课外辅导极坐标与参数方程学生版精.docx
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课外辅导极坐标与参数方程学生版精
极坐标系与参数方程(教师版)
一、坐标系1.平面直角坐标系的建立:
在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。
2.空间直角坐标系的建立:
在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。
3.极坐标系的建立:
在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。
(其中O称为极点,射线OX称为极轴。
)①设M是平面上的任一点,ρ表示OM的长度,θ表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角。
那么有序数对
(,ρθ称为点M的极坐标。
其中ρθ
约定:
极点的极坐标是ρ=0,θ可以取任意角。
4.直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点,x轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为(x,y)和(,ρθ,则
x=
2ρ=y=tanθ=二、曲线的极坐标方程
1.直线的极坐标方程:
若直线过点00(,Mρθ,且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:
sin(sin(ρθ-α=ρθ-α
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点
(2)直线过点M(a,0且垂直于极轴(3)直线过(,2
Mbπ且平行于极轴图:
方程:
2.圆的极坐标方程:
若圆心为00(,Mρθ,半径为r的圆方程为:
2220002cos(0rρρρθθρ--+-=
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点
(2)当圆心位于(,0Mr(3)当圆心位于(,2
Mrπ
图:
方程:
3.直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化x=2ρ=
y=θ=三、参数方程
1.参数方程的意义
在平面直角坐标系中,若曲线C上的点(,Pxy满足(
(
xftyft=⎧⎨=⎩,该方程叫曲线C的参数方程,
变量t是参变数,简称参数2.参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程化为普通方程
常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
⑴cossinxaybϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
(ϕ为参数);⑵00(xxattyybt=+⎧⎨=+⎩为参数)
(3)2
sincosxyθθ=⎧⎨=⎩[0,2θπ∈(4)1
(21(
2axttbytt
⎧
=+⎪⎪⎨⎪
=
-⎪⎩(t为参数)(5)cossinxarybrϕ
ϕ
=+⎧⎨
=+⎩(ϕ为参数)
常见化普通方程为参数方程,
1、圆222((xaybr-+-=的参数方程。
2、经过点P00(xyθ,倾斜角为的参数方程。
3、椭圆22
221(0xyabab+=>>的参数方程。
4、抛物线2
2(0ypxp=>
普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一样。
二、考点阐述
考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中,求两点4
2(,4,2(π
π
-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
练习
1.1、已知曲线12CC,的极坐标方程分别为cos3
ρθ=
,π4cos002
ρθρθ⎛⎫
=<⎪⎝
⎭
,≥≤,则曲线1C与2C交点的极坐标为.
1.2.(宁夏09)已知圆C
:
22(1(1xy++=,则圆心C的极坐标为_______(0,02ρθπ>≤<
练习1.2(2009丹东)
(1)已知点c极坐标为(2,3
π
,求出以C为圆心,半径r=2的圆的极
坐标方程(写出解题过程);
(2)P是以原点为圆心,r=2的圆上的任意一点,Q(6,0,M是PQ中点,当点P在圆
上运动时,求点M的轨迹的参数方程。
考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、福建省龙岩市2009年
已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴
为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l
的参数方程是2(42
xty⎧=
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数),点P是曲线C上的动点,点Q是直线l上的动点,求|PQ|的最小值.
练习2.1、(沈阳二中2009)设过原点O的直线与圆C:
22(11xy-+=的一个交点为P,点M为线段OP的中点。
(1求圆C的极坐标方程;
(2求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
练习2.2
考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3:
(2009学年海南省)已知曲线1C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θ
sincos2yx(θ为参数),
曲线2C的极坐标方程为θθρsin6cos2+=.
(1)将曲线1C的参数方程化为普通方程,将曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)曲线1C,2C是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.
练习3.1(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程.
已知曲线C:
θ⎩
⎨
⎧θ+=θ
+=(sin21cos2yx为参数,0≤θ<2π,(Ⅰ)将曲线化为普通方程;
(Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.
练习3.2(08海南)已知曲线C1:
cos(sinxyθθθ=⎧⎨=⎩为参数,曲线C2
:
(xty⎧=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
为参数。
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线1'C,2'C。
写出
1'C,2'C的参数方程。
1'C与2'C公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?
说明你的理由。
考点4:
利用参数方程求求值域例题4、(2008年宁夏)
在曲线1C:
⎩⎨
⎧=+=)yx为参数θθ
θ
(sincos1上求一点,使它到直线2C
:
12
(112
xttyt⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。
练习4.1
(09厦门)在平面直角坐标系xOy中,动圆2228cos6sin7cos80xyxyθθθ+--++=的圆心为(,Pxy,求2xy-的取值范围..
你的习惯决定你的一生千秋练习4.2.(宁夏09)(本小题满分10分)3x=−5t+2已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,设直线L的参数方程是,(t为4y=t5参数).(Ⅰ)将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)设直线L与x轴的交点是M,N曲线C上一动点,求MN的最大值.考点5:
直线参数方程中的参数的几何意义例题5:
2009年泉州已知直线l经过点P(1,1,倾斜角α=①写出直线l的参数方程;②设l与圆x2+y2=4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.π6,练习5.1抚顺一中20094x=1+5tπ求直线(t为参数)被曲线ρ=2cos(θ+所截的弦长.4y=−1−3t5-6-请保持良好的学习习惯
你的习惯决定你的一生千秋练习5.2大连市2009已知直线l是过点P(−1,2,倾斜角为π的直线.圆方程ρ=2cos(θ+(I)求直线l的参数方程;(II)设直线l与圆相交于M、N两点,求|PM|·|PN|的值。
一、选择题23π3.x=1+2t(t为参数,则直线的斜率为()y=2−3t2233A.B.−C.D.−3322x=sin2θ2.下列在曲线(θ为参数上的点是()y=cosθ+sinθ131B.(−,C.(2,3D.(1,3A.(,−2242x=2+sin2θ)3.将参数方程(θ为参数化为普通方程为(2y=sinθA.y=x−2B.y=x+2C.y=x−2(2≤x≤3D.y=x+2(0≤y≤124.化极坐标方程ρcosθ−ρ=0为直角坐标方程为()1.若直线的参数方程为A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1)D.y=15.点M的直角坐标是(−1,3,则点M的极坐标为(A.(2,π336.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为(A.一条射线和一个圆B.两条直线7.圆ρ=5cosθ−53sinθ的圆心坐标是(A.(−5,−B.(2,−πC.(2,2π3D.(2,2kπ+π3,(k∈ZD.一个圆)C.一条直线和一个圆)D.(−5,4π3B.(−5,π3C.(5,π35π3二、填空题x=3+4t8.直线(t为参数的斜率为______________________。
y=4−5tx=et+e−t9.参数方程(t为参数的普通方程为__________________。
t−ty=2(e−e10.已知直线l1:
x=1+3t(t为参数与直线l2:
2x−4y=5相交于点B,又点A(1,2,y=2−4t则AB=_______________。
11.直线1t被圆x22(t为参数y=−1+1t2x=2−+y2=4截得的弦长为______________。
12.直线xcosα+ysinα=0的极坐标方程为____________________。
请保持良好的学习习惯-7-
你的习惯决定你的一生千秋13.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为_____________。
三、解答题1.已知点P(x,y是圆x2+y2=2y上的动点,
(1)求2x+y的取值范围;
(2)若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围。
2.求直线l1:
x=1+t(t为参数和直线l2:
x−y−23=0的交点P的坐标,及点Py=−5+3t与Q(1,−5的距离。
3.在椭圆x2y2+=1上找一点,使这一点到直线x−2y−12=0的距离的最小值。
16124、(宁夏09)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=12,点F1,F2为其左,右3cosθ+4sin2θ22tx=2+2(t为参数,t∈R焦点,直线l的参数方程为.y=2t2
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)求点F1,F2到直线l的距离之和.-8-请保持良好的学习习惯
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