人教课标版高中数学必修三《算法的概念》教案1新版.docx

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人教课标版高中数学必修三《算法的概念》教案1新版

第一章算法

1.1.1算法的概念

一、教学目标

1．核心素养

通过学习算法的概念，提升学生的数学运算、数据处理和逻辑推理能力．

2．学习目标

（1）正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点；

（2）通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路；

（3）通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣．

3．学习重点

（1）深刻理解并准确把握算法的特点；

（2）体会设计算法的基本思路，能够设计简单的算法来解决实际问题．

4．学习难点

设计一个具体问题的算法时怎样设计一个明确的步骤．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1

阅读教材P2－P5，思考：

什么是算法？

算法具有哪些基本特点？

任务2

列举三个算法的例子并写出具体明确的算法步骤．

2．预习自测

1．下列关于算法的说法，正确的个数有（）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1B．2C．3D．4

【解析】由算法的概念可以知道：

求解一类问题的算法不是唯一的，故①不正确；算法是有限步，结果具有明确性，②④是正确的；算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊，③是正确的.故关于算法的说法中正确的个数是3.所以C选项是正确的.

2．算法的有穷性是指（）

A．算法的最后必包含输出

B．算法中每个操作步骤都是可执行的

C．算法的步骤必须有限

D．以上说法均不正确

【解析】本题主要考查算法的含义与基本思想.根据算法的有穷性的特征可判断正确答案为C．

3．下列关于算法的描述正确的是（）

A．算法与求解一个问题的方法相同

B．算法只能解决一个问题、不能重复使用

C．算法的过程要一步一步操作，每步操作必须确切

D．有的算法执行完后，可能无结果

【解析】算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A错误；算法能够重复使用，故B错误；算法过程要一步一步执行，C正确；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D错误．

（二）课堂设计

1．已有经验的再认识

引例1．赵本山的小品中有一个问题，把大象放进冰箱里需要哪几个明确的步骤？

答：

第一步，把冰箱门打开；第二步，把大象装进去；第三步，把冰箱门关上．

引例2．求方程组

的解需要哪几个明确的步骤？

答1：

第一步，由①，得到

③答2：

第一步，②×2＋①，得到5x＝10.③

第二步，③代入②，解得x＝2.④第二步，解方程③，可得x＝2.④

第三步，将④代入②，可得2＋y＝－2.⑤第三步，将④代入②，可得2＋y＝－2.⑤

第四步，解⑤得y＝－4.第四步，解⑤得y＝－4.

第五步，得到方程组的解为

第五步，得到方程组的解为

2．问题探究

问题探究一什么是算法？

●活动一概念再审视，体会算法的概念

在生活中和在以往的学习中我们都做过同样的事情，就是将完成某件事情分成明确有效的几个步骤，这就是我们今天要学习的算法.

根据引例2，请写出求解一般二元一次方程组

的解的算法（明确有限的步骤）．（略）

如果我们将它编程，输入计算机，是不是就可以用计算机来帮我们解二元一次方程组了.

●活动二归纳整理算法的概念

算法在不同时期有着不同的定义，具体如下：

12世纪

的算法

指的是用阿拉伯数字进行算术计算的过程

数学中的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法

通常可以编成程序，让计算机执行并解决问题

问题探究二算法具有哪些特点？

重点、难点知识★▲

●活动一举例与归纳，概念深度认识

问1：

你能举出算法的其它例子吗？

问2：

这些算法都有哪些共同的特点？

（1）确定性：

算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效地执行得到确定的结果，而不能含糊其辞，含有歧义．

（2）有限性：

对于一个算法来说，它的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤之内完成．

（3）普遍性：

一个算法通常设计成能解决一类问题，不是仅仅解决一个单独问题．

（4）不唯一性：

解决一个问题可能有多个算法，但有优劣之分，其中操作简单、步骤少且能解决一类问题的算法称为最优算法．

问题探究三算法概念的应用？

重点、难点知识★▲

●活动一概念辨析，理解算法特点

例1下列语句中是算法的个数为（）

①从重庆到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；

②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

③方程x2－1＝0有两个实根；

④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10.

A．1B．2C．3D．4

【知识点：

算法的概念】

详解：

①中说明了从重庆到北京的行程步骤；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决的明确的步骤；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③这个问题，并没有说明如何去算．故①②④是算法，③不是算法．

点拨：

严格根据算法的特点进行判断．

●活动二求解决一个具体问题的算法

例2写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的算法．

【知识点：

设计具体问题的算法】

详解1：

第一步，计算1＋2得到3.

第二步，将第一步的运算结果3与3相加，得到6.

第三步，将第二步的运算结果6与4相加，得到10.

第四步，将第三步的运算结果10与5相加，得到15.

第五步，将第四步的运算结果15与6相加，得到21.

详解2：

第一步，输入n的值6.

第二步，令i＝1，S＝0.

第三步，判断“i≤n”是否成立，若不是，输出S，结束算法；若是，执行下一步．

第四步，令S的值增加i，仍用S表示，令i的值增加1，仍用i表示，返回第三步．

点拨：

按题意可以采取逐个相加的方法计算结果；也可以设计做重复加法运算．方法二具有代表性，重复做同一种动作时，可以用这种算法来解决，能节约大量的程序步骤．算法二体现了算法的本质：

对一类问题的机械的、统一的求解方法，其中S称为累加变量、i称为计数变量．

3．课堂总结

【知识梳理】

算法可概括出以下几个特征

（1）确定性：

算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效地执行得到确定的结果，而不能含糊其辞，含有歧义．

（2）有限性：

对于一个算法来说，它的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤之内完成．

（3）普遍性：

一个算法通常设计成能解决一类问题，不是仅仅解决一个单独问题．

（4）不唯一性：

解决一个问题可能有多个算法，但有优劣之分，其中操作简单、步骤少且能解决一类问题的算法称为最优算法．

【重难点突破】

算法设计要求

（1）写出的算法必须能解决一类问题（如课本中判断任意一个整数n是否为质数），并且能重复使用．

（2）要使算法尽量简单，步骤尽量少．

（3）算法过程要能一步一步执行，每一步都准确无误，且在有限步后能得出结果．

4．随堂检测

1．下列语句表述为算法的是（）

①从济南到巴黎，可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达；

②利用公式

计算底为1，高为2的三角形的面积；

③

；

④求M（1，2）与N（－3，－5）两点连线的方程，可先求M，N的斜率，再利用点斜式方程求得．

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．②③④

【知识点：

算法的概念】

【解析】本题主要考查算法的概念与基本思想的运用.需要指出的是，算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，判断算法的标准是“解决问题的有效步骤或程序”.①②④都各表达了一种算法.③是一个不等式，没有解决问题的步骤，不属于算法的范畴．

2．下列各式中T的值不能用算法求解的是（）

A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002

B．

C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋…

D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100

【知识点：

算法的特点】

【解析】根据算法的特点：

在进行有限次计算之后必须能够终止程序.其中A、B、D满足条件，而C的计算不是有限次，因此T的值不能用算法求解，答案为C.

3．以下是解二元一次方程组

的一个算法，请将该算法补充完整．

第一步，①②两式相加得3x＋9＝0③

第二步，由③式可得________________④

第三步，将④式代入①式得y＝0.

第四步，输出方程组的解________________．

【知识点：

设计一个具体问题的算法】

【解析】这是一道考查算法概念实际运用的题目，同时考查了二元一次方程组的解法.求解方程3x＋9＝0即可得x＝－3，再由题意，得到y＝0后，即可得方程组的解为x＝－3，y＝0.

解：

x＝－3；x＝－3，y＝0

4．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：

第一步，求1×3得到结果3.

第二步，将第一步所得结果3乘5，得到结果15.

第三步，____________________________________________.

第四步，再将105乘9得到945.

第五步，再将945乘11，得到10395，即为最后结果．

【知识点：

设计一个具体问题的算法】

【解析】这是一道考查算法概念实际运用的题目，考查学生的计算能力.解法是将第二步所得的结果15乘7，得结果105.

（三）课后作业

基础型自主突破

1．下列关于算法的描述正确的个数是（）

①算法要求一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；

②算法一般是机械的，有时要进行大量的重复计算；

③任何问题都可以用算法来解决；

④算法只能解决一个问题，不能重复使用；

⑤有的算法执行完后，可能无结果.

A.1

B.2

C.3

D.4

【知识点：

算法的概念】

【解析】由算法的概念可知：

算法具有有穷性、确定性．求解某一类问题的算法要一步一步进行，结果唯一，①为确定性，故正确；大部分算法要经过复杂重复的运算，如循环过程，故②正确；③太绝对，并非所有问题都能按一定的算法解决，错误；对于同一类问题可以利用相类似或者同一算法解决，故④错误．算法执行后一定得到确定的结果，具有明确性，故⑤错误.综上正确的个数为2.故选B.

解：

选B.

2．阅读下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）

A．求1×2×3的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，最终结果为6.

B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

C．方程x2－1＝0有两个实数根.

D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6，6＋4＝10，10＋5＝15，最终结果为15.

【知识点：

算法的概念】

【解析】算法指的是解决一类问题的方法或步骤，选项C只是陈述了方程有两个根的事实，没有解决如何求这两个根的问题，所以不能看成算法.

解：

C

3．下列问题中：

①解方程3x＋5＝0；

②用二分法解方程x2－5＝0；

③求半径为5的圆的周长；

④解二元一次方程x＋y＝2.

其中可以设计一个算法求解的是________．

【知识点：

算法的特点】

【解析】本题考查对算法特点的掌握.算法具有有穷性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性和普遍性.①②③均符合这些特点；④中x与y的值不确定，结果具有不确定性，因此不能设计算法求解.

解：

①②③

4．下列叙述能称为算法的个数为

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

②按顺序进行下列运算：

1+1＝2，2+1＝3，3+1＝4，…，99+1＝100；

③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州；

④3x＞x＋1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，…

A.2

B.3

C.4

D.5

【知识点：

算法的特点】

【解析】本题考查对算法基本概念的掌握.算法具有有穷性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性和普遍性.④的结果具有不确定性，⑤的结果有无限个，不符合算法有穷性的特点，故只有①②③能称为算法.

解：

B

5．下列问题中：

①解方程3x＋5＝0；

②用二分法解方程x2－5＝0；

③求半径为5的圆的周长；

④解二元一次方程x＋y＝2.

其中可以设计一个算法求解的是________．

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查对算法特点的掌握.算法具有有穷性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性和普遍性.①②③均符合这些特点；④中x与y的值不确定，结果具有不确定性，因此不能设计算法求解.

解：

①②③

6．给出下列算法：

第一步，输入x的值．

第二步，当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．

第三步，计算

.

第四步，输出y.

当输入x＝0时，输出y＝________.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查对算法在具体问题中的应用.执行算法，有x＝0时，不满足条件x>4，有

，输出y的值为2.

解：

由于x＝0>4不成立，故计算

.

能力型师生共研

7．以下是解二元一次方程组

的一个算法，请将该算法补充完整.

第一步，①②两式相加得3x＋9＝0.③

第二步，由③式可得________________.④

第三步，将④式代入①式得y＝0.

第四步，输出方程组的解________________.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查二元一次方程组的解法.求解方程3x+9=0即可得x=－3，再由题意，得到y=0后，即可得方程组的解为x=－3，y=0.

解：

x＝－3；x＝－3，y＝0

8．已知算法如下：

第一步，输入自变量x的值．

第二步，判断x>0是否成立，若成立，计算y＝1＋x，否则，执行下一步．

第三步，判断x＝0是否成立，若成立，令y＝0，否则计算y＝－x－3.

第四步，输出y.

则该算法的功能是________．

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题主要考查算法在具体问题中的应用，同时涉及到分段函数的相关知识.执行题中算法，可知这是求解分段函数的过程，因此该算法的功能是求分段函数的函数值.

解：

求分段函数

的函数值

9．给出算法：

第一步，输入n＝5.

第二步，令i＝1，S＝0.

第三步，判断i≤n是否成立，若不成立，输出S，结束算法；若成立，执行下一步．

第四步，令S的值乘以i，仍用S表示，令i的值增加1，仍用i表示，返回第三步．

该算法的功能是________．

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查算法在具体问题中的应用.执行算法可得：

n=5，i=1，S=1,

满足条件1≤5，S=S×i=1，i=i+1=2；

满足条件2≤5，S=S×i=2，i=i+1=3；

满足条件3≤5，S=S×i=6，i=i+1=4；

满足条件4≤5，S=S×i=24，i=i+1=5；

满足条件5≤5，S=S×i=120，i=i+1=6；

不满足条件6≤5，输出S的值为0，故该算法的功能是计算并输出S=1×2×3×4×5的值.

解：

计算1×2×3×4×5的值

10．结合下面的算法：

第一步，输入x；

第二步，判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步；

第三步，输出x－1.

当输入的x值为cos120°，

，log2

时，输出的结果分别为________．

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】依据算法可知，当x＝cos120°＝－

<0，输出－

＋2＝

＝1.5；当x＝

＝2>0，输出2－1＝1；当x＝log2

＝－2<0，输出－2＋2＝0.

解：

1.5，1，0

探究型多维突破

11．有10个大小相同的珠子，其中9个质量相同，只有一粒质量比其他轻，请设计一种算法找出这粒珠子.

【知识点：

设计具体问题的算法】

解1：

把10个珠子分成两组，每组5个珠子，放到天平上，找到较轻的那一边，则质量较轻的珠子在这一组里.再将这一组的珠子分成两组，每组2个，再放在天平上，找到较轻的那一边，则较轻的珠子在这一组里，将这一组的两个分别放在天平的两边，较轻的那边的珠子即是质量较轻的那颗珠子.

解2：

任取8个分成两组，每组4个珠子，将这两组珠子分别放到天平的两端，若天平平衡，则较轻的在剩下的两个珠子内，再将这两个珠子放到天平上，则较轻的那边即是质量较轻的那个；若天平不平衡，则将较轻的那一组4个珠子再分成两组，每组2个，再找出较轻的那一组，再放在天平的两端，较轻的一端的珠子即为质量较轻的珠子.

12．骡子与驴子身上各背着几百斤的货物，它们相互埋怨着，驴子对骡子说：

“只要把你身上所背的货物给我一百斤，我所背的重量就是你的两倍.”骡子回答道：

“不错!

可是如果把你身上所背的货物给我一百斤，我所背的重量就是你的三倍.”问它们各背了多少斤的货物?

写出解决问题的算法.

【知识点：

设计具体问题的算法】

解：

第一步，设骡子与驴子身上各背着x斤、y斤的货物，则可得方程组

 .

第二步，将上述方程组进行化简得

.

第三步，①×3-②得（2×3-1）x=300×3-（-400）③.

第四步，解方程③得x=260.

第五步，①-②×2得[-1-（-3）×2]y=300-（-400）×2④.

第六步，解方程④得y=220.

第七步，得到方程组的解为

，即骡子与驴子的身上各背着260斤、220斤的货物.

自助餐

1．给出下列算法：

第一步，输入正整数n（n＞1）.

第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则输出n；若n＞2，则执行第三步.

第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步.

第四步，输出n.

则输出的n的值是（）

A．奇数

B．偶数

C．质数

D．合数

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查的知识点是算法的概念，质数的定义，其中分析各步骤的功能，找出算法的具体功能是解答本题的关键.根据第二步“判断n是否是2；若n=2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步”可得满足条件的最小的数为2.根据第三步，依次从2到n-1检验能不能整除n．若不能整除n，则满足条件.由于这样的数在2到n-1之间没有约数，即这个数只有1和本身两个约数，根据质数的定义，可得满足条件的数为质数.故选C.

解：

C

2．对于求18的正因数，给出下面的两种算法：

算法1：

第一步，1是18的正因数，将1列出.

第二步，2是18的正因数，将2列出.

第三步，3是18的正因数，将3列出.

第四步，4不是18的正因数，将4剔除.

……

第十八步，18是18的正因数，将18列出.

算法2：

第一步，18＝2×9.

第二步，18＝2×32.

第三步，列出所有的正因数1，2，3，32，2·3，2·32.

则这两个算法（）

A．都正确B．算法1正确，算法2不正确

C．算法1不正确，算法2正确D．都不正确

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题主要考查算法，关键是要掌握算法的定义和特点.算法1和算法2都是用来求18的正因数的，算法1是用1～18的整数逐一验证，得到的正因数．算法2利用因数分解得到18的正因数．两种算法都满足明确性、有穷性、有序性、不唯一性和普遍性的特点，故两种算法都正确，选A.

解：

A

3．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【知识点：

算法的特点】

【解析】算法是用来求解一类问题的，在实际算法中n的值是具体确定的，算法会根据具体确定的n来求值计算，所以①③是正确的，而算法的步骤是有限的，即执行有限步骤后一定能解决问题，而②显然不符合有限性，所以②不正确.

解：

B

4．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b（a>b）．写出求最大锐角θ的余弦值的算法如下：

第一步，输入两直角边长a，b的值.

第二步，计算

的值.

第三步，________.

第四步，输出cosθ.

将算法补充完整，横线处应填________.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题主要考查算法的基础运用，同时考查三角函数的相关知识.直角三角形中，cosθ的值为对边比斜边的值，故

.

解：

计算

.

5．设计一个算法求方程5x＋2y＝22的正整数解，其最后输出的结果是________.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】因要求方程的正整数解，所以应将x从1开始输入，直到方程成立.经计算，当x＝4，y＝1或x＝2，y＝6时方程成立.

解：

x＝4，y＝1或x＝2，y＝6

6．写出求二次函数y＝2x2－4x＋1的最值的一个算法.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】本题考查算法的实际运用，灵活性较大，需结合二次函数的性质和特点设计算法.由题知，a＝2＞0，故这是一个开口向上的二次的函数，有最小值.再根据求根公式求出最值，即完成算法.

解：

第一步，输入a＝2，b＝－4，c＝1.

第二步，计算

.

第三步，a＝2>0，故ymin＝－1.

第四步，输出y.

7．已知平面直角坐标系中的两点A（－1，0），B（3，2），写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法.

【知识点：

设计具体问题的算法】

【解析】线段AB的垂直平分线是指经过线段AB的中点且与直线AB垂直的直线，故可先由中点坐标公式求出线段AB的中点N（1，1），然后计算直线AB的斜率

，由垂直关系可知AB垂直平分线的斜率是k=-2，最后由点斜式写出直线方程.

解：

第一步，计算

，

，得AB的中点N（1，1）.

第二步，计算

，得AB的斜率.

第三步，计算

，得AB垂直平分线的斜率.

第四步，由斜截式得直线AB垂直平分线的方程，输出.