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信号处理习题答案
数字信号处理习题解答
第二章数据采集技术基础
2.1有一个理想采样系统,具采样角频率Qs=6兀,采样后经理想低
通滤波器Ha(jQ)还原,其中
—,C<3冗
Ha(jC)=〈2
0,|Q|之3n
现有两个输入,xi(t)=cos2兀t,X2(t)=cos5兀t。
试问输出信号yi(t),
y2(t)有无失真?
为什么?
分析:
要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Qs
必须大于等于信号谱最高角频率Qh的2倍,即满足Qs>2QhO
解:
已知采样角频率Qs=6兀,则由香农采样定理,可得
因为xi(t)=cos2兀t,而频谱中最高角频率Ch1=2兀<6^=3冗,所以yi(t)无失真;
因为X2(t)=cos5兀t,而频谱中最高角频率/2=5n>6-=3^,所以y2(t)失真。
2.2设模拟信号x(t)=3cos2000兀t+5sin6000兀t+10cos12000兀t,求:
(1)该信号的最小采样频率;
(2)若采样频率fs=5000Hz;其采样后的输出信号;
分析:
利用信号的采样定理及采样公式来求解。
⑪采样定理
采样后信号不失真的条件为:
信号的采样频率fs不小于其最高频
率fm的两倍,即
fsA2fm
②采样公式
x(n)=x(t)5s=x(nTs)
解:
(1)在模拟信号中含有的频率成分是
fi=1000H4f2=3000Hz,f3=6000Hz
••・信号的最高频率fm=6000Hz
由采样定理fsA2fm,得信号的最小采样频率fs=2fm=12kHz
(2)由于采样频率fs=5kHz,则采样后的输出信号
x(n)=x(t)=x(nTs)=x—
n1s
.fs
二13cos.;nLsin/2C
说明:
由上式可见、采样后的信号中只出现1kHz和2kHz的频率成分,
y(t)=13cos2二f1t-5sin2二f2t=13cos2000二t-5sin4000二t
可见,恢复后的模拟信号y(t)不同于原模拟信号x(t),存在失真,这是由于采样频率不满足采样定理的要求,而产生混叠的结果。
第三章傅里叶分析
I.傅里叶变换概述
3.1[习题3.2]设序列x(n)=S(n-m),求其频谱X(ej。
,并讨论其
幅频和相频响应
分析:
求解序列的频谱有两种方法:
⑪先求序列的z变换X(z),再求频谱X(e%=X(z)z.e即X(ej)为单位圆上的z变换;
②直接求序列的傅里叶变换
X(ej)=-x(n)e-jn
n二.二二
解:
对序列x(n)先进行z变换,再求频谱,得
X(z)=ZT[x(n)]=ZT[(n-m)]=z
则X(ej)=X(z)zj=e-*
若系统的单位采样响应h(n)=x(n),则系统的频率响应
H(ej。
)=X(ej。
)=e^o=1y用切=,(e侬)exp{j中伴)}
故其幅频和相频响应(如图)分别为
幅频响应H(ej0)|=1
相频响应(・.)--m.
由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。
3.2设x(n)的傅里叶变换为X(eja),试利用"ej")表示下列序列的傅里叶变换:
(1)Xi(n)=x(1-n)x(-1-n)1
(2)X2(n)=-[x(n)x(-n)]
分析:
利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解,即
x(n)uX(ejS),x(—n)uX(e^00)
x(m—n)ue-1翎Xie_18)
解:
(1)由于DTFT[x(n)]=X(e%,DTFT[x(—n)]=X侄口®),贝U
DTFT[x(1-n)]^e-j'X(e-j')
DTFT[x(-1-n)]=ejXk)
故DTFT[x1(n)]=X(ej)[eT'ej]=2X(e^)cos■
(2)由于DTFT[x(-n)]=X(ej)
故DTFT[x2(n)]=X(e)X(e)=Re[X(ej))]
2
3.3设X(eja)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换,不必求出X(ej试完成下列计算:
(1)X(ej°)
(2)X(ej)d.
J5
,一222
(3)[X(ejc)d0
分析:
利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。
(1)序列的傅里叶变换公式为:
正变换X(ej'):
\_x(n)e_jn
n二二二
反变换x(n)=—X(ej^ejnd■
2二一二
(2)帕塞瓦定理
元21n42
Zx(n)=—(X(e°)d0
ns2n4
解:
(1)由傅里叶正变换公式可知3=0,则
QOOO
X(ej0)=x(n)e"j0n='、,x(n)=6n二・:
二n=二二
(2)由于ej0=1,则由傅里叶反变换公式可知n=0,故
・江jAX,兀jAXj0———
、X(ejK)d0=QX(ej°)ej0d8=2兀x(n)1nq=2冗’2=4几
(3)由帕塞瓦定理,得
'.I|2二2
X(ej)d'->:
:
=2二'x(n)=28二
F"n-.二
II.周期序列的离散傅里叶级数(DF0
3.4如图所示,序列x(n)是周期为6的周期性序列,试求其傅里叶级数的系数。
分析:
利用DFS的定义求解,即
N二
X(k)=DFS[~(n)]=£~(n)W;n,其中k=0~(N-1)
n=S
解:
已知N=6,则由DFS的定义得
~55」Wk
X(k)=X~(n)W6=Zx(n)e6n0n=0
-j—k_j2~2k」22:
3k_j22:
4k_j235k
=1412e610e68e66e610e6
对上式依次取k=0~5,计算求得
1(0)=60,X
(1)=9—j3"&X
(2)=3+jv?
~~一~一
X(3)=0,X(4)=3-j.3,X(5)=9j3、.3
cu、几n+1,0 3.5设x(n)=i,h(n)=R(n—2) 0,其他n~令x(n)=x((n))6,h(n)=h((n))6,试求x(n)与h(n)的周期卷积。 分析: 可以利用列表法求解,直观方便。 由于 N1 h(n)=x(m)h(n—m)m=0 只要将列表中对应于某个n的一行中的~(n-m)值和第一行中与之对 应的置m)值相乘,然后再将所有乘积结果相加,就得到此n的~(n)值 解: 注意: 本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序 列循环移位的概念 在一个周期(N=6)内的计算卷积值 N1 © 〜.,〜...., h(n)-*x(m)h(n-m) m-0 则~(n)与~(n)的周期卷积~(n)值(n=0~5)如下表所示: n\h(n-m) 1 2 3 4 5 0 y(n) 0 0 1 1 1 1 D 14 1 0 O 1 11 1 1 r12 2 1 □ 0 1 1 1 10 3 1 1 0 D 1 1 P8 4 1 1 1 0 0 1 6 5 1 1 1 1 0 0 10 III.离散傅里叶变换(DFP 3.6已知x(n)如图所示,为{1,1,3,2},试画出序列x((-n))5,x((-n))6R(n),x((n))3R(n),x((n))6,x((n-3))sR(n)和x((n))7R(n)的略图。 j-(rt)1 3”的 工.r —•-1,■•—•- -2-2G123456n 分析: 此题需注意周期延拓的数值,也就是x((n))n中N的数值。 如果 N比序列的点数多,则需补零;如果N比序列的点数少,则需将序列 按N为周期进行周期延拓,造成混叠相加形成新的序列。 解: 各序列的略图如图所示。 如"■$叫恢其. M叭**加留院, .JJ. I31i0 3.7试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换(闭合形式表达 式): (1)x(n)=anRN(n) ⑵x(n)=、.(n-n。 ),0: 二n0: 二N (3)x(n)=nRN(n) (4)x(n)=n2RN(n) 分析: 利用有限长序列的DFT的定义,即 N4 X(k)=£x(n)W: n,0 n=0 解: (1)因为x(n)=anR(n),所以 N1NNq_jJnk X(k)='anW;〜aneN n=0n=0 (2)因为x(n)=6(n-n0),0 NJ X(k)八、.(n—no)W;n n=0 kn =Wn 「」,0k =e (3)由x(n)=nRN(n),得 N1 X(k)="nwNkn n0 注意: 为了便于求解,必须利用代数简化法消除掉上式中的变量n •••••••••••••••••••••••a•• N二 kk(n-1) WnX(k)=£nWN() n=0 N1N1 X(k)(1-W;)八nW;」nWNk(n1)nz0nz0 =[W: 2W;k3WN1k(N-1)Wrk(NJ)] N1 =_(N一1)八W;nn1 所以 X(k) -N k 1-Wrk (4)注意: 本题可利用上题的结论来进行化简 由x(n)=n2RN(n),则 N1 X(k)八n2W;n nz0 根据第(3)小题的2^论: 若X1(n)=nRN(n) 则 -N k 1-Wn NJ kn Xi(k)=、.nWN n=0 与上题同理,得 N1N1 X(k)(1-WNk)-n2wNknn2wNk(n1) n0n少 =w;4W: k9W;k(N-l^wNT,)] 一[W;k4WN3k……(N-2)2WNk(NJ)(N-1)2W;N] N1 =-(N-1)2八(2n-1)W;n nz1 N1 n-N(N-2)2nW;n n4 =-N(N-2)2X1(k) 所以 3.8试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积 分析: 本题可以直接利用循环卷积的公式求解,也可以利用循环移位的概念来求解,即: 有限长序列x(n)左移m(m为正整数)位的循环移位定义为 Xm(n)=x((nm))NRN(n) 且移位时,在主值区间(n=0~N-1)内,当某序列值从区间的一端移出时,与它同值的序列值又从区间的另一端移入。 解: 由循环卷积的定义,可知 y(n)=Xi(n)(6X2(n)=[x[((n))6©x2((叽㈤⑻ =[xi((n))6036((n—3))6]R6(n)=3xi((n-3))6R6(n) 则根据循环移位的概念,将序列xi(n)循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列(n=0~5)即可,其结果如图所示。 3.9如图所示的5点序列x(n),试画出: (1)x(n)*x(n) ⑵x(n)(5x(n) (3)x(n)⑪x(n) 了脑”3 3-, 2 2-♦ 分析: 本题可由图解法来计算循环卷积,并利用循环卷积来求解线性卷积。 同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件: 设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M其循环卷积的长度为L,则要用循环卷积代替线性卷积的条件是: 循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度N+M-1,即 L>N+M-1 否则,在循环卷积周期延拓时会产生混叠。 解: 由于x(n)是5点序列,所以x(n)*x(n)是5+5-1=9点序列,因此,x(n)10x(n)的前9个点(n=0,1,…,8)就是x(n)*x(n)值,后一个点(n=9)为零,因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列(L可以是任意整数值)。 其运算结果分别如图(a)、(b)、(c)所示。 3.10已知两个有限长序列为 'n+1,0 x(n)= 、0,4 [-1,0 y(n)=J 15 试作图表示x(n),y(n)以及f(n)=x(n)dv(n) 分析: 直接利用循环卷积公式或图解法求解。 解: 其结果如图所示。 0 3.11[习题3.10]已知x(n)是N点有限长序列,且X(k)= DFT[x(n)]。 现将它补零扩展成长度为rN点的有限长序列y(n),即 x(n),0 0,N 试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 分析: 利用DFT定义求解。 y(n)是rN点序列,因而结果相当于在频域 序列进行插值。 解: 由 N」_j2Znk X(k)=DFT[x(n)]=£x(n)eN,0 n田 可得rN1N1 Y(k)=DFT[y(n)]='y(n)W,Nk八x(n)WrNk n=0n=0 N」.j—nkfk、 =£x(n)eNr=X—+k=Ir,l=0,1,…,N-1nm 所以在一个周期内,Y(k)的采样点数是X(k)的r倍(Y(k)的周 期为rN),相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其它的数值(不 一定为零),而当k为r的整数l倍时,Y(k)与X&;相等。 3.12[习题3.12]频谱分析的模拟信号以8kHz被采样,计算了512 个采样点的DFT试确定频谱采样之间的间隔,并证明你的回答。 分析: 利用频域采样间隔R和时域采样频率fs以及采样点数N的关系fs=NFo fs 证: 由 Fo fs Fo 其中Qs是以角频率为变量的频谱周期,Qo是频谱采样之间的频谱间隔。 又 fs fs 则 对于本题有fs=8kHz,N=512 所以Fo=8000=15.625Hz512 3.13[习题3.2。 ]设有一个频谱分析用的信号处理器,采样点数必 须为2的整数哥,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分 辨力wloHz,如果采用的采样时间间隔为o.lms,试确定: (1)最小记录长度; (2)所允许处理信号的最高频率; (3)在一个记录中的最小点数。 分析: 采样间隔T和采样频率fs满足fs=1/T,记录长度T0和频域分辨力F0的关系为To=1/F0,采样定理为fsA2fh(3为信号最高频率分量),一个记录中最少的采样总数N满足 解: (1)因为To=1/Fo,而FoWlOHz,所以 .1 Tos 10 即最小记录长度为0.1s ⑵因为fs=1=—x1o=1okHz,而fsA2fh To.1 所以 1 fhfs=5kHz h2s 即允许处理信号的最高频率为5kHz。 用FFT运算需要多少时间? 分析: <1直接利用DFT计算: 复乘次数为N2,复加次数为NN-1); ②利用FFT计算: 复乘次数为-log2N,复加次数为Nlog2N; 2 解: (1)直接计算 复乘所需时间T1=510SN2=510-65122=1.31072s 复加所需时间 一£-6一一 T2=0.510N(N—1)=0.510512(512—1)=0.1s30 所以 T=[T2=1.441536s (2)用FFT计算 复乘所需时间T1=510上Nlog2N-510*512log2512=0.01152s22 复加所需时间T2=0.510上Nlog2N=0.510上51210g2512=0.002304s 所以 T=T1T2=0.013824s 3.15已知X(k),Y(k)是两个N点实序列x(n),y(n)的DFT值,今 需要从X(k),Y(k)求x(n),y(n)的值,为了提高运算效率,试用一 个N点IFFT运算一次完成。 分析: 我们来组成一个新的序列Xk)+jY(k)序列,则有 IDFT[X(k)jY(k)]=IDFT[X(k)]jIDFT[Y(k)]=x(n)jy(n) 它的实部即为实序列x(n),虚部即为实序列y(n)解: 依据题意,可知 x(n): 二X(k),y(n): =Y(k) 取序列 Z(k)=X(k)jY(k) 对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n)。 又根据DF檄性性质 IDFT[X(k)jY(k)]=IDFT[X(k)]jIDFT[Y(k)]=x(n)jy(n) 由原题意可知,x(n),y(n)都是实序列。 再根据z(n)=x(n)+jy(n),可得 x(n)=Re[z(n)] y(n)=Im[z(n)] 3.16[习题3.22,3.23]N=16时,画出基-2按时间抽取法(DIT) 及按频率抽取法(DIF)的FFT流图(时间抽取采用输入倒位序,输 出自然数顺序,频率抽取采用输入自然顺序,输出倒位序)。 分析: 0DIF法与DIT法的异同: 不同点: DIT与DIF的基本蝶形图不同,DIF的复数乘法出现在 减法之后,DIT的复数乘法出现在减法之前; 相同点: DIT与DIF的运算量是相同的; ②DIF法与DIT法的关系: 它们的基本蝶形是互为转置的。 解: (2)按频率抽取(DIF)如图所示 3.17[课堂思考题]若Xi(n),X2(n)是因果稳定序列,求证: JT: „1K: „1K: „ jeMe1)…6je"。 噌/6”} 证: 设y(n)=x1(n)*x2(n) 则由时域卷积定理,得 Y(ej')=Xi(ej')X2(ej) (1)按时间抽取(DIT)如图所示 1 Xi(n)X2(n)=y(n)=——Y(e)ed■ 2二-二 1=——X1(ej)X2(e)ed■2二-二 令上式的左右两边n=0,得 1-..n —..Xi(ej)X2(ej)d'=x1(n)…⑻口2-\x1(k)x2(n-k) 2: fILk=0n,0 =X1(0)X2(0) 又傅里叶反变换公式,得 1二;;n1二;;n x1(n)=一XX1(e吗e5ds,x2(n)=一fX2(ew)ec^d« ''2二-二2二-- 则 1二;.1二 %(0)=——[XMe/dm,x2(0)=——fX2(ejW)do 2M•工2二二x 所以 ";XMej)X2(ej)d,={(二X-ejd}{(二X2(ej)d} 3.18[课堂思考题]在N=16时按时间抽取的基-2FFT算法中,若输入序列x(n)采用倒位序,输出序列X(k)采用自然数顺序,试写出输入序列x(n)的排列顺序,并简述理由。 答: N=16的基-2FFT算法中,输入序列x(n)倒位序排列顺序为x(0)、x(8)、x(4)、x(12)、x (2)、x(10)、x(6)、x(14)、x (1)、x(9)、x(5)、x(13)、x(3)、x(11)、x(7)、x(15) 其倒位序排序规则如表所示: 自然顺 自然顺序二 倒位序二进 倒位序顺 序n 进制数 制数 序n 0 0000 0000 0 1 0001 1000 8 2 0010 0100 4 3 0011 1100 12 4 0100 0010 2 5 0101 1010 10 6 0110 0110 6 7 0111 1110 14 8 1000 0001 1 9 1001 1001 9 10 1010 0101 5 11 1011 1101 13 12 1100 0011 3 13 1101 1011 11 14 1110 0111 7 15 1111 1111 15 第五章时域分析 5.1随机相位正弦波 x(t);x0sin(-t: ) 式中,X0,3均为常数,小在0~2兀内随机取值,试求其自相关函数并作图。 分析: 利用自相关函数的定义求解,即 1T,、,、, Rxx(.)=[imx(t)x(t)dt T[二T0 解: 由自相关函数的定义式,得 1T ..1 =lim— J'T 令t'=: • Rxx()=TimT.0x(t)x(t)dt iox2sin('t7;)siM.(t,.)dt …1I 则dt=da,且(oT=2几co sin2: cost: ”-sin: cos: sin■.d: ,x2产 故Rxx(.)=lim—。 ~ xxt—: : : 2-.-二•: 2 X。 二一cos' 2 可见,该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率3有关,而不含相位信息,这表明: 正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。 其自相关函数图形如图所示。 2Rxx(弋) xo2/2 j 5.2两个随机相位正弦波 x(t)=Asin(tB) y(t)=Bosin(,二-) 式中,A,E0,3,小均为常数,。 在0~2兀内的取值概率相同,即满 %…0<0<2^ p(「)=2- 0,其它 试求其互相关函数并作图。 分析: 利用互相关函数的定义求解,即 1T,、,、, Rxy()=pmx(t)y(t)dt T始.T0 解: 由互相关函数的定义式,得 1T Ry()=Tim: T0x(t)y(t)dt 0A0B0sin(t^)sin1■(t)d i. =—A0B0COS(G三: ) 其最大峰 可见,两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数,值出现在P=。 /3处。 其互相关函数图形如图所示『口,、 HRxy(t) 第六章数字滤波器设计 6.1已知模拟滤波器的模方函数 2 H(j'O 20(4-2)2 ~~2T2" (9C
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