精品讲义竞赛与自主招生专题第九讲等差数列等比数列与数列求和 教师版数理化网.docx
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2016年竞赛与自主招生专题第九讲等差数列等比数列与数列求和
从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后,政策刚出时,很多人认为,是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个题目只有出到高考以上,竞赛以下,才能在这么多省份间拉开差距.
所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞赛真题等,具有参考价值。
在近年自主招生试题中,数列是自主招生必考的一个重要内容之一,数列考得较多的知识点有:
极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。
一、知识精讲
1.等差数列:
1.通项公式:
;
2.前项和公式:
.
2.等比数列:
1.通项公式:
;
2.前项和公式:
或.
3.数列的通项公式与前项的和的关系:
(为数列的前项的和为).
4.常见数列的前项和公式:
一.等差数列的主要判定方法:
①(为常数);
②();
③(为常数);
④(为常数)。
二.等差数列的主要性质:
①或(是公差);
②若,且,则。
注意,反之不一定成立;
③数列(是常数)是公差为的等差数列;
④下标成等差数列,且公差为的项组成的数列仍然为等差数列,且公差为。
三.等比数列的判定方法:
①(是不为0的常数);
②(均为不为0的常数);
③(且均不为0)。
四.等比数列的性质:
①(为公比);
②若,则();
③每隔项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列。
五.数列求和方法:
1.直接法:
即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:
(2)等比数列的求和公式(切记:
公比含字母时一定要讨论)
2.公式法:
(见常见数列的前项和公式)
3.错位相减法:
比如
4.裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:
①;
②
③
④
5.分组求和法:
把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和;
6.合并求和法:
如求的和;
7.倒序相加法:
如等差数列的前项和公司的推导,有时关于组合数的求和问题,也常用到该方法;
8.其它求和法:
如归纳猜想法,奇偶法等。
?
备注:
在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
六.第二数学归纳法:
①先证时命题成立;假设时命题成立,再证明时命题也成立(有时称之为跨度为2的数学归纳法)。
②当时,命题成立;假设对一切小于的正整数命题成立,能够推出(证明)时命题也成立。
以上两种都是第二数学归纳法。
七.主要方法:
1.求数列的和注意方法的选取:
关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
3、典例精讲
例1.(2012“华约”)已知,其前项和为,求。
?
分析与解答:
,
。
所以,。
例2.(2011复旦)设有4个数的数列为,前3个数构成一个等比数列,其和为,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零。
对于任意固定的,若满足条件的数列的个数大于1,则应满足()
(A)(B)(C)(D)其他条件
?
分析与解答:
由于前3个数成等比数列,不妨设公比为,后三个数成等差数列,公差为,依题意,。
。
所以,即
。
依题意知,此关于的方程的根不是唯一的,且。
所以,,,且。
故选D。
例3.(2010复旦)已知数列满足:
,且是公比为2的等比数列,则()。
(A)(B)(C)(D)
?
分析与解答:
是公比为2的的等比数列,故,即。
记,则
。
。
①-②,得
,
即,选B。
例4.(2007上海交大)已知等差数列的首项为,公差为;等比数列的首项为,公比为,,其中均为正整数,且。
(1)求的值;
(2)若对于、,存在关系式,求;
(3)对于满足
(2)中关系式的,求。
?
分析与解答:
(1)依题意,,故
。
由,,且。
又。
若,则,,矛盾!
所以。
(2),即,。
(*)
注意到,且,(*)式成立当且仅当。
(3)由
(2)知
。
例5.在等差数列中,公差,是与的等比中项,已知数列
成等比数列,求数列的通项.
?
分析与解答:
依题设得,
∴,整理得
∵,∴,得
所以,由已知得是等比数列.
由于,所以数列也是等比数列,首项为1,公比为,由此得等比数列的首项,公比,
所以.即得到数列的通项为
例6.(2004年春季北京卷)下表给出一个“等差数阵”:
4
7
()
()
()
…
……
7
12
()
()
()
…
……
()
()
()
()
()
…
……
()
()
()
()
()
…
……
……
……
……
……
……
…
……
……
…
……
……
……
……
……
……
…
……
……
其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第列的数.
(I)写出的值;
(II)写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置.
(III)证明:
正整数在该等差数列阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.
?
分析与解答:
(I);
(II)该等差数阵中:
第一行是首项为4,公差为3的等差数列:
;
第二行是首项为7,公差为5的等差数列:
……
第i行是首项为,公差为的等差数列,
因此,要找2008在该等差数阵中的位置,也就是要找正整数、,使得,所以,当时,得。
所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列.
(III)“必要性”:
若在该等差数阵中,则存在正整数,使得
从而即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积.
“充分性”:
若可以分解成两个不是1的正整数之积,由于是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数、,使得,从而可见N在该等差数阵中.
综上所述,正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积.
例7.(2004年全国理工卷)已知数列的前项和满足:
,.
(1)写出求数列的前3项;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:
对任意的整数,有.
?
分析:
由数列前项和与通项的关系,求应考虑将与或其转化为的递推关系,再依此求。
对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.
?
解答:
(1)当时,有:
;
当时,有:
;
当时,有:
;
综上可知;
(2)由已知得:
化简得:
上式可化为:
故数列是以为首项,公比为2的等比数列.
故∴
数列的通项公式为:
.
(3)由已知得:
.
故().
?
说明:
本题是一道典型的代数综合题,是将数列与不等式相结合,它的综合性不仅表现在知识内容的综合上,在知识网络的交汇处设计试题,更重要的是体现出在方法与能力上的综合,体现出能力要素的有机组合.
例8.设为等差数列,为等比数列,且,试求的首项与公差.
?
分析:
题中有两个基本量中的首项和公差是需要求的,利用、、成等比数列和给定极限可列两个方程,但需注意极限存在的条件.
?
解答:
设所求公差为,∵,∴.由此得
化简得:
解得:
而,故
若,则
若,则
但存在,故,于是不可能.
从而
所以
?
说明:
本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识,用到方程的思想和方法,且在解题过程中要根据题意及时取舍,如由题意推出,,等,在解题中都非常重要.
例9.(2001复旦)设数列满足,其前项乘积,其中是大于1的常数()。
(1)求证:
是等比数列;
(2)求中所有不同两项的乘积之和。
?
分析与解:
(1)由,知,故
。
即是等比数列,且公比为。
(2)由
(1)知,。
中所有不同两项的乘积之和为。
注意到,
而,
所以
。
注:
“中所有不同两项的乘积之和”的问题实际上是一个无穷数列求和的问题。
例10.(2011复旦)设为一个正整数,记,则是的一个多项式。
下面结论正确的是()
(A)的最高项系数为1(B)的常数项系数为-3
(C)是的1个4此多项式(D)的4此项系数为
?
分析与解:
解法一:
首先有公式,,考虑:
,
所以。
所以。
所以
。
易见最高次项系数为,常数项系数为0,是的一个5次多项式,4次项系数为,故选D。
解法二:
类比法。
注意到,,。
下面对选项逐项排除。
对选项(A),的最高项系数分别为,从而的最高项系数应为;对选项(B),的常数项为0,故的常数项的系数也为0;对选项(C),分别为2次,3次,4次多项式,故应为1个5次多项式,故只有选项D正确。
4、真题训练
1.(2006复旦)等差数列中,且,是前项之和,则下列()是正确的。
(A)均小于0,而均大于0
(B)均小于0,而均大于0
(C)均小于0,而均大于0
(D)均小于0,而均大于0
2.(2007武大)已知是等差数列的前项和,若,则首项()
(A)2008(B)-2008(C)2006(D)-2006
3.(2008上海交大)等差数列中,,则前项和取最大值时,的值为。
4.(2008上海交大)数列的通项公式为,则这个数列的前99项之和
。
5.(2007武大)如果数列是首项为1,公差为1的等差数列,那么数列的通项公式。
6.(2011“北约”)是等差数列,表示的前项和,求的最小值。
7.(2005复旦)定义在上的函数,
(1)求;
(2)是否存在常数,,有?
8.(2008武大)数列的前项和为,。
求数列的通项。
9.(2006复旦)对于任意的,均为非负实数,且,试用数学归纳法证明:
成立。
10.(2009上海交大),为等比数列,求的最大值。
5、真题训练答案
1.【答案】C
【分析与解答】:
可取特殊值,
。
2.【答案】D
【分析与解答】:
,解得。
3.【答案】20
【分析与解答】:
。
。
4.【答案】
【分析与解答】:
,
。
5.【答案】
【分析与解答】:
,将这式累加,得。
6.【分析与解答】:
设公差为,则。
,显然时,最小,的最小值为。
7.【分析与解答】:
(1),故。
(2)不存在。
,取,则
,
当时,,故不存在,使得对,。
8.【分析与解】:
由,知,故
。
又令,数列从第2项起成公比为3的等比数列,即
。
综上,
9.【分析与解答】:
时显然成立。
假设时命题成立,则时,
令,由归纳假设知。
①
又。
②
由①②可知
即时命题成立,故原命题得证。
10.【分析与解答】:
,,当且仅当时为正(),。
当时,,故只需比较与的大小。
(因为),故。
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