数学模型与实验课程报告.docx

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数学模型与实验实习报告

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指导教师：

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2016年11月

目录

数学模型与实验实习报告 1

第一章绪论 1

第二章拟合在人口预测的应用 2

§2.1差分法 2

2.1.1一次函数拟合 2

2.1.2二次函数拟合 3

§2.2指数模型 4

§2.3Logistic模型 4

§2.4小结 5

第三章插值在制图方面的应用 6

§3.1.三次样条插值 6

第四章方程近似解 7

§4.1图形放大法 7

§4.2迭代法 7

4.2.1简单迭代法 8

4.2.2.加速迭代法 8

4.2.3.牛顿迭代法 8

4.2.4.结果及讨论 8

第五章分形 10

参考文献 11

附录 12

作业一 12

美国人口变化 12

一次函数拟合 13

二次函数拟合 14

作业二 15

指数模型 15

Logistic模型 17

作业三 19

地图绘制 19

图形放大法 20

简单迭代 21

加速迭代 22

牛顿迭代 22

中国地质大学课程报告

第一章绪论

近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济，管理，金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。

数学模型（MathematicalModel）是一种模拟，是用数学符号，数学式子，程序，图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。

数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。

这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（MathematicalModeling）。

不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）；数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。

数学的特点不仅在于概念的抽象性，逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性。

自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。

经济发展的全球化、计算机的迅猛发展、数学理论与方法的不断扩充，使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。

培养人们应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。

本文按照学习与实习内容将分为拟合、插值、迭代三方个面，并分别将其应用于人口预测、制图、求方程近似解三个实际问题，并在附录中给出mathematica代码以供参考。

另外在最后还增加了一些分形的简介及多维分形在地球化学的应用。

第二章拟合在人口预测的应用

　人口是反映国情、国力基本情况的重要指标,区域研究所必须考虑的重要因素之一,分析现状、制定规划时首先要考虑的基本问题。

例如评价一个国家或一个地区的发展潜力时离不开现在与今后各类人口数量、比例指数和年龄分布。

故人口预测是制定和顺利实现社会经济各项战略设想的基础和出发点,制定正确人口政策的科学依据[1]。

§2.1差分法

差分法是微分方程的一种近似数值解法。

具体地讲，差分法就是把微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。

在弹性力学中，用差分法和变分法解平面问题。

差分格式有向前、向后和中心3种：

向前（前向）差分：

Δan=an+1-an

向后（逆向）差分：

Δan=an-an-1

中心差分：

Δan=（an+1-an-1）/2

本文均采用前向差分，简单起见，后文中的“差分”均表示“前向差分”。

（a）美国人口

（b）美国人口变化情况

图2-1

2.1.1一次函数拟合

从图2-1（b）可以看出美国人口变化情况基本为每十年都较过去十年有所增加，且大部分的点处于一条直线附近，通过最小二乘法可以求得给直线为：

y=-246595.79696968076+137.4653246753161x

（1）

从图2-2（a）可以看出该直线拟合效果不错，图2-2（b）为直线拟合的残差，拟合优度度量见表2-1。

（a）一次函数拟合

（b）美国人口变化情况

图2-2

表2-1拟合优度度量

AdjustedRSquared

AIC

BIC

RSquared

0.8651141864236883

404.4575052929107

407.59107260608096

0.871858477102504

2.1.2二次函数拟合

采用一次函数的拟合效果不错，从图2-2（a）中也可以发现上面的点似乎是有一些弧度的，下面将采用二次函数对差分结果进行最小二乘法拟合，可得：

y=699630.7882135218 -864.8615111889414x+0.2651658295937217x2

（2）

从图2-3（a）可以看出该直线拟合效果不错，图2-3（b）为曲线

（2）拟合的残差，拟合优度度量见表2-2。

（a）二次函数拟合

（b）美国人口变化情况

图2-3

表2-2拟合优度度量

AdjustedRSquared

AIC

BIC

RSquared

0.8681218153584219

404.84854485822797

409.0266346091217

0.8813096338225798

§2.2指数模型

　指数增长是经济学理论中重要的分析工具，当一个变量在一定时期内按固定比率增长时，指数（或几何）增长就发生了。

例如：

当数量为200的人口每年以3%的比列增加时，在起始年份（第0年），人口为200，第1年人口数为200×（1+0.03）^1；第2年人口数为200（1+0.03）^2；……；第n年人口数为200×（1+0.03）^n；……按此类推[2]。

指数模型的公式为：

y=ⅇr（t-t0）（3）

根据最小二乘法计算得：

y=ⅇ0.01420578406196938（-1113.1069864202925+t）（4）

从图2-4（a）可以看出该曲线拟合效果很好，图2-4（b）为曲线（4）拟合的残差，参数检验见表2-3。

（a）指数函数拟合

（b）拟合残差

图2-4

表2-3参数检验

Estimate

StandardError

t‐Statistic

P‐Value

r

0.014205784061969

0.0005294517533974

26.83112100548

3.714656480997221×10-17

t0

1113.106986420292

31.960945313017856

34.82709837018

2.239505462210513×10-19

§2.3Logistic模型

考虑到种内对资源的竞争，可以假设人口增长率r是人口x（t）函数r（x），即不同密度的人口有不同的净增长率．Logistic假设r（x）是x（t）的减函数，且是x的线性函数，r（x）=r-sx（s>0），这里的r相当于x（t=0）时的增长率r（x）

，即自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量．则当x=xm。

时，人口的增长率为零，即0=r-sxm;s=r／xm。

在Logistic的线性假设下，有以下简化的Logistic模型[3]

y=xmⅇ-r（t-tmid）+1（5）

根据最小二乘法计算得：

y=444183.83863026291+ⅇ-0.021545350616690436（-1977.4160317063734+t）（6）

从图2-5（a）可以看出该曲线拟合效果很好，图2-5（b）为曲线（6）拟合的残差，参数检验见表2-4。

（a）logistic函数拟合

（b）拟合残差

图2-5

表2-4参数检验

Estimate

StandardError

t‐Statistic

P‐Value

r

0.021545350616690436

0.00100630673287

21.4103214387192

9.195536966478839×10-15

xm

444183.8386302629

35808.54309317008

12.40440968163779

1.477240147582389×10-10

tmid

1977.4160317063734

7.66485029686727

257.9849514496807

3.833505034216728×10-35

§2.4小结

GeorgeE.P.Box[4]认为所有的模型都是存在问题的，但是一些（在特定的场合下）却是有用的。

事实证明，没有那一个模型能一直准确的预测人口，但是一些曾成功的模型可以预测出未来几十年甚至上百年的人口情况。

从人口模型发展来看，模型越来越复杂，能预测的时间长度却越来越短。

这是因为我们的世界在变得越来越复杂，随着交通的发展，人口迁移变得更加方便，各个国家（尤其是发达国家）是一个开放体系，有着复杂的移民情况；随着医疗卫生的发展，难产、疾病等至死率也越来越低，人们的寿命也因此增加；随着农业的发展，粮食产产量不断提高，可以养更多的人；随着工程技术的发展，一栋栋高楼拔地而起，单位面积的土地上可以住更过的人。

我们所处的环境已发生了翻天覆地的变化，不少人也不愿养育子女……就像人口许多问题都是看似简单，其实背后却涉及到各个方面，所以很多时候我们并不能给出一个一劳永逸的模型，需要我们不断探索，寻找更好的方法。

第三章插值在制图方面的应用

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

§3.1.三次样条插值

三次样条插值CubicSplineInterpolation（简称Spline插值）是通过一系列形值点的一条光滑曲线，数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程。

一维三次样条插值的三弯矩方程组见公式（7）。

（7）

其中M0和Mn可以根据三类不同的边界条件获得

从图3-1可以看出（a）的尖刺比较明显（b）比较光滑，通过线性插值的结果一般不能满足一次光滑（即处处存在一阶导数）的要求，而三次样条插值却可以保证二次光滑，顾视觉上（b）要优于（a）。

分段线性插值和三次样条插值都具有收敛性，但一般情况下采用三次样条插值的预测值会更接近真