离散数学试题与答案.docx
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离散数学试题与答案
离散数学试题与答案
【篇一:
离散数学试题及答案】
一、填空题
1设集合a,b,其中a={1,2,3},b={1,2},则a-b=____________________;=__________________________.
3.设集合a={a,b},b={1,2},则从a到b的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________.
4.已知命题公式g=?
(p?
q)∧r,则g的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.
5.设g是完全二叉树,g有7个点,其中4个叶点,则g的总度数为__________,分枝点数为________________.
7.设r是集合a上的等价关系,则r所具有的关系的三个特性是______________________,________________________,_______________________________.
8.设命题公式g=?
(p?
(q?
r)),则使公式g为真的解释有__________________________,_____________________________,__________________________.
9.设集合a={1,2,3,4},a上的关系r1={(1,4),(2,3),(3,2)},r1={(2,1),(3,2),(4,3)},则r1?
r2=________________________,r2?
r1=____________________________,
=________________________.
10.设有限集a,b,|a|=m,|b|=n,则||?
(a?
b)|=_____________________________.
11设a,b,r是三个集合,其中r是实数集,a={x|-1≤x≤1,x?
r},b={x|0≤x2,x?
r},则a-b=__________________________,b-a=__________________________,a∩b=__________________________,.
13.设集合a={2,3,4,5,6},r是a上的整除,则r以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.
14.设一阶逻辑公式g=?
xp(x)?
?
xq(x),则g的前束范式是_______________________________.
15.设g是具有8个顶点的树,则g中增加_________条边才能把g变成完全图。
?
(a)-?
(b)r12
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式?
xr(x)→?
xs(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.
17.设集合a={1,2,3,4},a上的二元关系r={(1,1),(1,2),(2,3)},s={(1,3),(2,3),(3,2)}。
则r?
s=_____________________________________________________,
r2=______________________________________________________.
二、选择题
1设集合a={2,{a},3,4},b={{a},3,4,1},e为全集,则下列命题正确的是()。
(a){2}?
a(b){a}?
a(c)?
?
{{a}}?
b?
e(d){{a},1,3,4}?
b.
2设集合a={1,2,3},a上的关系r={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则r不具备().
(a)自反性(b)传递性(c)对称性(d)反对称性
则元
3设半序集(a,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若a的子集
素6为b的()。
(a)下界(b)上界(c)最小上界(d)以上答案都不对4下列语句中,()是命题。
(a)请把门关上(b)地球外的星球上也有人
(c)x+56(d)下午有会吗?
5设i是如下一个解释:
d={a,b},p(a,a)p(a,b)p(b,a)p(b,b)1010
则在解释i下取真值为1的公式是().
(a)?
x?
yp(x,y)(b)?
x?
yp(x,y)(c)?
xp(x,x)(d)?
x?
yp(x,y).
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是().
(a)(1,2,2,3,4,5)(b)(1,2,3,4,5,5)(c)(1,1,1,2,3)(d)(2,3,3,4,5,6).
7.设g、h是一阶逻辑公式,p是一个谓词,g=?
xp(x),h=?
xp(x),则一阶逻辑公式g?
h是().
(a)恒真的(b)恒假的(c)可满足的(d)前束范式.
8设命题公式g=?
(p?
q),h=p?
(q?
?
p),则g与h的关系是()。
(a)g?
h(b)h?
g(c)g=h(d)以上都不是.
9设a,b为集合,当()时a-b=b.
(a)a=b(b)a?
b(c)b?
a(d)a=b=?
.
10设集合a={1,2,3,4},a上的关系r={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则r具有()。
(a)自反性(b)传递性(c)对称性(d)以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为()。
(a){a}?
{a,b,c}(b){a}?
{a,b,c}(c)?
?
{a,b,c}(d){a,b}?
{a,b,c}
12命题?
xg(x)取真值1的充分必要条件是().
(a)对任意x,g(x)都取真值1.(b)有一个x0,使g(x0)取真值1.
(c)有某些x,使g(x0)取真值1.(d)以上答案都不对.
13.设g是连通平面图,有5个顶点,6个面,则g的边数是().
(a)9条(b)5条(c)6条(d)11条.
14.设g是5个顶点的完全图,则从g中删去()条边可以得到树.
(a)6(b)5(c)10(d)4.
1111?
0100?
?
,则1011?
?
0101?
0110?
?
?
0?
1的相邻矩阵为?
?
1?
?
1?
?
115.设图gg的顶点数与边数分别为().
(a)4,5(b)5,6(c)4,10(d)5,8.
三、计算证明题
1.设集合a={1,2,3,4,6,8,9,12},r为整除关系。
(1)画出半序集(a,r)的哈斯图;
(2)写出a的子集b={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界;
(3)写出a的最大元,最小元,极大元,极小元。
2.设集合a={1,2,3,4},a上的关系r={(x,y)|x,y?
a且x?
y},求
(1)画出r的关系图;
(2)写出r的关系矩阵.
3.设r是实数集合,?
?
?
是r上的三个映射,?
(x)=x+3,?
(x)=2x,?
(x)=x/4,试求复
合映射?
?
?
,?
?
?
?
?
?
?
?
?
,?
?
?
?
?
.
4.设i是如下一个解释:
d={2,3},
a
3b2f
(2)3f(3)2p(2,2)p(2,3)p(3,2)p(3,3)0011
试求
(1)p(a,f(a))∧p(b,f(b));
(2)?
x?
yp(y,x).
5.设集合a={1,2,4,6,8,12},r为a上整除关系。
(1)画出半序集(a,r)的哈斯图;
(2)写出a的最大元,最小元,极大元,极小元;
(3)写出a的子集b={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界.
6.设命题公式g=?
(p→q)∨(q∧(?
p→r)),求g的主析取范式。
7.(9分)设一阶逻辑公式:
g=(?
xp(x)∨?
yq(y))→?
xr(x),把g化成前束范式.
9.设r是集合a={a,b,c,d}.r是a上的二元关系,r={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},
(1)求出r(r),s(r),t(r);
(2)画出r(r),s(r),t(r)的关系图.
11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价:
(1)g=(p∧q)∨(?
p∧q∧r)
(2)h=(p∨(q∧r))∧(q∨(?
p∧r))
13.设r和s是集合a={a,b,c,d}上的关系,其中r={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)},s={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}.
(1)试写出r和s的关系矩阵;
(2)计算r?
s,r∪s,r1,s1?
r1.---
四、证明题
1.利用形式演绎法证明:
{p→q,r→s,p∨r}蕴涵q∨s。
2.设a,b为任意集合,证明:
(a-b)-c=a-(b∪c).
3.(本题10分)利用形式演绎法证明:
{?
a∨b,?
c→?
b,c→d}蕴涵a→d。
4.(本题10分)a,b为两个任意集合,求证:
a-(a∩b)=(a∪b)-b.
参考答案
一、填空题
1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.2.n2
3.?
1={(a,1),(b,1)},?
2={(a,2),(b,2)},?
3={(a,1),(b,2)},?
4={(a,2),(b,1)};?
3,?
4.
4.(p∧?
q∧r).
5.12,3.
6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.7.自反性;对称性;传递性.8.(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0).
9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.
10.2m?
n.
11.{x|-1≤x0,x?
r};{x|1x2,x?
r};{x|0≤x≤1,x?
r}.
12.12;6.
13.{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}.14.?
x(?
p(x)∨q(x)).15.21.
【篇二:
离散数学练习题及答案】
的表示方法有两种:
法。
请把“奇整数集合”表示出
,k?
z}来{}。
1、列举;描述;{x|x?
2k?
1
2、无向连通图g含有欧拉回路的充分必要条件是
2*、连通有向图d含有欧拉回路的充分必要条件是d中每个结点的入度=出度.
3、设r是集合a上的等价关系,则r所具有的关系的三个特性是自反性、对称性、传递性.
4、有限图g是树的一个等价定义是:
.
5、设n(x):
x是自然数,z(y);y是整数,则命题“自然数都是整数,而有的整数不是自然
数”符号化为?
x(n(x)?
z(x))?
?
x(z(x)?
?
n(x))
6、在有向图的邻接矩阵中,第i行元素之和,第j列元素之和分别为
结点v的出度和结点v的入度.
7、设a,b为任意命题公式,c为重言式,若a?
c?
b?
c,那么命题a?
b是
重言式的真值是1.
8、命题公式?
(p?
q)的主析取范式为
9、设图g=v,e和g?
=v?
e?
若g?
是g的真子图,若
,则g?
是g的生成子图.v?
?
v或e?
?
e;v?
?
v,e?
?
e
10、在平面图g?
?
v,e?
中,则
11、设a?
{a,b},?
deg(r)=,其中r(i=1,2,…,r)是g的面.iiri?
1b?
{1,2},则从a到b的所有映射是11、?
1={(a,1),(b,1)};?
2={(a,2),(b,2)};?
3={(a,1),(b,2)};?
4={(a,
2),(b,1)}
12、表达式?
x?
yl(x,y)中谓词的定义域是{a,b,c},将其中的量词消除,写成与之等价
的命题公式为
12、(l(a,a)?
l(a,b)?
l(a,c))?
(l(b,a)?
l(b,b)?
l(b,c))?
(l(c,a)?
l(c,b)?
l(c,c))
12*、设个体域d={a,b},公式?
x(g(x)?
?
yh(x,y))消去量词化为
13、含有三个命题变项p,q,r的命题公式p?
q的主析取范式是14、设r,s都是集合a上的等价关系,则对称闭包s(r?
s)=15、设g是连通平面图,v,e,r分别表示g的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式
是v?
r?
e?
?
16、设g是n个结点的简单图,若g,则g一定是哈密顿图.
17、一个有向树t称为根树,若
称为树叶.若有向图t恰有一个结点的入度为0,其余结点入度为1;入度为0的结点;出度为0的结点.
18、图的通路中边的数目称为结点不重复的通路是通路.边不重复的
通路是通路.通路长度;初级;简单.
19、设a和b为有限集,|a|=m,|b|=n,则有个从a到b的关系,有个从a到b的函数,其中当m?
n时有个入射,当m=n时,有个双射。
19、2m*nm,nm,cn?
m!
m!
2a?
{n|n?
n}(是/不是)可数的。
是20、集合
21、设l?
?
1,2,3,4,12?
上的整除关系
?
?
a1,a2a1,a2?
l,a1整除a2?
?
在l上定义两个二元运算?
和?
:
对任意a,b?
l,a?
b?
glb(a,b),a?
b?
lub(a,b)。
请填空(在横线上填是或不是):
①是②是③是④不是
①代数系统?
l,?
?
?
格。
②代数系统?
l,?
?
?
有界格。
③代数系统?
l,?
?
?
有补格。
④代数系统?
l,?
?
?
分配格。
二、单项选择题(选择一个正确答案的代号,填入括号中)
1、设命题公式g=?
(p?
q),h=p?
(q?
?
p),则g与h的关系是(a)。
a.g?
hb.h?
gc.g=hd.以上都不是
2、下列命题公式等值的是(c)
(a)?
p?
?
q,p?
q
(c)q?
(p?
q),?
q?
p?
q(b)a?
(a?
b),?
a?
(a?
b)(d)?
a?
(a?
b),b
3、设v={a,b,c,d},与v能构成强连通图的边集e=(a)
(a){a,b,a,c,d,a,b,d,c,d}(b){a,d,b,a,b,c,b,d,d,c}
(c){a,c,b,a,b,c,d,a,d,c}(d){a,d,b,a,b,d,c,d,d,c}
4、设l(x):
x是演员,j(x):
x是老师,a(x,y):
x佩服y.那么命题“所有演员都佩服某些老
师”符号化为(b)
(a)?
xl(x)?
a(x,y)(b)?
x(l(x)?
?
y(j(y)?
a(x,y)))(c)?
x?
y(l(x)?
j(y)?
a(x,y))(d)?
x?
y(l(x)?
j(y)?
a(x,y))
5、在由3个元素组成的集合上,可以有(d)种不同的关系。
(a)3(b)8(c)9(d)512
6、设s1=?
s2={?
},s3=p({?
}),s4=p(?
)则命题为假的是(a).
(a)s2?
s4(b)s1?
s3(c)s2?
s4(d)s4?
s3
7、设g是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r=(a).
(a)e-v+2(b)v+e-2(c)e-v-2(d)e+v+2
8、下列命题正确的是(a)。
a.?
?
{?
}=?
b.?
?
{?
}=?
c.{a}?
{a,b,c}d.?
?
{a,b,c}
9、设a,b,c都是集合,如果a?
c=b?
c,则有(c)
(a)a=b(b)a?
b(c)当a-c=b-c时,有a=b(d)当c=u时,有a?
b
10、设(b,?
?
,0,1)是布尔代数,?
a,b?
b,a?
b,则下式不成立的是(d)(a)ab?
0(b)a?
b?
1(c)a?
b?
a(d)a?
b?
1
11、下面给出的一阶逻辑等价式中,(a)是错的。
a.?
x(a(x)?
b(x))=?
xa(x)?
?
xb(x)
b.a?
?
xb(x)=?
x(a?
b(x))
c.?
x(a(x)?
b(x))=?
xa(x)?
?
xb(x)
d.?
?
xa(x)=?
x(?
a(x))
三、多重选择题(每道小题都可能有一个以上的正确选项,须选出所有的正确选项,不答不得分,多选、少选或选错都将按比例扣分。
)
1、命题公式(p∧(p→q))→q是_____式。
(1)重言
(2)矛盾(3)可满足(4)非永真的可满足
2、给定解释i=(d,ic)=(整数集,{f(x,y):
f(x,y)=x-y;g(x,y):
g(x,y)=x+y;
p(x,y):
xy}),下列公式中_____在解释i下为真。
(1)p(f(x,y),g(x,y))
(2)?
x?
yp(f(x,y),g(x,y))
(3)?
x?
y(p(x,y)→p(f(x,y),x))(4)?
x?
yp(f(x,y),g(x,y))
3、A是集合,a=10,则p(a)=_____。
(1)100
(2)99(3)2048(4)1024(5)512
4、集合A={x|x是整数,x230},B={x|x是质数,x20},c={1,3,5},则
①(a?
b)?
c=_____;
②(b?
a)?
c=_____;
③(c?
a)?
(b?
a)=_____;
④(b?
c)?
a=_____。
(1){1,2,3,5}
(2)?
(3){0}(4){1,3,5,7,11,13,17,19}
(5){1,3,5,7}(6){7,11,13,17,19}
5、设a、b、c是集合,下列四个命题中,_____在任何情况下都是正确的。
(1)若a?
b且b∈c,则a∈c
(2)若a?
b且b∈c,则a?
c
(3)若a∈b且b?
c,则a?
c(4)若a∈b且b?
c,则a∈c
6、设集合A={a,b,c,d,e,f,g},A的一个划分?
={{a,b},{c,d,e},{f,g}},则?
所对应的等价关系有_____个二元组。
(1)14
(2)15(3)16(4)17(5)8(6)49(7)512
7、s={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},≤是s上的整除关系。
s的子集B=
{2,4,6},则在s,≤中,B的最大元是_____;B的最小元是_____;B的上确界是_____;B的下确界是_____。
(1)不存在的
(2)36(3)24(4)12(5)6(6)1(7)2
8、设有有限布尔代数(b,+,*,’,0,1),则b=_____能成立。
(1)1
(2)2(3)3(4)4(5)5(6)8(7)9
9、g={0,1,2,?
n},n∈n,定义?
为模n加法,即x?
y=(x+y)modn,则
代数系统(g,?
)_____。
(1)是半群但不是群
(2)是无限群(3)是循环群(4)是变换群
(5)是交换群
10、仅有一个结点的图称为(),当然也是()
(1)零图
(2)平凡图(3)补图(4)子图
1.1、3。
2.4。
3.4。
4.1;4;2;2。
5.4。
7.1;7;4;7。
8.2、4、6。
9.3、5。
10.2;1。
四、化简解答题
1、
(1)设图g(如第1题图),作图g的嵌入图,说明图g是平面图.
第1题图1、
(1)
图g的嵌入图,如第12题答案图.故图g为平面图(4分)第12题答案图
(2)在具有n个顶点的完全图kn中删去多少条边才能得到树?
解:
n个顶点的完全图kn中共有6.4。
n?
(n?
1)条边,n个顶点的树应有n?
1条边,于是,删2
n?
(n?
1)(n?
1)?
(n?
2)?
(n?
1)?
去的边有:
。
22
2、判别谓词公式?
x?
yf(x,y)?
?
y?
xf(x,y)的类型.
2、设i为任意一个解释,d为i的个体域.若在解释i下,该公式的前件为0,无论?
y?
xf(x,y)如何取值,?
x?
yf(x,y)?
?
y?
xf(x,y)为1;
若在解释i下,该公式的前件为1,则?
x0?
d,使得?
yf(x,y)为1,它蕴含着?
y?
?
d,f(x0,y?
)为1?
?
xf(x,y?
)为1,由y?
的任意性,必有?
y?
xf(x,y)为1,于是?
x?
yf(x,y)?
?
y?
xf(x,y)为1.
所以,?
x?
yf(x,y)?
?
y?
xf(x,y)是永真式.
3、化简集合表达式:
((a?
b?
c)?
(a?
c))-((c?
(c-b)-a)
3、((a?
b?
c)?
(a?
c))-((c?
(c-b)?
~a)
=(a?
c)-(c?
~a)(两次用吸收律)
=((a?
c)?
(~c?
a)
=(a?
~c)?
(c?
~c)?
a?
(a?
c)
=(a?
~c)?
?
?
a=a
4、判断下列哪些运算结果是对的?
哪些是错的?
请将错误的运算结果更正过来.
(1)?
?
{?
}?
?
(2)?
?
{?
}?
?
(3){?
}?
{?
{?
}}?
{?
}(4){?
{?
}}?
{?
}?
{?
{?
}}
(5)(a?
b)?
b?
a(6)(a?
b)?
b?
a
(7)a?
a?
a(8)(a?
b)?
a?
?
4、
(1)对.
(2)错.应为{?
}.(3)对.(4)错.应为{{?
}}
(5)错.应为a?
b(6)错.应为a?
b(或a?
~b或a-ab)
(7)错.应为?
,即a?
a?
a?
a?
a?
a?
?
(8)对.
5、将命题公式?
p?
q?
(?
r?
p)化为只含?
和?
的尽可能简单的等值式.5、?
p?
q?
(?
r?
p)
?
?
(p?
?
q)?
(r?
p)(优先级有误)
?
?
(p?
?
q)?
?
(?
p?
?
r)不惟一.
(1)v1e5v5e7v2e2v3
(2)v5e6v2e2v3e3v4e8v2e7v5v25
4(3)v2e7v5e6v2(4)v1e1v2e2v3e3v4e8v2e6v5
e
v4
6、
(1)初级通路;
(2)简单回路;(3)初级回路;(4)简单通路.e3
vev7、试问n取何值时,无向完全图kn,存在一条欧拉回路?
6、设图g如右图.已知通路
7、由于kn有n个结点,并且每个结点的度数均为n-1,于是,当n为奇数时,kn的每个结点的度数都是偶数,所以存在一条欧拉回路.
8
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