概率论与数理统计第4章作业题解.docx
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概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解
4.1甲、乙两台机床生产同一种零件,在一天内生产的次品数分别记为x和r.已知
X,Y的概率分布如下表所示:
X
0
1
2
3
p
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
P
0.3
0.5
0.2
0
如果两台机床的产量相同,问哪台机床生产的零件的质量较好?
解:
F(X)=0x0.44-1x0.3+2x0.2+3x0.1=1
E(r)=0x03+1x0.5+2x0.2+3x0=0.9
因为E(X)>E(Y)・即乙机床的平均次品数比甲机床少,所以乙机床生产的零件质量较好。
4.2袋中有5个球,编号为123,4,5,现从中任意抽取3个球,用X表示取出的3个球中的最大编号,求E(X)・解:
X的可能取值为3A5.
11c23
因为P(X=3)=—=—=0」:
P(X=4)=-^=—=0.3;
Cl10cl10
P(X=5)==—=0.6
egio
所以E(X)=3x0.1+4x03+5x0.6=4.5
k
4.3设随机变量X的槪率分布P{X=k}=aA,伙=0,1,2,…),其中“>0是个常
(1+«)1
数,求E(X)
易知幕级数的收敛半径为R=\.于是有
根据已知条件,a>0.因此Ov—<1,所以有
1+6/
E(X)=——-~~=a・
(1+沙(J&)2
\+a
4.4某人每次射击命中目标的概率为卩,现连续向目标射击,直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.
解:
因为X的可能取值为1,2,……。
依题意,知X的分布律为
P(X=k)=qZp,?
=l_p,上=1,2,
□c*0000
所以e(x)=±kqk-lP=迂("pQyy=p(”_y
2—121—0
111
=p-——=PV
(1-〃p
4.5在射击比赛中,每人射击4次,每次一发子弹.规左4弹全未中得0分,只中1弹得15分,中2弹得30分,中3弹得55分,中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期望能得到多少分?
解:
设4次射击中命中目标的子弹数为X,得分为匕则X~B(4.0・6)
因为p(x=0)=C:
0.6°X0.44=0.0256
P(X=1)=^0.6"x0.4s=0.1536
P(X=2)=C;0.62x0.42=0.3456
P(X=3)=C:
O.6'xO4=0.3456
P(X=4)=C:
0.6°x0.4°=0.1296
所以y的分布律为
Y
0
15
30
55
100
P
0.0256
0.1536
0.3456
0.3456
0.1296
故期望得分为
E(K)=0x0.0256+15x0.1536+30x0.3456+55x0.3456+100x0.1296
=44.64
3女9
4.6设随机变量X的槪率分布为P{X=(-l/+,〒}=初伙=12…)说明X的期望不
存在。
解:
级数工|耳|几=工(-1)3—><三=》三发散,不符合离散型随机变量期望立义的要21-1k32k
求,从而X的期望不存在.
4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,在各交通岗遇到红灯是相互独立的,其概率均为0.4.求途中遇到红灯次数的期望.
解:
设遇到红灯次数为X,依题意,知X~B(3.0.4)
故E(X)=3x0.4=1.24.8设随机变量X的概率密度函数为
求E(X).
X.0<%<1,f(x)=2-x,1 解: E(X)=j*xf(x)clx=fx'dx+1~x(2-x)clx=;+(x2- 4.9设随机变量X的概率密度函数为fax.0 f(x)=bx+c,2 、0,其他 又E(X)=2,P{\ 4 解: 由JH/(兀皿=1=J0axdx+J: (bx+c\lx,得2d+6b+2c=1因为E(X)=fxf(x\lx=£xaxcix+£x(bx+c\lx=^a+所以,由E(X)=2,^a+—h+6c=2 33 f2f335 又P(1 '"*22 3353 由P(\ +c=— 4224 解联立方程①②③,得a=-.b=--.c=l 44 4.10设随机变咼X的概率密度函数为f(x)=一,-oovxv+°说明X的期望不 zr(l+f) 存在. 解: 积分J|x|/(x)f/x=J——-dx=—j YX ——«,显然,枳分发散,根据连续型随机01+X2 变量期望的泄义,X的期望不存在. 4.11某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%.求考生外语成绩在60分至84分之间的概率. 解: 设X~,依题意得,//=£(%)=72 又P(X>96)=2.3%=0.023,则P(X<96)=0.977=① (2) 96-7296-72 即有①(丄丄)=e (2)所以丄亠=2得b=12 bb 所以X~N(72,12? ) X_7? 故所求的概率为P(60 12 =20 (1)-1=2x0.8413-1=0.6826 4.12对习题4.1中的随机变量X,计算E(X2).E(5X2+4). 解: E(X2)=02x0.4+12x0.3+22x0.2+32x0.1=2 E(5X2+4)=5E(X? )+4=5x2+4=14 4.13设随机变量X的槪率密度函数为 分別讣算Y=2X的期望和Y=严的期望 解: 因为X~E"),其中2=1,所以E(X)=丄=1 A 故E(r)=E(2X)=2E(X)=2x1=2 E(e~2X)=^e~2xf(x\lx=『e^e^dx=『e^dx=| 4.14对球的直径做近似测量,设英值均匀分布在区间(a")内,求球体枳的均值. 解: 设球的直径测量值为X,体积为V.则有v=-7tx\显然X的槪率密度函数为6 /m=b-(r 〔0, 因此,球体积的均值为 1a 其他, E(V)=E(-X3)=-\bx3~^—dx=也+小°广+h')66b-a 24 4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从 底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X〜t/[0,60],求 该游客等候时间的期望. 解: 用随机变量Y表示游客的等候时间弹位: 分钟),则Y=g(X),其函数关系为 5-x, 0 25—x, 5 55-x, 25 65-x, 55 y=g(x)=< 由于X〜U[0、60],根拯随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 E(K)=E[g(X)]=Jo(5-xMy+J*、(25-x\lx+j(55-x\lx4-j*(65-x}dx=. 4.16设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 "12〉亡0 、0,其他 求E(X),E(Y\E{XY\E(X2+r2). 解: 因为,当05x51时,fx(x)=/(X,y)cly=£\2y2dy=4x3 当05yS1时,fY(y)=/(x,y\lx=j'12y1dx=12y'(1-y) 所以,E(X)=^.xfx(x)dx=^x4x3dx=|e(y)=\^yfY()Wy=[y•12y2(i-y)dy=jE(XY)=匚匸xyf(x,y\lxdy=]: %: xy\2y~dy =fx-3/\lx=[[3xdx=- Jo•oJo2 又E(X2)=^X2fx(A-y/.r=J'x2Ax\lx=- E(尸)=匚尸齐{yyly=£*>,2.12/(1-y}dy=|故E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=-+-=— 3515 4.17设随机变量X与Y相互独立,槪率密度函数分别为 求E(XY)・ 解: E(X)=广灯(尤朋=[: x2xdx=扌, E(Y)=匚=J7°y严dy=广yd(-e^) =-)宅5-',+]e5~vdy=5-^5~v=5+1=6 2 因为X和丫相互独立,所以E(Xy)=E(X)E(r)=-x6=4. 4.18设二维随机向量(X,Y)服从圆域D={(俎y): x2+/ E(y)X2+Y2). 解: 根据二维随机向量的计算公式: Ex")=匚匚少+丁(a-yWy=J+心七示一如儿 此积分用极坐标计算较为方便,于是有 因此E(max{X“})二匚血x(z)衣=討 显然,Xj均服从两点分布,且X=X1+X2+...Xg,于是有 P{X/=O}= (1)20,P{X,=1}=1—G严, 由此求得 E(X)=1-(—)20=0.8784,E(X)=10[l-(—)20]=8.784. 4.21将一颗均匀的骰子连掷10次,求所得点数之和的期望. 解: 设X,表示第i次掷岀的点数(心1,”10), 10 则掷10次骰子的点数之和为X=工Xj° r-i 因为Xi的分布律为P(Xi=k)=-伙=12・・・・6),6 所以E(X.)=lx-+2x—+3x—+4x—+5x-+6x—=— 6666662 ioio77 故E(X)=^E(Xf)=2;-=10x-=35.jj-i22 4.22在习题4.4中,若直到命中目标"次为止,求射击次数的期望. 解: 设X&是从第k-1次命中目标到第&次命中目标之间的射击次数,X&的分布律为 Pg=m)=(l_p)"7p,加=1,2,=1,2, 记随机变量X=X】+X2+…X”,并且注意到随机变疑X|,X2,…X”概率分布相同,因此 E(X)=nE(Xl)=— P・ 4.23求习题4.1中随机变的方差. 解: 由T4.1知E(X)=1,E(Y)=0.9,由T4.12知E(X2)=2 又E(K2)=02x0.3+12x0.5+22x0.2+32x0=1.3 故Var(X)=E(X2)-(EX)2=2-12=1 Var(Y)=E(Y2)-(EY)2=1.3-0.92=0.49. 4.24求习题4.9中随机变量X的方差 解: 由T41知E(X)=2,E(X2)=x2f(x)dx=JJ-x3dx+j"1(4.v2-x3)dx=—. 2 故Var(X)=E(X2)-(£X)2=- 4.25设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为 -■—,-1 /UO')=4〉’, (0,其他 求Var(X)和Var(Y). 解: 因为,当一lvxv1时,(%)=二fgyMy=f]1: ” 所以E(X)=—! —1=0,Vi7r(X)=-L[l-(-l)]2=1 2123 由对称性得£(K)=0,Vcn\Y)=- 4.26设随机变量X~N(0,4),y〜U(0,4),并且X与丫相互独立,求Var(X+Y)和 Var(2X-3Y). 解: 因为X~N(0,4),Y〜i/(0,4) 1,4 所以畑(X)=4,V«r(y)=—(4-0)2 又X和Y相互独立,故 416 Var(X+Y)=Vai\X)+Var(Y)=4+—=— 4 V«r(2X-3y)=4W//XX)+9V«r(y)=4x4+9x-=28. 4.27设二维随机向量(X")的概率分布如下表: X\Y -1 0 1 0 0」 0」 0」 1 0.3 0」 0.3 求Cov(X^Y). 解容易求得X的概率分布为: P{X=0}=0.3,P{X=l}=0.7, 丫的概率分布为: P{Y=—1}=0.4,P{y=0)=0.2,P{y=l}=0.4, XY的概率分布为: p(xr=-1}=p(x=1,r=-1)=0.3,p(xy=i}=p{x=i,r=i}=0.3,, P{xy=o}=p{x=o,y=-i}+P{x=o,r=o}+P{x=o,r=i}+P{x=i,r=o)=o.4. 于是有 E(X)=OxO・3+lxO・7=O・7, £(y)=(-l)x0.4+0x0.2+lx0.4=0, E(XK)=(-1)x0.3+0x0.44-1x03=0. Cov(X,r)=E(XY)-E(X)£(y)=0. 4.28设二维正态随机向M(X,y)的概率密度函数为 f(x,y)=—e刖尹t+<>2>\-co 问X与丫是否互不相关? 解: 二维随机变M(x.r)具有概率密度的标准形式为: /(x,y)=e P2 其中“I均为常数,且a,>O,cr2>0Jp\<\.由此得到: (XV)〜N(4,2;3丄0),因为°=0,所以X与Y互不相关。 4.29设二维随机向量(X,Y)的槪率密度函数为 所以•乎心扌(才+扌) 57II 于是Var(X)=E(X2)-(EX)2=--(-)2=— 3o3o 711 由对称性得E(Y)=-,W/,-(y)=— 636 又因为E(XY)=匚匚砂(3皿心=]〃寸心遥 (乂) 126 所以COV(X^Y)=E(xr)-E(x)£(y)= -1/36 M=C"(XM)=-1/36=_丄 '乂PxY~J如X)如厉_J(11/36)x(11/36)_H4.30设二维随机向量(X.Y)的概率密度函数为 "严匕0 、0,其他 求Cov(X.Y)和Pxy・ 解: 由二维随机向量(X,Y)的概率密度函数积分,可以求得两个边缘密度: 显然,/(X,y)=/x(x)/r(y),所以X与丫相互独立,从而互不相关。 4.31设V4zr(X)=25,Vhr(y)=36,pXY=0.4,^Var(X+Y)和如X-Y). COV(X,y)=Pxy・^Var{X)Vcu\Y}=0.4xJ25x36=12 因为Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)±2COV(X,Y) 所以WHX+0=25+36+2x12=85 V«r(X-r)=25+36-2x12=37 4.32设X服从U(-0.5,0.5),Y=cosX,求pXY. 解: 因X服从U(—0.5,0.5),所以E(X)=0.于是有 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY). XY=XcosX是关于随机变量X的函数,根拯求随机变量函数期望的法则,有 Cov(X,cosM「又由于由于被积函数是奇函数,积分域关于原点对称,故此积 y/Va^XyVariY)
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- 概率论 数理统计 作业 题解