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程序课程设计报告B样条
程序课程设计报告
2012年7月10日
B样条方法与十二生肖图的设计专业:
信息与计算科学
班级:
信10-1
题目:
B样条方法与十二生肖图的设计
组长:
马金松
组员:
马浩辰薛俊杰
指导教师:
张彩霞
时间:
2012.07.10
摘要:
我们研究的课题是B样条方法与十二生肖图的设计,因为感觉这个课题比较贴近实际情况,而且此类问题使我们从未接触过的,希望能从这次时间学习中学到更多的matlab以及VC应用知识。
在数学的子学科数值分析里,B-样条是样条曲线一种特殊的表示形式。
它是B-样条基曲线的线性组合。
B-样条是贝兹曲线的一种一般化,可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS),使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。
术语B样条是IsaacJacobSchoenberg创造的,是基(basis)样条的缩略 B样条曲线曲面具有几何不变性、凸包性、保凸性、变差减小性、局部支撑性等许多优良性质,是目前CAD系统常用的几何表示方法,因而基于测量数据的参数化和B样条曲面重建是反求工程的研究热点和关键技术之一。
Abstract:
关键词:
B-样条基曲线贝兹曲线B样条分段混合函数
Keywords:
1.引言
因为我们的选题是《B样条方法与十二生肖图的设计》,它的实际意义在于利用所学过的数学工具,根据B样条函数的原理。
利用一系列曲线绘制出想要的图案。
B样条函数的性质
许多与贝塞尔基函数的相似。
1Ni,p(u)是一个在u上的p次多项式
2非负性--对所有的i,p和u,Ni,p(u)是非负的
3局部支撑(LocalSupport)--Ni,p(u)是在[ui,ui+p+1)上的非零多项式这个在前面已经讨论过。
4在任一区间[ui,ui+1),最多有p+1个p次的基函数非零,即:
Ni-p,p(u),Ni-p+1,p(u),Ni-p+2,p(u),...,和Ni,p(u)
5单位分解(PartitionofUnity)--所有非零的p次基函数在区间[ui,ui+1)上的和(sum)是1:
上一条性质表明Ni-p,p(u),Ni-p+1,p(u),Ni-p+2,p(u),...,和Ni,p(u)在[ui,ui+1)上非零这条性质说明这些p+1个基函数的累加和1.
6如果节点数是m+1,基函数的次数是p,而p次基函数的数目是n+1,,那么m=n+p+1:
这不难理解。
设Nn,p(u)是最后一个p次基函数。
它在[un,un+p+1)上非零因为它是最后一个基函数,un+p+1肯定是最后一个节点um。
因此,我们有un+p+1=um及n+p+1=m.总之,给定m和p,设n=m-p-1则p次基函数是N0,p(u),N1,p(u),N2,p(u),...,和Nn,p(u).
7基函数Ni,p(u)是p次多项式的复合曲线,连接点在[ui,ui+p+1)上的节点处。
上一页的例子很好地说明了这个性质。
例如N0,2(u),其在[0,3)上非零,是由定义在[0,1),[1,2)和[2,3)上的三个抛物线构建而成。
它们在节点2和3处连接在一起。
.
8在一个有重复度k的节点处,基函数Ni,p(u)是Cp-k连续的。
因此,增加重复度减小连续性的层次(level),增加次数增加连续性。
上述2次基函数N0,2(u)在节点2和3处是C1连续的,因为它们是简单节点。
比较三次B样条曲线与三次Bezier曲线的特性
B样条方法是在保留Bezier方法的优点,同时克服其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点,及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的。
常用的cad设计中之所以选用3次B样条而不用更高次是因为次数越高,控制点影响的曲线段数就越多,不利于局部控制;而三次Bezier曲线意味着必须有4个控制顶点。
他们的区别主要有以下4点:
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1。
B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关;2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数,它是个多项式函数。
B样条曲线的基函数是多项式样条。
3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。
B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。
4、Bezier曲线缺乏局部性质,即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响。
B样条曲线具有性质,即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响。
基于B样条曲线是分段的Bézier曲线段的集合这一数学特性,通过剖析三次均匀B样条曲线的数学表达及其几何意义,由曲线的几何特性给出了各曲线段Bézier点的几何表示.每段B样条曲线段(三次Bézier曲线段)对应的4个Bézier特征顶点,可以导出该曲线段的B样条基函数.依此为基础,描述了三次均匀B样条曲线构造的原理和过程,并给出了不同曲线段数情况下曲线特征构造和插值构造的相关公式.
针对本次课题,我们先选出需要绘制的生肖图案,根据需要计算出所需函数,最后再利用matlab工具绘制。
2.课题中涉及的算法的基本思想或基本原理
B样条曲线的数学表达式为:
在上式中,0≤t≤1;i=0,1,2,…,m
所以可以看出:
B样条曲线是分段定义的。
如果给定m+n+1个顶点Pi(i=0,1,2,…,m+n),则可定义m+1段n次的参数曲线。
在以上表达式中:
Fk,n(t)为n次B样条基函数,也称B样条分段混合函数。
其表达式为:
式中:
0≤t≤1k=0,1,2,…,n。
连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。
依次用线段连接点Pi+k(k=0,1,…,n)所组成的多边折线称为B样条曲线在第i段的B特征多边形。
在二次B样条曲线中,n=2,k=0,1,2
故其基函数形式为:
有了基函数,因此可写出二次B样条曲线的分段表达式为:
(i=0,1,2,…,m) m+1段
写成一般的矩阵形式为:
式中,Bk为分段曲线的B特征多边形的顶点:
B0,B1,B2。
对于第i段曲线的Bk即为:
Pi,Pi+1,Pi+2连续的三个顶点。
(见下图)
3.算法实现步骤及真实图像实验结果
首先我们绘制出了想要的结果的草图,然后根据草图,定义出控制顶点,(因为b样条曲线就是根据控制顶点,控制多边形来绘制图形。
)
从而绘制出控制多边形,然后根据b养条曲线的定义,编辑出代码,将代码输入进matlab软件中,绘制出想要的结果。
4.结论:
(本课题研究了什么,有什么意义,如何做的,掌握了什么知识,提高了。
。
。
水平等等)
本次课题研究的是b样条曲线以及利用它绘制出十二生肖图案。
我们选择绘制“狗”的图案。
经过两周的努力我们成功完成任务。
在这两周的学习中,我们认识到了b样条曲线在实际应用中的重要地位,也通过这次学习再一次深刻的了解到数学软件的重要性。
我们在图书馆查阅资料,在网上搜集不明白的问题。
最终章掌握了b样条曲线的实际意义,提高了数学水平,也提高了数学软件的应用能力。
真可谓受益匪浅。
参考文献(5-8篇)
XX文库
数字图像处理及MATLAB实现杨杰主编电子工业出版社
计算机图形学孙立镌主编哈尔滨工业大学出版社
VisualC++实践与提高----数学图像处理与工程应用篇中国铁道出版社
附录:
a=[11.59.57.55758.5975;13.51414.510.58.53.50.581114];
fori=1:
7;
foru=0:
0.001:
1;
b0=1.0./6.*(1-u).^3;
b1=1.0./6.*(3.*u.^3-6.*u.^2+4);
b2=1.0./6.*(-3.*u.^3+3.*u.^2+3.*u+1);
b3=1.0./6.*u.^3;
x=b0.*a(1,i)+b1.*a(1,i+1)+b2.*a(1,i+2)+b3.*a(1,i+3);
y=b0.*a(2,i)+b1.*a(2,i+1)+b2.*a(2,i+2)+b3.*a(2,i+3);
line(x,y);
end
end
>>holdon
a=[8.456.13.75154.756.7553.25;6.7577.25320.513.56];
fori=1:
6;
>>holdon
a=[7.28.29.210.210.7111210.29.27.6;14131315.51715.5161211.711.4];
>>holdon
a=[8.49.2101112;12.611.81111.812.6];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[11.31110.711.411.912.611.713.211.69.610.110.29.18.47.7;13.711.89.98.58.565.222.77.22.7223.55];
fori=1:
12;
>>holdon
a=[4.555.56.26.9;43.5333];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[456.27.56.24.9;5.53.51.51.534.5];
fori=1:
3;
>>holdon
a=[5.542.52.52.5;9.28.27.25.14.0];
fori=1:
2;
>>holdon
a=[9.28.78.27.98.28.58.8;12.412.412.411.811.811.912];
fori=1:
4;
>>holdon
a=[8.958.78.458.38.15;12.412.412.41211.6];
fori=1:
2;
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