高中数学课时跟踪检测二十一向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版.docx
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高中数学课时跟踪检测二十一向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版
2019-2020年高中数学课时跟踪检测二十一向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版
1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为( )
A. B.3
C.-D.-3
解析:
选D 向量a在b方向上的投影为==-3.选D.
2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=( )
A.B.
C.2D.10
解析:
选B 由a⊥b得a·b=0,
∴x×1+1×(-2)=0,即x=2,
∴a+b=(3,-1),
∴|a+b|==.
3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12B.-6
C.6D.12
解析:
选D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
4.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选C 设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos〈a,b〉==.
5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
解析:
选A 由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),∴·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.
∴∠BAC=90°,
故△ABC是直角三角形.
6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.
解析:
a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.
答案:
7.已知向量a=(1,),2a+b=(-1,),a与2a+b的夹角为θ,则θ=________.
解析:
∵a=(1,),2a+b=(-1,),
∴|a|=2,|2a+b|=2,a·(2a+b)=2,
∴cosθ==,
∴θ=.
答案:
8.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为________.
解析:
设b=(x,y)(y≠0),则依题意有解得故b=.
答案:
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:
(1)若a⊥b,
则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)
=1×(2x+3)+x(-x)=0,
即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
a-b=(-2,0),|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
a-b=(2,-4),|a-b|==2.
综上,|a-b|=2或2.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).
(1)求·及|+|;
(2)设实数t满足(-t)⊥,求t的值.
解:
(1)∵=(-3,-1),=(1,-5),
∴·=-3×1+(-1)×(-5)=2.
∵+=(-2,-6),
∴|+|==2.
(2)∵-t=(-3-2t,-1+t),=(2,-1),且(-t)⊥,
∴(-t)·=0,
∴(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0,
∴t=-1.
1.设向量a=(1,0),b=,则下列结论中正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a-b与b垂直D.a∥b
解析:
选C 由题意知|a|==1,|b|==,a·b=1×+0×=,(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,
故a-b与b垂直.
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)B.(2,0)
C.(3,0)D.(4,0)
解析:
选C 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),
∴·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,
故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).
3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
解析:
选C x应满足(x,2)·(-3,5)<0且a,b不共线,解得x>,且x≠-,∴x>.
4.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是( )
A.B.
C.D.
解析:
选B 设C(x,y),则=(x,y).
又=(-3,1),
∴=-=(x+3,y-1).
∵∥,
∴5(x+3)-0·(y-1)=0,
∴x=-3.
∵=(0,5),
∴=-=(x,y-5),=-=(3,4).
∵⊥,∴3x+4(y-5)=0,∴y=,
∴C点的坐标是.
5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.
解析:
因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,
解得m=2.
答案:
2
6.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为______;·的最大值为______.
解析:
以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.
则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),
设E(1,a)(0≤a≤1).
所以·=(1,a)·(1,0)=1,
·=(1,a)·(0,1)=a≤1,
故·的最大值为1.
答案:
1 1
7.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:
(1)设c=(x,y),∵|c|=2,∴=2,
∴x2+y2=20.
由c∥a和|c|=2,
可得
解得或
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,
∴cosθ==-1.
又θ∈[0,π],∴θ=π.
8.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的射影的数量;
(2)证明A,B,C三点共线,且当=时,求λ的值;
(3)求||的最小值.
解:
(1)·=8,设与的夹角为θ,
则cosθ===,
∴在上的射影的数量为||cosθ=4×=2.
(2)=-=(-2,2),=-=(1-λ)·-(1-λ)=(λ-1),所以A,B,C三点共线.
当=时,λ-1=1,所以λ=2.
(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2
=16λ2-16λ+16=162+12,
∴当λ=时,||取到最小值,为2.
2019-2020年高中数学课时跟踪检测二十一对数函数的图象及性质新人教B版
1.函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)
解析:
选C 由题意知
解得x>-1且x≠1.
2.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( )
A.y=log4xB.y=logx
C.y=logxD.y=log2x
解析:
选D 由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.
3.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( )
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
解析:
选A ∵3x>0,∴3x+1>1.∴log2(3x+1)>0.
∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
4.函数y=lg(x+1)的图象大致是( )
解析:
选C 由底数大于1可排除A、B,y=lg(x+1)可看作是y=lgx的图象向左平移1个单位.(或令x=0得y=0,而且函数为增函数)
5.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是( )
A.增函数B.减函数
C.奇函数D.偶函数
解析:
选A 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性,很明显函数f(x)在定义域上是增函数.
6.若f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则a=________.
解析:
由对数函数的定义可知,
解得a=5.
答案:
5
7.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是________.
解析:
y=logax的图象恒过点(1,0),令x-3=1,得x=4,则y=-1.
答案:
(4,-1)
8.若f(x)是对数函数且f(9)=2,当x∈[1,3]时,f(x)的值域是________.
解析:
设f(x)=logax,因为loga9=2,所以a=3,即f(x)=log3x.又因为x∈[1,3],所以0≤f(x)≤1.
答案:
[0,1]
9.若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值;
(2)求函数的定义域.
解:
(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0,a≠1)中,
有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.
(2)由
(1)知y=log2(x+2),由x+2>0,解得x>-2,
所以函数的定义域为{x|x>-2}.
10.求下列函数的定义域与值域:
(1)y=log2(x-2);
(2)y=log4(x2+8).
解:
(1)由x-2>0,得x>2,
所以函数y=log2(x-2)的定义域是(2,+∞),值域是R.
(2)因为对任意实数x,log4(x2+8)都有意义,所以函数y=log4(x2+8)的定义域是R.
又因为x2+8≥8,
所以log4(x2+8)≥log48=,即函数y=log4(x2+8)的值域是.
层级二 应试能力达标
1.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞)D.[3,+∞)
解析:
选C 当x≥1时,log2x≥0,所以y=2+log2x≥2.
2.函数f(x)=的定义域是( )
A.[4,+∞)B.(10,+∞)
C.(4,10)∪(10,+∞)D.[4,10)∪(10,+∞)
解析:
选D 由解得∴x≥4且x≠10,
∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞).故选D.
3.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为( )
A.0 B.10 C.1 D.
解析:
选C 由已知,得a-lgx≥0的解集为(0,10],由a-lgx≥0,得lgx≤a,又当0<x≤10时,l
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