第姜启源数学模型复习总结.docx
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第姜启源数学模型复习总结
第四版姜启源数学模型复习总结
第1章:
了解模型的概念与分类,熟练掌握数学模型的定义,
数学模型的重要应用,建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤(每步的主要内容与问题)。
建模的全过程(框图)4个环节的含义。
模型的特点(技艺性)。
模型分类(表现特征),建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤
§1数学模型的概念:
模型:
模型是为了一定目的,对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类:
具体模型(或物质模型,实的),包括直观模型,物理模型。
抽象模型(或理想模型,虚的),包括思维模型,符号模型,数学模型。
数学模型:
对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
§2建模的重要意义
(1)数学以空前的广度和深度向一切领域渗透
在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地.
数学建模的具体应用:
分析与设计,预测与决策,优化与控制,规划与管理。
§3实例1:
椅子问题:
实际问题转换为数学问题的方法:
位置用角度,放平问题转化为连续函数的零点问题(连续函数的零点定理)
矩形椅子问题:
(1)用表示椅子对角线AC与x轴的夹角,因为假设地面是连续曲面,椅子各点到地面的距离是的连续函数。
设相邻的A,B两点到地面的的距离之和为f(),C,D
两点到地面的距离之和为g(),令h()f()g(),则h()是的连续函数。
(2)因为假设地面是相对平坦的,在任一位置至少三只脚着地,不妨设0时,f(0)0,g(0)0,
h(0)f(0)g(0)0。
(3)将椅子旋转,则A,B旋转到原来C,D
的位置,C,D旋转到A,B的位置,即AB与CD的位置互换,因此有f()g(0)0,g()f(0)0,因此h()f()g()g(0)f(0)0,
即连续函数h()在[0,]两端点异号,由连续函数的介值定理(零点定理),知存在一点*使h(*)0,即f(*)g(*)。
因
为f(*),g(*)至少有一个为零,因此f(*)g(*)0,即*对应的位置就是椅子能放稳的位置。
实例2-商人过河问题:
属于多步决策问题,即动态规划问题。
多步决策问题(确定多步的决策改变系统的状态)的三要素:
状态,决策,状态转移方程(状态在决策下的转
移律)。
实例3-施救问题。
药物排除过程-指数衰减方程:
dx
di
x,x(0)Xo,分离变
量,积分得到,解x(t)xoet。
吸收-排除过程的方程:
鱼x
y,y(0)
0。
dt
求解过程:
凑微分(完全积分法)
dytd/t
不yxoe‘护
y)Xoe"
)t
积分得到ety(t)y(0)x。
Q八“,
因此
y(t)e、(0)
Xo
[e
t
e
t]
Xo
[e
t
e
t
]
习题:
对于给定的,确定y(t)的最大值与xo之间的关系。
关键是求最大值点t*,满足dy|t*0,此时y(t*)—Xoef。
dt
半衰期确定衰减系数:
x(t*)xoetx0/2,In2/t*
实例3-人口模型:
指数模型鱼rx,x(0)x0,其解x(t)xoert,
dt
假设条件:
人口相对增长率为常数。
(指数增长,指数衰减)
阻滞增长模型(logistic模型)dxrx(1-),求解步
dtN
骤:
分离变量,裂项,积分,其解为x(t)N——,曲
1起1)ert
x
线为S曲线。
§6建模方法与步骤
基本方法:
机理分析与测试分析(统计分析)
机理分析:
根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律
测试分析(统计分析):
将对象看作“黑箱”,通过对
量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。
在建模中的应用:
用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。
能将道理讲道理,讲不清道理讲数据。
建模步骤:
模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用。
模型准备:
了解实际背景,明确建模目的,搜索相关信
息,把握对象特征,形成一个较为“清晰”的问题。
模型假设:
分析影响因素,分析设置变量,假设变量之间的关系,要在合理(保真)和简化(可行)之间折中,是数学建模艺术之所在。
模型构成:
用数学语言,符号描述问题(特有规律的数学表示)。
尽量采用简单的数学工具。
模型求解:
数学方法,软件和计算机求解析解,近似解或数值解。
模型分析:
对结果进行误差分析,统计分析,敏感性分析,对算法和数据进行稳定性分析,对模型进行稳健性分析。
模型检验:
与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、
适用性。
模型应用:
把数学模型的结果翻译回原问题,解决实际问题。
建模的全过程(四个环节,两个世界,双向翻译)掌握框图:
四个环节:
表述(Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题
求解(Solution)-选择适当的数学方法求得数学模型的解答.
解释(Interpretation)-将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.
验证(Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答.
§7数学模型的特点与分类特点:
逼真性与可行性(建模的两个重要方面,要折中兼顾,反映建模艺术);渐进性-渐进不断改进的迭代过程;强健性(稳健性)-模型对假设条件的敏感性;可转移性-模型结构可借鉴可移植(数学建模ABC;模型的技艺性(与其说是一门技术,不如说是一门艺术);模型的局限性(认识,手段)。
分类:
应用领域,方法,表现形态,建模目的,了解程度。
所用的数学方法分:
初等模型,连续优化模型,离散优化模型,微分方程模型,代数方程与差分方程模型,稳定性(平衡点)模型,离散模型(层次分析模型,图模型),概率模型,统计回归模型,博
弈模型,马氏链模型,动态优化模型
按表现形态(特征)分为:
确定的还是随机的,静态的还是动态的,离散的还是连续的,线性的还是非线性的。
了解程度分为:
白箱,灰箱,黑箱。
§&建模能力培养:
想象力,洞察力,判断力。
类比和悟性,实践性。
习题:
4.正方形椅子问题:
如何转化为连续函数的零点存在性问题:
置,函数,转动角度。
5.多步决策问题-三要素
6.施救问题:
模型dxx,x(O)x0,d^xy,y(O)0,
dtdt
求解y(t)ety(o)—[etet]—[etet]
最大值点满足dyio,y(t)一etdtkt
第2章:
初等模型
§1光盘的数据容量
CLV光盘:
CcLVLclv,近似计算螺旋线长度:
同心圆
22
周长,环形区域面积计算Lclv左」^,平均周长近似
d
CAV光盘:
取决于最里圈的密度,等效长度为对于给定的r2,求R1使容量最大。
于R(1自,R1r2
§2双层玻璃模型建模。
掌握分析变量关系和建立模型
的方法,了解热传导关系表示
单层和双层的热量q2k1口2
2d
QkTlTakTaTbkTbT2
1121—
dld
牙F'取g16,得到Q2希
§3划艇比赛成绩建模:
掌握比例关系建模方法
npfv,f
21/2A1/31/31/331/9
sv,,sAn,nv,得到vn,进
而得到t
1/9
n。
§4实物交换:
掌握交换方案的确定方法。
无差别曲线(族)(在其上满意度相同,或效用函数值相同,效用函数等值性)。
无差别曲线的特征:
单调减,下凸的
交换路径:
甲乙两族无差别曲线族的切点构成交换路径。
交换方案确定:
交换路径和等价交换线(价值等值线)的交点即为交换方案。
§均流池设计
1。
恒定流出量和最大容量。
恒定流出量等于平均流量。
最大容量计算,计算各时间
的容量(初值值未定,取为零),考虑最大-最小即当容量
最优设计问题:
成本最小设计(等式约束优化问题)
S(l,w)340lw250(2lw)450w,s.t.lw372
求解(消元法,乘子法)
§交通流模型
(1)交通流的基本参数及其特征:
流量q,流速v,密度k,qkv。
速度和流量模型:
vvf(1k/kj),qvfk(1k/kj),qkjv(1v/vf)对数模型vvfln(kj/k),二者之间的联系。
(2)
§天气预报的评价
给出4种预报方法有雨概率和实际观测结果(有雨
vk1,,无雨vk0),评价优劣
(1)计数模型-把概率进行0,1处理,计算准确率,该方法未考虑具体的概率值。
(2)计分模型-考虑对预报概率进行赋分:
(1)sk
0p.k50p.5,,vvk0,
(2)sk|pkvk|,(3)sk(pkvk)
0.5pk,vk0
习题:
8.鱼重量模型,建模,根据数据确定参数。
第3章连续优化模型
§1存储模型。
掌握推导不允许缺货情况下的订货模型
并求解;推导增加购买货款情况下的建模求解问题(习题1);
建立允许缺货情况的订货模型;
建立生产销售存储模型(习题2)。
不容许缺货的存储模型:
订货费和存储费,每天的费用
允许缺货的存贮模型:
订货费+贮存费+缺货费,订货周
期T,订货量Q的二元函数:
画图表示:
开始缺货时间T1Q/r,
222
总费用CCiC2也C3也比CiC2Q。
3皿QL
222rr
平均每天的费用
C(TQ)cicQ2C(rTQ)2
C(T,Q)C2C3
T2rTrT
求导得到:
T
T*,q'Q*/,c—c3。
C3相当于容许
\C3
缺货
§2最优生猪出售时间模型:
掌握利润建模优化方法,掌握求解对参数的敏感性系数方法(敏感性分析方法)。
利润表示Q(t)p(t)w(t)c(t)
最优时间t*满足:
p'(t*)w(t*)p(t*)w'(t*)c'(t*),
利润最优性条件:
边际收入=边际支出。
t*t*(g,r)依赖于参数,相对敏感度系数(弹性系数,百分比)
•k**
S(t*,g)些g空竺,含义:
g变化1%则t*相应变换dgt(dg)/g
S(t*,g)%。
符号表示变换趋势。
§3建立救火模型并求解,并对模型假设进行分析和推
广。
§6消费者的选择。
理解均衡消费问题的含义,建立均衡消费模型,推导均衡消费条件,掌握效用函数的基本特征。
要点:
均衡消费问题-偏爱程度用无差别曲线(效用函
数等值线)表示
已知甲乙价格P1,P2,有钱s,试分配S,购买甲乙数量qi,q2,使U(qi,q2)最大•
求解约束最大值问题的Lagrange乘子法步骤:
(1)构造L函数:
L(q1,q2,)U(q1,q2)(P1q1p?
q2s)
(2)求L的无约束极值问题。
均衡消费条件
U/qiPi-边际效用之比等于价格之比。
U/q2P2
应用:
给定效用函数求费用之比凹1
P2q2
习题4:
(i)效用函数等值线即为无差别曲线,单调减,
下凸的。
(2)验证效用函数一、二阶导数条件;(3)求消费比
例。
效用函数的基本特征(一阶条件和二阶条件):
(B)
U0,U
0,2U0,2U0,2u0
qiq2qiq?
qiq?
效用函数与无差别曲线的关系:
效用函数的等值性就是无差别曲线,即由隐式方程u(q「q2)C确定函数曲线q?
q?
(qi)为无差别曲线,其特征是单调减,下凸的,即
(A)效用函数等值线即无差别曲线是单调减的,下凸
的。
由(B)推出(A)(习题)
证明思路:
由u(qi,q2(qi))C两端关于q求导,求出唾,
dq
证明dq20,即单调减。
要证下凸,需再求导,计算乌,
dqidqi
证明
喚0。
dqi
效用函数的构造:
几种典型的效用函数(验证满足条件
B)及均衡消费费用比
(1)调和效用函数UGq)()1,0,0
qiq2
(2)幕效用函数U(qi,q2)qiq2,0,1
(3)均根方效用函数U(q1,q2)(aq1bq2)2,a,b0
效用最大化模型的应用:
例1征销售税还是征收入税
效用函数等值线为u(Xi,X2)C,对甲征收销售税P0,
则约束为(PiP0)xiP2X2y,设均衡消费点为(x*,x2),税为p°x;。
若改为收收入税,则约束变为PMP2X2yPox;。
讨论对
应的消费点的效用值以比较满意度。
例2价格补贴给生产者还是消费者:
设价格(Pi,P2)时消费点为(x;,x;),消费线为PiXiP2X2y,补贴给生产者的量为p°x;,使价格保持Pi。
若补给消费者,容许价格为PiP0,则消费线为(PiPo)%P2X2yP0X*。
此时消费线外推,绝对斜率变大,通过原来的消费点,此时均衡消费点的效用值大。
§。
生产者的决策
最大利润模型:
投入量为x,r(x)f(x)c(x),最大点方程
f'(x*)c(x*)。
最大利润在边际产值等于边际成本时达到。
最优定价模型:
产销平衡时,价格为P,销量为XabP,则禾I」润为r(x(p))pxcx(pc)(abp),最大值点满足
'**ca
r(p)(abp)b(pc)2bp(abe)0,即p
22b
投资费用一定的产值最大模型:
等式约束的条件极值。
maxf(x1,x2),s.t.e1x1e2x2s
最大值点方程f/fx,C1/C2,边际产值等于价格之比。
习题6两段定价问题求解:
利润U(P1,P2)表示,求最大值点若销量一定,则为等式约束的极值问题。
产值最大与费用最小的对偶关系(对偶原理)
费用一定下产值最大模型g(s,c)max{f(x)|exs};
产值一定下费用最小模型s(v,c)min{cx|f(x)v}
对应的x相同。
习题:
1,2,3,4(1-3),5,6,8
习题:
(1)考虑购买货物费用问题:
(2)生产销售存储问题。
存储量函数的表示,费用表
示。
第4章离散优化模型
§1数学规划(最优化模型)概述。
规划模型(最优化模型)的三要素:
决策(设计,控制)变量,目标函数和约束条件。
最优化模型就是在满足约束条件的集合中(可行集)求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式:
max(min)Zf(x),x(x1,x2,...,xn)T
s.t.gi(x)0,i1,2,...m线性规划:
目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划:
目标函数是二次的,约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划:
决策变量均取整数值的规划称为整数规划。
部分决策变量取整数,其它取实数则称为混合整数规划。
只取0,1的变量称为0-1变量。
实际问题建模(生产计划-线性规划)。
建模,软件计算,LINGO编程:
编程语句及其编程:
sets...endsets;定义数组变量
和连接矩阵(派生矩阵),属性变量(变量实例)
data...enddata,@for,@sum,@gin,@bin等
结果分析:
约束条件分析(SLACKORSURPLUS,约束)影子价格含义,
敏感性分析:
目标函数系数,约束条件右端系数的变化范围。
§1生产计划建模:
决策变量为目标为利润(费用),约束为生产要素限制,一般为线
性规划。
2运输问题建模:
一般运输问题建模。
第i个供应点
编程问题:
4选拔与选课问题
特殊类型的运输问题:
0-1变量xij表示(i,j)搭配标示,三要素:
选课问题:
先修条件约束处理多目标问题转化为单目标的方法:
目标转化为约束条件,加权法。
§6原料下料问题。
掌握下料问题建模的一般方法。
下料问题:
按照工艺要求,确定下料方案,使所用材料最省,或利润最大。
建模方法和步骤:
确定下料模式及相关参数,按第i模
式下料次数xi为决策变量,建立目标函数和约束条件建立模型。
重点:
钢管下料(一维问题)问题,由程序确定切割模
式问题的编程。
易拉罐下料(二维),主要是建模。
习题1,2,3,4,7,11
第5章微分方程模型
SI模型:
§传染病模型:
掌握SI模型的建模与求解,SIR模型的建立与在相平面上求解,做出相轨线。
dti(1i),掌握分离变量方法求解(分离’积分)
轨线方程
分析证明i(t),s(t),r(t)的变化趋势和渐进性
质。
§经济增长模型:
应用Douglas生产函数分析相对增长率之间的关系,资金和劳动力的最佳搭配。
贝努力方程的求解。
Douglas生产函数Qf°KL1,相对变化率之间的关系
Q/Q(K/K)
(1)(L/L)
资金-劳动力的最优组合(利润最大):
R(K,L)Q(K,L)wLrK
(1)K
w
Kw
L
r
L1r
增长动态模型:
封闭方程:
Qfo
KL1,dK
dt
Q,
dLL
dt
yk/l,z
Q/L,
贝努力方程的求解:
dy
dt
yy
,推导dQ0,
dt
dZdt
0的条件。
§战争模型:
一般模型
x(t)
f(x,y)
xu(t)
y(t)
g(x,y)
yv(t)
正规战争:
乂⑴ay,掌握微分消元(高阶方程)求解,
y(t)bx
相平面方程和相轨线,分析结局和获胜条件。
游击战模型:
x(t)axy,y(t)bxy,相平面方程dy-,相
dxa
轨线,分析结局和获胜条件
混合战争模型x(t)axy,y(t)bx,字—,相轨线,分析结局
dxay
和获胜条件
§血药浓度分布模型
(二室模型)一般模型(药量或浓度形式)
Xi(t)(ki2kQxi(t)k2iX2(t)fo(t)
X2(t)ki2Xi(t)k2iX2(t)
k12Vi
C2(t)亠Ci(t)k2iC2(t)
(1)快速静脉注射:
fo(t)0,Ci(0)D°/Vi,C2(0)0
Ci(t)(ki2ki3)Ci(t)乎C2(t)
V1
C2(t)121C1(t)k2iC2(t)
V2
掌握求齐次方程组dCAc通解的方法:
(1)求A的特征值dt
及特征向量,设1,1,2,2,则通解为C(t)diieifd22e2t,其中di,d2为待定常数,由初始条件确定。
特征值与矩阵元素的关系(维达公式:
特征值之和等于矩阵的迹(对角元之和),特征值之积等于行列式)
(2)静脉恒速:
fo(t)ko,Ci(O)0心(0)0,
求非齐次方程组dc(t)Ac(t)d(d为常向量)通解方法:
dt
齐次通解+特解diieifd22e2tc*,常数向量特解c*满足
Acd0,Acd
f°(t)k0iD0ek0it,其
k12V1
C2(t)—Ci(t)k2iC2(t)
求非齐次方程dc(t)Ac(t)dekoit通解方法。
特解为c*ekoit代入方dt
程确定c。
习题:
1,2,3,4,5,6,11,12
第6章代数方程与差分方程建模
§投入产出模型
n
XiXjdi,i1,2,...,n
j1
Xj表示第j个部门消耗第i种产品,可表示为XjaijXj,aij表示第j
产品对第i产品的消耗系数,贝S模型的矩阵形式为
xAxd,(IA)xd
问题由d求x,x对d的敏感性(变化性)
§CT技术及其图像重建
X射线强度衰减模型生I,沿线积分得到Il°eL以皿,即dt
L(x,y)dlln^
离散模型
jljln(l°/l)i,i1,2,...,n
jJ(L)
问题转化求解
Axb,Axeb。
§量纲分析与无量纲化建模。
掌握量纲齐次原理和无量纲建模方法。
(1)量纲齐次原理:
两端量纲一致,确定变量之间的幕律(指数)关系。
-定理:
确定变量之间简化关系的步骤(减少变量个数,降维):
(1)确定基本量纲;
(2)用基本量纲表示其它量的量纲,得到表示矩阵(列表示)A;(3)求解Ay0;(4)构造无量纲量y-对应;(5)原方程可简化为
F(1,2,…•nr)0
(2)无量纲化简化ODE定义特征尺度(参考尺度)xc,tc,做无量纲化变换XX/Xc,tt/tc,变换导数得到关于新变量的ODE求解或近似求解。
§蛛网现象与差分方程组
1。
掌握蛛网差分方程和求平衡点的方法,掌握分析二维平衡点稳定性条件的方法(平衡点展开,消元得到递推公式)
线性差分方程(组)平衡点及其稳定性分析方法:
一阶线性差分方程:
Xk1aXk,Xk1aXkb,平衡点
x*—,a1。
齐次方程为,xk1axkak1x0稳定条件:
|a|1。
1a
二阶线性差分方程:
a2Xk2a^k1a°Xkb,平衡点方程
a2x*ax*a°x*b。
稳定性就是讨论ykXkx*是否收敛于零,yk满足齐次方程a2yk1a』k1a°yk0,其解为
ykGkC2l2,1,2是特征方程a22a1a。
0的根。
稳定条件
是1,2其模小于1
价格和供应量变化的蛛网现象和蛛网差分模型(差分方程)
ykf(x)
k1,2,…
Xkig(yk)
平衡点方程:
f(Xo),Xog(y°)
稳定性条件:
Xkixog(yk)g(yo)g(y°)(ykyo)而ykyof(Xk)f(Xo)f'(Xo)(XkXo),得到
II
Xk1Xof(Xo)g(yo)(XkXo)
稳定条件为|f(Xo)g(yo)|1,即1。
§减肥计划模型
体重模型:
w(k1)w(k)c(k1)w(k),k0,1,2,…
差分方程反问题:
(1)求系数(参数)
平衡点方程:
wwcw,可确定。
由w(k)
w(k
1)
b求
解得到w(k)
w(0)
kb,且
c(k1)
丄[
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