高三数学第一轮复习讲义58121.docx
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高三数学第一轮复习讲义58121
高三数学第一轮复习讲义(58)2004.12.1
高三数学第一轮复习讲义(8)
直线和平面平行及平面与平面平行
一.复习目标:
1.了解直线和平面的位置关系;掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.
2.了解平面和平面的位置关系;掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理.
二.前预习:
1.已知直线、和平面,那么的一个必要不充分的条是()
,,
且、与成等角
2.、表示平面,、表示直线,则的一个充分条是()
,且,且
,且,且
3已知平面平面,是外一点,过点的直线与分别交于点,过点的直线与分别交于点,且,,,则的长为()
或
4.空间四边形的两条对角线,,则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是.答案:
(8,12)
三.例题分析:
例1.正方体ABD—A1B11D1中.
(1)求证:
平面A1BD∥平面B1D1;
(2)若E、F分别是AA1,1的中点,求证:
平面EB1D1∥平面FBD.
A1
A
B1
B
1
D1
D
G
E
F
证明:
(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD,
又BD&Eul;平面B1D1,B1D1平面B1D1,
∴BD∥平面B1D1.
同理A1D∥平面B1D1.
而A1D∩BD=D,
∴平面A1BD∥平面B1D.
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.
取BB1中点G,∴AE∥B1G.
从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.
∴AG∥DF.
∴B1E∥DF.
∴DF∥平面EB1D1.
∴平面EB1D1∥平面FBD.
说明要证“面面平面”只要证“线面平面”,要证“线面平行”,只要证“线线平面”,故问题最终转化为证线与线的平行.
小结:
例2.如图,已知、N、P、Q分别是空间四边形ABD的边AB、B、D、DA的中点.
B
A
D
P
N
Q
求证:
(1)线段P和NQ相交且互相平分;
(2)A∥平面NP,BD∥平面NP.
证明:
(1)∵、N是AB、B的中点,∴N∥A,N=A.
∵P、Q是D、DA的中点,∴PQ∥A,PQ=A.
∴N∥QP,N=QP,NPQ是平行四边形.
∴□NPQ的对角线P、NQ相交且互相平分.
(2)由
(1),A∥N.记平面NP(即平面NPQ)为α.显然A&Eul;α.
否则,若AÌα,
由A∈α,∈α,得B∈α;
由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、、D∈α,
与已知四边形ABD是空间四边形矛盾.
又∵NÌα,∴A∥α,
又A&Eul;α,∴A∥α,即A∥平面NP.
同理可证BD∥平面NP.
小结:
例3.已知正四棱锥的底面边长为,侧棱长为,点分别在和上,并且,平面,求线段的长.
解:
延长交延长线于点,连,可证得,由与相似及已知求得.在等腰中,求出,又在中,由于余弦定理求得.
∵,∴,∴.
小结:
四.后作业:
班级学号姓名
1.设线段是夹在两平行平面间的两异面线段,点,,若分别为的中点,则有()
2.是两个不重合平面,是两条不重合直线,那么的一个充分条是()
,,且,,,且
,,且,,且
3.在正四棱柱中,分别为棱、、、的中点,是的中点,点在四边形及其内部运动,则满足条
时,有平面.(点在线段上)
4.在长方体中,经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点,则四边形的形状为.(平行四边形)
A
B
D
B1
1
D1
1
1
α
1
A1
B2
A2
2
D2
2
2
2
2
β
.如图,A,B,,D四点都在平面a,b外,它们在a内的射影A1,B1,1,D1是平行四边形的四个顶点,在b内的射影A2,B2,2,D2在一条直线上,求证:
ABD是平行四边形.
证明:
∵A,B,,D四点在b内的射影A2,B2,2,D2
在一条直线上,
∴A,B,,D四点共面.
又A,B,,D四点在a内的射影A1,B1,1,D1是平行四边形的四个顶点,
∴平面ABB1A1∥平面DD11.
∴AB,D是平面ABD与平面ABB1A1,平面DD11的交线.
∴AB∥D.
同理AD∥B.
∴四边形ABD是平行四边形.
6.若一直线与一个平面平行,则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内.
解:
如图,设,,.由,
∴它们确定一个平面,设,可证,
在平面内,过点存在,,
∴与重合,即.
7.点是所在平面外一点,分别是、、的重心,求证:
(1)平面平面;
(2)求.
证明:
(1)如图,分别取的中点,
连结,
∵分别是、、的重心,
∴分别在上,
且.
在中,,故,
又为的边的中点,,
∴,∴平面,同理平面
∴平面平面.
(2)由
(1)知,,
∴.
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