23抛物线方程式.docx
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23抛物线方程式
2-3:
拋物線方程式
1.已知拋物線的焦點為F(2,3),準線為L:
3x4y20,試求此拋物線的正焦弦長。
【課本練習題-例題】
解答 8
解析拋物線的焦點為F(2,3),準線L:
3x4y20,
則焦點F與準線L的距離為
,
所以拋物線的正焦弦長為2d(F,L)248。
2.已知拋物線的焦點為F(1,3),準線為L:
5x12y80,試求此拋物線的正焦弦長。
【課本練習題-隨堂練習】
解答 6
解析∵ 焦點F(1,3)與準線L:
5x12y80的距離
,
∴ 正焦弦長為2d(F,L)236。
3.試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
(1)焦點為F(3,0),準線為L:
x3。
(2)焦點為F(0,4),準線為L:
y4。
【課本練習題-例題】
解答
(1)y212x;
(2)x216y
解析
(1)焦點F(3,0)在準線L:
x3的右方,所以拋物線開口向右,
頂點為(0,0),c3,如下圖所示。
由拋物線的標準式y24cx得知,
所求拋物線方程式為y212x。
(2)焦點F(0,4)在準線L:
y4的下方,所以拋物線開口向下,
頂點為(0,0),c4,如下圖所示。
由拋物線的標準式x24cy得知,
所求拋物線方程式為x216y。
4.試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
(1)焦點為F(2,0),準線為L:
x2。
(2)焦點為F(0,1),準線為L:
y1。
【課本練習題-隨堂練習】
解答
(1)y28x;
(2)x24y
解析
(1)∵ 焦點F(2,0)在準線L:
x2的左方
拋物線開口向左,頂點為(0,0),c2,
由拋物線的標準式y24cx得知
所求拋物線方程式為y28x。
(2)∵ 焦點F(0,1)在準線L:
y1的上方
拋物線開口向上,頂點為(0,0),c1,
由拋物線的標準式x24cy得知
所求拋物線方程式為x24y。
5.試求拋物線y28x的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。
【課本練習題-例題】
解答 頂點(0,0),焦點(2,0),準線x2,對稱軸y0,正焦弦長8
解析y28x可以寫成y24
(2)x,
由拋物線的標準式得知,c2,圖形開口向左,
頂點坐標為原點(0,0),
焦點F坐標為(c,0)(2,0),
準線L:
xc,即L:
x2,
對稱軸為y0(即x軸),
正焦弦長4|c|8。
6.試求拋物線x212y的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。
【課本練習題-隨堂練習】
解答 頂點(0,0),焦點(0,3),準線y3,對稱軸x0,正焦弦長12
解析x212y可以寫成x243y,
由拋物線的標準式得知c3,圖形開口向上,
頂點坐標為(0,0),
焦點F坐標為(0,c)(0,3),
準線L:
yc,即L:
y3,
對稱軸為x0(即y軸),
正焦弦長4|c|12。
7.試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
(1)頂點為V(1,1),準線為L:
x3。
(2)焦點為F(2,3),準線為L:
y1。
【課本練習題-例題】
解答
(1)(y1)216(x1);
(2)(x2)28(y1)
解析
(1)頂點V(1,1)到準線L:
x3的距離為4,
又頂點V在準線L的右方,所以拋物線開口向右,
故得c4,焦點F為(5,1),如下圖所示。
因為拋物線開口向右,所以方程式形如(yk)24c(xh),
故所求方程式為(y1)216(x1)。
(2)焦點F(2,3)在準線L:
y1的下方,
所以拋物線開口向下,如下圖所示。
對稱軸過焦點F(2,3)與準線L:
y1垂直相交於點E(2,1),
又頂點V為
的中點,坐標為(2,1),
因拋物線開口向下,且
,故得c2,
拋物線方程式形如(xh)24c(yk),
故所求方程式為(x2)28(y1)。
8.試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
(1)焦點為F(3,2),準線為L:
x1。
(2)頂點為V(1,1),焦點為F(1,3)。
【課本練習題-隨堂練習】
解答
(1)(y2)28(x1);
(2)(x1)28(y1)
解析
(1)焦點F(3,2)在準線L:
x1的左方,
所以拋物線開口向左,對稱軸過F(3,2)與L:
x1垂直相交於點E(1,2),
又頂點V為
的中點,坐標為(1,2),
∵ 拋物線開口向左,且
c2,
故拋物線方程式形如(yk)24c(xh),
∴ 所求方程式為(y2)28(x1)。
(2)∵ 頂點V(1,1)在焦點F(1,3)的下方
;拋物線開口向上,故得c2。
所以拋物線方程式形如(xh)24c(yk),
∴ 所求方程式為(x1)28(y1)。
9.試求拋物線x24x8y120的頂點、焦點與正焦弦長。
【課本練習題-例題】
解答 頂點(2,1),焦點(2,3),正焦弦長8
解析將x24x8y120移項配方得x24x48y124,
故得(x2)28y8,亦即(x2)242(y1),
所以頂點為(h,k)(2,1),且c2,圖形開口向上,
焦點為(h,kc)(2,3),
正焦弦長4|c|8。
10.試求拋物線y28x4y40的頂點、焦點與正焦弦長。
【課本練習題-隨堂練習】
解答 頂點(1,2),焦點(1,2),正焦弦長8
解析將y28x4y40移項配方得y24y48x44,
故得(y2)242(x1),
所以頂點(h,k)(1,2)且c2,
焦點為(hc,k)(1,2),
正焦弦長4|c|8。
11.試求拋物線y24x2y70的焦點、準線與對稱軸。
【課本練習題-例題】
解答 焦點(1,1),準線x3,對稱軸y1
解析將y24x2y70移項配方得y22y14x71,
故得(y1)24x8,亦即(y1)24
(1)(x2),
故得頂點為(h,k)(2,1),且c1,圖形開口向左,
焦點為(hc,k)(1,1),
準線為xhc,即x3,
對稱軸為yk,即y1。
12.試求拋物線x26x8y230的焦點、準線與對稱軸。
【課本練習題-隨堂練習】
解答 焦點(3,2),準線y6,對稱軸x3
解析將x26x8y230移項配方得x26x98y239,
故得(x3)242(y4),
所以頂點(h,k)(3,4)且c2,
焦點為(h,kc)(3,2),
準線為ykc,即y6,
對稱軸為xh,即x3。
13.試求通過P(1,0)、Q(9,0)、R(0,9)三點,且對稱軸平行y軸的拋物線方程式。
【課本練習題-例題】
解答 yx210x9
解析因拋物線對稱軸平行y軸,
故設方程式為yAx2BxC,
將P(1,0)、Q(9,0)、R(0,9)三點坐標代入,
得
,
分別代入、得
AB9……,81A9B9……,
由9得72A72,即A1,
A1代入得B10,
故所求拋物線方程式為yx210x9。
14.試求通過(0,1)、(2,2)、(8,3)三點,且對稱軸平行x軸的拋物線方程式。
【課本練習題-隨堂練習】
解答 x2y24y2
解析∵ 拋物線對稱軸平行x軸,
故設方程式為xAy2ByC,
將(0,1)、(2,2)、(8,3)三點坐標分別代入得
,
由得3AB2……,
由得5AB6……,
由、解得A2、B4,
將A2、B4代入得C2,
∴ 拋物線方程式為x2y24y2。
15.已知有一拋物線形狀的拱橋,拱頂(A點)離水面2公尺時,水面寬度(
長)為4公尺,如下圖所示,若水再下降1公尺,則水面寬度(
長)為幾公尺?
【課本練習題-例題】
解答
公尺
解析選定拋物線頂點A為原點,對稱軸為y軸,建立直角坐標系,由此可設拋物線方程式為x24cy,
因為C(2,2)在拋物線上,故得224c
(2),即4c2,
所以拋物線方程式為x22y。
y3代入x22y,得
,
則D、E兩點坐標分別為
、
,
所以水再下降1公尺後,水面寬度為
(公尺)。
16.如下圖,一條隧道頂部是拋物線型的拱形,拱高4公尺,寬度為8公尺,試求距離中心線2公尺處的拱高
是多少公尺?
【課本練習題-隨堂練習】
解答 3公尺
解析選定拋物線的頂點為坐標原點,
對稱軸為y軸,建立直角坐標系,
由此可得拋物線方程式為x24cy,
C、D點坐標分別為(4,4)及(4,4),
∵ D(4,4)在拋物線上,故得424c(4) 4c4,
即拋物線方程式為x24y,
x2代入x24y,得y1,
所以點A坐標為(2,1),又點B坐標為(2,4),
∴ 拱高
(公尺)。
17.試求滿足下列各條件的拋物線方程式:
(1)焦點為F(0,2),準線為L:
y2。
(2)焦點為F(1,0),準線為L:
x1。
【課本練習題-習題】
解答
(1)x28y;
(2)y24x
解析
(1)∵ 焦點F(0,2)在準線L:
y2的下方
拋物線開口向下,頂點為(0,0),c2,
由拋物線的標準式x24cy得知
所求拋物線方程式為x28y。
(2)∵ 焦點F(1,0)在準線L:
x1的右方
拋物線開口向右,頂點為(0,0),c1,
由拋物線的標準式y24cx得知
所求拋物線方程式為y24x。
18.試求拋物線y26x的焦點、準線及正焦弦長。
【課本練習題-習題】
解答 焦點
,準線
,正焦弦長6
解析y26x可以寫成
,
由拋物線的標準式得知
,圖形開口向右,
焦點F坐標為
,
準線L:
xc,即
,
正焦弦長4|c|6。
19.試求拋物線x216y的焦點、準線及正焦弦長。
【課本練習題-習題】
解答 焦點(0,4),準線y4,正焦弦長16
解析x216y可以寫成x24(4)y,
由拋物線的標準式得知c4,圖形開口向下,
焦點F坐標為(0,c)(0,4),
準線L:
yc,即L:
y4,
正焦弦長4|c|16。
20.試求頂點為V(1,2),準線為L:
x1的拋物線方程式。
【課本練習題-習題】
解答 (y2)28(x1)
解析∵ 頂點V(1,2)到準線L:
x1的距離為2,且頂點V在準線L的右方
拋物線開口向右,c2,焦點為F(3,2),
故拋物線方程式形如(yk)24c(xh),
∴ 所求方程式為(y2)28(x1)。
21.試求焦點為F(2,1),準線為L:
y3的拋物線方程式。
【課本練習題-習題】
解答 (x2)24(y2)
解析∵ 焦點F(2,1)在準線L:
y3的上方
拋物線開口向上,
又對稱軸過F(2,1)與L:
y3垂直相交於E(2,3),
頂點V為
的中點,坐標為(2,2),
∵
且拋物線開口向上 c1,
故拋物線方程式形如(xh)24c(yk),
∴ 所求方程式為(x2)24(y2)。
22.試求拋物線y28x4y120的頂點、準線及正焦弦長。
【課本練習題-習題】
解答 頂點(1,2),準線x1,正焦弦長8
解析將y28x4y120移項配方得y24y48x124,
故得(y2)242(x1),
所以頂點(h,k)(1,2),且c2,
準線為xhc,即x1,
正焦弦長4|c|8。
23.試求拋物線x22x4y70的頂點、焦點及對稱軸。
【課本練習題-習題】
解答 頂點(1,2),焦點(1,1),對稱軸x1
解析將x22x4y70移項配方得x22x14y71,
故得(x1)24
(1)(y2),
所以頂點(h,k)(1,2),且c1,
焦點為(h,kc)(1,1),
對稱軸為xh,即x1。
24.試求對稱軸平行y軸,且過點(1,0)、(0,3)、(3,0)的拋物線方程式。
【課本練習題-習題】
解答 yx22x3
解析∵ 拋物線對稱軸平行y軸,
故設拋物線方程式為yAx2BxC,
將(1,0)、(0,3)、(3,0)三點坐標分別代入得
,
將分別代入、得
AB3……,9A3B3……,
由、聯立解得A1、B2,
∴ 拋物線方程式為yx22x3。
25.設拋物線y24x10y110與y軸交於A、B兩點,則
?
【課本補充題】
解答 12
解析∵ A、B兩點為拋物線與y軸的交點
∴ 令x0代入拋物線方程式中得y210y110
(y1)(y11)0 y1或y11
故
26.在坐標平面上,到直線x0與點F(6,0)等距離之所有點所成圖形之方程式為何?
【課本補充題】
解答 y212(x3)
解析設動點(x,y)到x0之距離到點(6,0)之距離
x2x212x36y2
y212x36 y212(x3)
27.設P(a,b)為拋物線y28x上任一點,已知P點與A(2,0)的距離為3,則b?
【課本補充題】
解答
解析∵P(a,b)為拋物線y28x上一點∴b28a……
∵
∴
a24a4b29……
代入得a24a48a9
a24a50(a1)(a5)0a1或5(不合)
代入
28.拋物線y24x上之點到xy20之最小距離為何?
【課本補充題】
解答
解析令y2t代入y24x xt2
拋物線上任一點(t2,2t)到直線xy20之距離為
(當t1時)
29.分別求下列各拋物線的頂點、焦點、對稱軸、準線及正焦弦長。
(1)x26x8y250
(2)y24y4x160。
【課本補充題】
解答
(1)頂點:
(3,2),焦點:
(3,4),對稱軸:
x3,準線:
y0,正焦弦長:
8;
(2)頂點:
(3,2),焦點:
(4,2),對稱軸:
y2,準線:
x2,正焦弦長:
4
30.試討論拋物線(x2)22y3。
【課本補充題】
解答 拋物線開口向上,頂點:
,焦點:
(2,1),準線:
y2,軸:
x2,正焦弦長:
2
31.試討論拋物線(y2)28(x3)。
【課本補充題】
解答 拋物線開口向右,頂點:
(3,2),焦點:
(5,2),準線:
x1,軸:
y2,正焦弦長:
8
32.求合乎下列條件的拋物線方程式:
(1)準線方程式為y1,且焦點為(2,3)
(2)頂點為(3,2),焦點為(3,3)
(3)頂點為(2,2),軸平行於y軸,且拋物線過點(4,1)
(4)一拋物線通過(5,2),(2,4)二點,且其對稱軸為y2。
【課本補充題】
解答
(1)(x2)28(y1);
(2)(x3)24(y2);(3)(x2)212(y2);(4)(y2)24(x1)
解析
(1)準線y1,焦點(2,3)頂點(2,1),c2,開口向下
拋物線方程式為(x2)28(y1)
(2)頂點(3,2),焦點(3,3) 軸:
x3 x30
焦距c321,開口向上
正焦弦長4|c|4
此拋物線方程式為(x3)24(y2)
(3)頂點(2,2),軸平行y軸的拋物線方程式設為(x2)2k(y2)
由過點(4,1)代入 (42)2k(12) 363k
∴ k12
此拋物線方程式為(x2)212(y2)
(4)對稱軸y2 y20
設此拋物線為(y2)2axb
由過點(5,2)代入得(22)2a(5)b 5ab16……
由過點(2,4)代入得(42)2a
(2)b 2ab4……
得3a12 a4代入得8b4 ∴ b4
所求拋物線方程式為(y2)24x4
即(y2)24(x1)
33.已知一拋物線的軸平行x軸,且過
、(3,0)、(9,2)三點,試求此拋物線方程式。
【課本補充題】
解答
解析設拋物線方程式為xay2byc
∵ 拋物線過
、(3,0)、(9,2)三點
∴ 代入得
,解之得
故拋物線方程式為
34.已知一拋物線的軸平行y軸,且過(1,0)、(9,0)及(0,9)三點,試求此拋物線方程式。
【課本補充題】
解答 yx210x9
解析軸平行y軸的拋物線方程式設為yax2bxc
過點(1,0)代入 abc0
過點(9,0)代入 81a9bc0
過點(0,9)代入 c9
得8a80 ∴ a1代入得b10
所求拋物線方程式為yx210x9
35.分別求合乎下列各條件的拋物線方程式:
(1)若拋物線之準線方程式為x1,且焦點為(3,3)
(2)頂點為(3,2),焦點為(1,2)
(3)頂點為(2,3),軸平行於x軸,且拋物線過點(6,4)
(4)一拋物線通過(2,3)、(1,6)二點,且其對稱軸為x1
【課本補充題】
解答
(1)(y3)28(x1);
(2)(y2)28(x3);(3)(y3)2
(x2);(4)(x1)2y2
解析
(1)將已知條件在坐標平面上以簡圖標示出來
拋物線開口向右(c0)
頂點(1,3)
焦距為2 c2
故拋物線方程式為(y3)242(x1) (y3)28(x1)
(2)拋物線開口向左(c0)
焦距為2 c2
故拋物線方程式為(y2)24
(2)(x3) (y2)28(x3)
(3)∵ 軸平行x軸,且頂點為(2,3),
故設拋物線方程式為(y3)24c(x2)
∵ 拋物線過點(6,4)
∴ 代入得(43)24c(62)
故拋物線方程式為(y3)2
(x2)
(4)∵ 對稱軸為x1
∴ 設拋物線頂點為(1,k)
拋物線方程式為(x1)24c(yk)
∵ 過(2,3)、(1,6)兩點∴代入得
k2代入得
故拋物線方程式為(x1)2y2
36.已知拋物線y22x上動點P(x,y)至L:
xy20之最短距離為d,試求x、y、d之值?
【課本補充題】
解答
,y1時,
解析令P(2t2,2t),
,則P點至L:
xy20的最短距離為
∴ 當
時,即
,y1時,最短距離
37.求拋物線x22x8y150之頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。
【課本補充題】
解答 頂點:
(1,2),焦點:
(1,0),準線:
y40,對稱軸:
x10,正焦弦長:
8
解析x22x8y150 (x1)28y1512 (x1)28(y2)
軸:
x10,頂點(1,2),開口向下
正焦弦長8
4|c|8 ∴ c2
焦點(1,22)(1,0)
準線:
y22即y4
38.求滿足下列條件的拋物線方程式:
(1)頂點(2,1),焦點(2,4)
(2)焦點(4,3),準線為y軸。
【課本補充題】
解答
(1)(x2)212(y1);
(2)(y3)28(x2)
解析
(1)由題意知c3,頂點(2,1),開口向上
拋物線方程式:
(x2)243(y1)
(x2)212(y1)
(2)由題意知c2,頂點(2,3),開口向左
拋物線方程式:
(y3)24
(2)(x2)
(y3)28(x2)
39.求拋物
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