
0的绝对值是0);
当a+b<0时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b(性质3:
负数的绝对值是它的相反数)。
3、对于形如︱a-b︱的一类问题
同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3个性质,去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。
因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小,所以当a>b时,︱a-b︱=(a-b)=a-b,︱b-a︱=(a-b)=a-b。
口诀:
无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题,
根据3的口诀来化简,更快捷有效。
如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边(不论正负),便可得到︱a-b︱=(a-b)=a-b,︱b-a︱=(a-b)=a-b。
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。
前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也!
6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值号,小于0的整体前面加负号。
四、去绝对值化简专题练习
(1) 设化简的结果是( B )。
(A) (B) (C) (D)
(2) 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于( C)。
(A) (B) (C) (D)
(3) 已知,化简的结果是x-8。
(4) 已知,化简的结果是-x+8。
(5) 已知,化简的结果是-3x。
(6)已知a、b、c、d满足且,那么a+b+c+d=0(提示:
可借助数轴完成)
(7)若,则有( A )。
(A) (B) (C) (D)
(8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为( C ).
(A) (B) (C) (D)
(9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是(B ).
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
(10)化简=
(1)-3x(x<-4)
(2)-x+8(-4≤x≤2)(3)3x(x>2)
(11)设x是实数,下列四个结论中正确的是( D )。
(A)y没有最小值
(B)有有限多个x使y取到最小值
(C)只有一个x使y取得最小值
(D)有无穷多个x使y取得最小值
五、绝对值培优教案
绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础.绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人手:
l.绝对值的代数意义:
2.绝对值的几何意义从数轴上看,表示数的点到原点的距离(长度,非负);
表示数、数的两点间的距离.
3.绝对值基本性质
①非负性:
;②;③;④.
培优讲解
(一)、绝对值的非负性问题
【例1】若,则。
总结:
若干非负数之和为0,。
(二)、绝对值中的整体思想
【例2】已知,且,那么=.
变式1.若|m-1|=m-1,则m_______1;若|m-1|>m-1,则m_______1;
(三)、绝对值相关化简问题(零点分段法)
【例3】阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式时,可令和,分别求得(称分别为与的零点值)。
在有理数范围内,零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当时,原式=;
(2)当时,原式=;
(3)当时,原式=。
综上讨论,原式=
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出和的零点值;
(2)化简代数式
变式1.化简
(1);
(2);
变式2.已知的最小值是,的最大值为,求的值。
(四)、表示数轴上表示数、数的两点间的距离.
【例4】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与,3与5,与,与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
___.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为______________.
(3)结合数轴求得的最小值为,取得最小值时x的取值范围为___.
(4)满足的的取值范围为______.
(5)若的值为常数,试求的取值范围.
(五)、绝对值的最值问题
【例5】
(1)当取何值时,有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当取何值时,有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求的最小值。
(4)求的最小值。
【例6】.已知,设,求M的最大值与最小值.
课后练习:
1、若与互为相反数,求的值。
2.若与互为相反数,则与的大小关系是().
A.B.C.D.
3.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数,1,一l,那么表示().
A.A、B两点的距离B.A、C两点的距离
C.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 绝对值 大全 零点 分段法 化简最值
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)