从B树B+树Bx树谈到R树.docx
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从B树B+树Bx树谈到R树
《从B树、B+树、B*树谈到R树》
作者:
July、weedge、Frankie。
编程艺术室出品。
说明:
本文从B树开始谈起,然后论述B+树、B*树,最后谈到R 树。
其中B树、B+树及B*树部分由weedge完成,R 树部分由Frankie完成,全文最终由July统稿修订完成。
出处:
。
第一节、B树、B+树、B*树
1.前言
动态查找树主要有:
二叉查找树(BinarySearchTree),平衡二叉查找树(BalancedBinarySearchTree),红黑树(Red-BlackTree),B-tree/B+-tree/B*-tree (B~Tree)。
前三者是典型的二叉查找树结构,其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关,那么降低树的深度自然会提高查找效率。
但是咱们有面对这样一个实际问题:
就是大规模数据存储中,实现索引查询这样一个实际背景下,树节点存储的元素数量是有限的(如果元素数量非常多的话,查找就退化成节点内部的线性查找了),这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁,进而导致查询效率低下(为什么会出现这种情况,待会在外部存储器-磁盘中有所解释),那么如何减少树的深度(当然是不能减少查询的数据量),一个基本的想法就是:
采用多叉树结构(由于树节点元素数量是有限的,自然该节点的子树数量也就是有限的)。
也就是说,因为磁盘的操作费时费资源,如果过于频繁的多次查找势必效率低下。
那么如何提高效率,即如何避免磁盘过于频繁的多次查找呢?
根据磁盘查找存取的次数往往由树的高度所决定,所以,只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度,那么是不是便能有效减少磁盘查找存取的次数呢?
那这种有效的树结构是一种怎样的树呢?
这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。
根据平衡二叉树的启发,自然就想到平衡多路查找树结构,也就是这篇文章所要阐述的第一个主题B~tree,即B树结构(后面,我们将看到,B树的各种操作能使B树保持较低的高度,从而达到有效避免磁盘过于频繁的查找存取操作,从而有效提高查找效率)。
B-tree(B-tree树即B树,B即Balanced,平衡的意思)这棵神奇的树是在RudolfBayer, EdwardM.McCreight(1970)写的一篇论文《OrganizationandMaintenanceofLargeOrderedIndices》中首次提出的(wikipedia中:
http:
//en.wikipedia.org/wiki/B-tree,阐述了B-tree名字来源以及相关的开源地址)。
在开始介绍B~tree之前,先了解下相关的硬件知识,才能很好的了解为什么需要B~tree这种外存数据结构。
2.外存储器—磁盘
计算机存储设备一般分为两种:
内存储器(mainmemory)和外存储器(externalmemory)。
内存存取速度快,但容量小,价格昂贵,而且不能长期保存数据(在不通电情况下数据会消失)。
外存储器—磁盘是一种直接存取的存储设备(DASD)。
它是以存取时间变化不大为特征的。
可以直接存取任何字符组,且容量大、速度较其它外存设备更快。
2.1磁盘的构造
磁盘是一个扁平的圆盘(与电唱机的唱片类似)。
盘面上有许多称为磁道的圆圈,数据就记录在这些磁道上。
磁盘可以是单片的,也可以是由若干盘片组成的盘组,每一盘片上有两个面。
如下图11.3中所示的6片盘组为例,除去最顶端和最底端的外侧面不存储数据之外,一共有10个面可以用来保存信息。
当磁盘驱动器执行读/写功能时。
盘片装在一个主轴上,并绕主轴高速旋转,当磁道在读/写头(又叫磁头) 下通过时,就可以进行数据的读 / 写了。
一般磁盘分为固定头盘(磁头固定)和活动头盘。
固定头盘的每一个磁道上都有独立的磁头,它是固定不动的,专门负责这一磁道上数据的读/写。
活动头盘 (如上图)的磁头是可移动的。
每一个盘面上只有一个磁头(磁头是双向的,因此正反盘面都能读写)。
它可以从该面的一个磁道移动到另一个磁道。
所有磁头都装在同一个动臂上,因此不同盘面上的所有磁头都是同时移动的(行动整齐划一)。
当盘片绕主轴旋转的时候,磁头与旋转的盘片形成一个圆柱体。
各个盘面上半径相同的磁道组成了一个圆柱面,我们称为柱面 。
因此,柱面的个数也就是盘面上的磁道数。
2.2磁盘的读/写原理和效率
磁盘上数据必须用一个三维地址唯一标示:
柱面号、盘面号、块号(磁道上的盘块)。
读/写磁盘上某一指定数据需要下面3个步骤:
(1) 首先移动臂根据柱面号使磁头移动到所需要的柱面上,这一过程被称为定位或查找 。
(2) 如上图11.3中所示的6盘组示意图中,所有磁头都定位到了10个盘面的10条磁道上(磁头都是双向的)。
这时根据盘面号来确定指定盘面上的磁道。
(3) 盘面确定以后,盘片开始旋转,将指定块号的磁道段移动至磁头下。
经过上面三个步骤,指定数据的存储位置就被找到。
这时就可以开始读/写操作了。
访问某一具体信息,由3部分时间组成:
● 查找时间(seektime)Ts:
完成上述步骤
(1)所需要的时间。
这部分时间代价最高,最大可达到0.1s左右。
● 等待时间(latencytime)Tl:
完成上述步骤(3)所需要的时间。
由于盘片绕主轴旋转速度很快,一般为7200转/分(电脑硬盘的性能指标之一, 家用的普通硬盘的转速一般有5400rpm(笔记本)、7200rpm几种)。
因此一般旋转一圈大约0.0083s。
● 传输时间(transmissiontime)Tt:
数据通过系统总线传送到内存的时间,一般传输一个字节(byte)大概0.02us=2*10^(-8)s
磁盘读取数据是以盘块(block)为基本单位的。
位于同一盘块中的所有数据都能被一次性全部读取出来。
而磁盘IO代价主要花费在查找时间Ts上。
因此我们应该尽量将相关信息存放在同一盘块,同一磁道中。
或者至少放在同一柱面或相邻柱面上,以求在读/写信息时尽量减少磁头来回移动的次数,避免过多的查找时间Ts。
所以,在大规模数据存储方面,大量数据存储在外存磁盘中,而在外存磁盘中读取/写入块(block)中某数据时,首先需要定位到磁盘中的某块,如何有效地查找磁盘中的数据,需要一种合理高效的外存数据结构,就是下面所要重点阐述的B-tree结构,以及相关的变种结构:
B+-tree结构和B*-tree结构。
3.B-树
3.1什么是B-树
具体讲解之前,有一点,再次强调下:
B-树,即为B树。
因为B树的原英文名称为B-tree,而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树,其实,这是个非常不好的直译,很容易让人产生误解。
如人们可能会以为B-树是一种树,而B树又是一种一种树。
而事实上是,B-tree就是指的B树。
特此说明。
我们知道,B树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉(下面你会看到,相对于二叉,B树每个内结点有多个分支,即多叉)平衡查找树。
与本blog之前介绍的红黑树很相似,但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。
许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构,如下文即将要介绍的B+树,B*树来存储信息。
B树与红黑树最大的不同在于,B树的结点可以有许多子女,从几个到几千个。
那为什么又说B树与红黑树很相似呢?
因为与红黑树一样,一棵含n个结点的B树的高度也为O(lgn),但可能比一棵红黑树的高度小许多,应为它的分支因子比较大。
所以,B树可以在O(logn)时间内,实现各种如插入(insert),删除(delete)等动态集合操作。
如下图所示,即是一棵B树,一棵关键字为英语中辅音字母的B树,现在要从树种查找字母R(包含n[x]个关键字的内结点x,x有n[x]+1]个子女(也就是说,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女)。
所有的叶结点都处于相同的深度,带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点):
相信,从上图你能轻易的看到,一个内结点x若含有n[x]个关键字,那么x将含有n[x]+1个子女。
如含有2个关键字DH的内结点有3个子女,而含有3个关键字QTX的内结点有4个子女。
B 树又叫平衡多路查找树。
一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下:
1.树中每个结点最多含有m个孩子(m>=2);
2.除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m/2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数);
3.若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况:
没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点);
4.所有叶子结点都出现在同一层,叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点,实际上这些结点不存在,指向这些结点的指针都为null);(读者反馈@冷岳:
这里有错,叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针,这些节点也存在,也有元素。
@JULY:
其实,关键是把什么当做叶子结点,因为如红黑树中,每一个NULL指针即当做叶子结点,只是没画出来而已)。
5.每个非终端结点中包含有n个关键字信息:
(n,P0,K1,P1,K2,P2,......,Kn,Pn)。
其中:
a) Ki(i=1...n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1) b) Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。 c) 关键字的个数n必须满足: [ceil(m/2)-1]<=n<=m-1。 如下图所示: 针对上面第5点,再阐述下: B树中每一个结点能包含的关键字(如之前上面的DH和QTX)数有一个上界和下界。 这个下界可以用一个称作B树的最小度数(算法导论中文版上译作度数,最小度数即内节点中节点最小孩子数目)t(t>=2)表示。 ∙每个非根的结点必须至少含有t-1个关键字。 每个非根的内结点至少有t个子女。 如果树是非空的,则根结点至少包含一个关键字; ∙每个结点可包含之多2t-1个关键字。 所以一个内结点至多可有2t个子女。 如果一个结点恰好有2t-1个关键字,我们就说这个结点是满的(而稍后介绍的B*树作为B树的一种常用变形,B*树中要求每个内结点至少为2/3满,而不是像这里的B树所要求的至少半满); ∙当关键字数t=2(t=2的意思是,tmin=2,t可以>=2)时的B树是最简单的(有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树,但二叉查找树就是二叉查找树,B树就是B树,B树的真正最准确的定义为: 一棵含有t(t>=2)个关键字的平衡多路查找树)。 每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女,亦即一棵2-3-4树,然而在实际中,通常采用大得多的t值。 B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小,根据磁盘驱动(diskdrives)的不同,一般块的大小在1k~4k左右);这样树的深度降低了,这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存,很快访问到要查找的数据。 3.2B树的类型和节点定义 B树的类型和节点定义如下图所示: 3.3文件查找的具体过程(涉及磁盘IO操作) 为了简单,这里用少量数据构造一棵3叉树的形式,实际应用中的B树结点中关键字很多的。 上面的图中比如根结点,其中17表示一个磁盘文件的文件名;小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置;p1表示指向17左子树的指针。 其结构可以简单定义为: 1.typedef struct { 2. /*文件数*/ 3. int file_num; 4. /*文件名(key)*/ 5. char * file_name[max_file_num]; 6. /*指向子节点的指针*/ 7. BTNode * BTptr[max_file_num+1]; 8. /*文件在硬盘中的存储位置*/ 9. FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num]; 假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点(正好存放2个文件名)。 那么一个BTNODE结点就代表一个盘块,而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。 下面,咱们来模拟下查找文件29的过程: 1.根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1,将其中的信息导入内存。 【磁盘IO操作1次】 2.此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。 根据算法我们发现: 17<29<35,因此我们找到指针p2。 3.根据p2指针,我们定位到磁盘块3,并将其中的信息导入内存。 【磁盘IO操作2次】 4.此时内存中有两个文件名26,30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。 根据算法我们发现: 26<29<30,因此我们找到指针p2。 5.根据p2指针,我们定位到磁盘块8,并将其中的信息导入内存。 【磁盘IO操作3次】 6.此时内存中有两个文件名28,29。 根据算法我们查找到文件名29,并定位了该文件内存的磁盘地址。 分析上面的过程,发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。 关于内存中的文件名查找,由于是一个有序表结构,可以利用折半查找提高效率。 至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。 当然,如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找,磁盘4次,最多5次,而且文件越多,B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少,效率也越高。 B树的高度 根据上面的例子我们可以看出,对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。 而B树的高度由什么决定的呢? 若B树某一非叶子节点包含N个关键字,则此非叶子节点含有N+1个孩子结点,而所有的叶子结点都在第I层。 因为根至少有两个孩子,因此第2层至少有两个结点。 除根和叶子外,其它结点至少有┌m/2┐个孩子,因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点,在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点,在第I层至少有2*(┌m/2┐^(l-2))个结点,于是有: N+1≥2*┌m/2┐I-2 考虑第L层的结点个数为N+1,那么2*(┌m/2┐^(l-2))≤N+1,也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个 即: I≤log┌m/2┐((N+1)/2)+2 所以,当B树包含N个关键关键字时,B树的最大高度为l-1(因为计算B树高度时,叶结点所在层不计算在内) 即: log┌m/2┐((N+1)/2)+1。 这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的。 4.B+树 B+树: 是应文件系统所需而产生的一种B-树的变形树。 一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于: 1.有n棵子树的结点中含有n个关键字; (而B树是n棵子树有n-1个关键字) 2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含有这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息) 3.所有的非终端结点可以看成是索引部分,结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键字。 (而B树的非终节点也包含需要查找的有效信息) a) 为什么说B+-tree比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引? 1) B+-tree的磁盘读写代价更低 B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。 因此其内部结点相对B树更小。 如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中,那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。 一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。 相对来说IO读写次数也就降低了。 举个例子,假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes,而一个关键字2bytes,一个关键字具体信息指针2bytes。 一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。 而B+ 树内部结点只需要1个盘快。 当需要把内部结点读入内存中的时候,B树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。 2) B+-tree的查询效率更加稳定 由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点,而只是叶子结点中关键字的索引。 所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。 所有关键字查询的路径长度相同,导致每一个数据的查询效率相当。 读者点评 本文评论下第149楼,fanyy1991针对上文所说的两点,道: 个人觉得这两个原因都不是主要原因。 数据库索引采用B+树的主要原因是B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。 正是为了解决这个问题,B+树应运而生。 B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。 而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的,而B树不支持这样的操作(或者说效率太低)。 b) B+-tree的应用: VSAM(虚拟存储存取法)文件(来源论文 theubiquitousBtree 作者: DCOMER-1979) 5.B*-tree B*-tree是B+-tree的变体,在B+ 树非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2)。 给出了一个简单实例,如下图所示: B+树的分裂: 当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针。 B*树的分裂: 当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针。 所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高; 6、B树的插入、删除操作 上面第3小节简单介绍了利用B树这种结构如何访问外存磁盘中的数据的情况,下面咱们通过另外一个实例来对这棵B树的插入(insert),删除(delete)基本操作进行详细的介绍。 但在此之前,咱们还得简单回顾下一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性,如下: 1.树中每个结点含有最多含有m个孩子,即m满足: ceil(m/2)<=m<=m。 2.除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m/2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数); 3.若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况: 没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点); 4.所有叶子结点都出现在同一层,叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点,实际上这些结点不存在,指向这些结点的指针都为null); 5.每个非终端结点中包含有n个关键字信息: (n,P0,K1,P1,K2,P2,......,Kn,Pn)。 其中: a) Ki(i=1...n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1) b) Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。 c) 除根结点之外的结点的关键字的个数n必须满足: [ceil(m/2)-1]<=n<=m-1(叶子结点也必须满足此条关于关键字数的性质,根结点除外)。 ok,下面咱们以一棵5阶(即树中任一结点至多含有4个关键字,5棵子树)B树实例进行讲解(如下图所示): 备注: 1.关键字数(2-4个)针对--非根结点(包括叶子结点在内),孩子数(3-5个)--针对根结点和叶子结点之外的内结点。 当然,根结点是必须至少有2个孩子的,不然就成直线型搜索树了。 2.曾在一次面试中被问到,一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少? 答曰: log_ceil(m/2)(N+1)/2 +1(上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到: 树中每个结点含有最多含有m个孩子,即m满足: ceil(m/2)<=m<=m。 而树中每个结点含孩子数越少,树的高度则越大,故如此)。 在2012微软4月份的笔试中也问到了此问题。 更多原理请看上文第3小节末: B树的高度。 下图中关键字为大写字母,顺序为字母升序。 结点定义如下: 1.typedef struct{ 2. int Count; // 当前节点中关键元素数目 3. ItemType Key[4]; // 存储关键字元素的数组 4. long Branch[5]; // 伪指针数组,(记录数目)方便判断合并和分裂的情况 5.} NodeType; 6.1、插入(insert)操作 插入一个元素时,首先在B树中是否存在,如果不存在,即在叶子结点处结束,然后在叶子结点中插入该新的元素,注意: 如果叶子结点空间足够,这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素,如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素,则将该结点进行“分裂”,将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中,中间关键字元素上移到父结点中(当然,如果父结点空间满了,也同样需要“分裂”操作),而且当结点中关键元素向右移动了,相关的指针也需要向右移。 如果在根结点插入新元素,空间满了,则进行分裂操作,这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中,因此导致树的高度增加一层。 如下图所示: 1、OK,下面咱们通过一个实例来逐步讲解下。 插入以下字符字母到一棵空的B 树中(非根结点关键字数小了(小于2个)就合并,大了(超过4个)就分裂): C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S,首先,结点空间足够,4个字母插入相同的结点中,如下图: 2、当咱们试着插入H时,结点发现空间不够,以致将其分裂成2个结点,移动中间元素G上移到新的根结点中,在实现过程中,咱们把A和C留在当前结点中,而H和N放置新的其右邻居结点中。 如下图: 3、当咱们插入E,K,Q时,不需要任何分裂操作 4、插入M需要一次分裂,注意M恰好是中间关键字元素,以致向上移到父节点中 5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作 6、插入Z时,最右的叶子结点空间满了,需要进行分裂操作,中间元素T上移到父节点中,注意通过上移中间元素,树最终还是保持平衡,分裂结果的结点存在2个关键字元素。 7、插入D时,导致最左边的叶子结点被分裂,D恰好也是中间元素,上移到父节点中,然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作(别忘了,树中至多5个孩子)。 8、最后,当插入S时,含有N,P,Q,R的结点需要分裂,把中间元素Q上移到父节点中,但是情况来了,父节点中空间已经满了,所以也要进行分裂,将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中,注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括D和G节点中。 这样具体插入操作的完成,下面介绍删除操作,删除操作相对于插入操作要考虑的情况多点。 6.2、删除(delete)操作 首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在,则将该元素在其结点中进行删除,如果删除该元素后,首先判断该元素是否有左右孩子结点,如果有,则上移孩
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