数学论文 证明三角形内角和等于180度.docx
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数学论文证明三角形内角和等于180度
证明:
三角形内角和等于180°
在几何证明中,“三角形内角和等于180°”这个定义十分常用,但这个定义的得出原因值得探讨。
我们可以随意作一个三角形,为△ABC
方法一:
可以添加一条平行线,得到相等的同位角和内错角,然后进行等量代换。
证明:
如图①,延长BC到D,再过点C作AB∥CD
∵AB∥CD(已知)
∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等)
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等)
∵∠ACB+∠ECD+∠ACE=180°(平角为180°)
∴∠ACB+∠B+∠A=180°(等量代换)
方法二:
证明:
如图②,过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∠EAB=∠ABC
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°(平角为180°)
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换)
方法三:
证明:
如图③,过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠C=∠DAC(两直线平行,内错角相等)
∠DAB+∠B=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB
∴∠DAC+∠CAB+∠B=180°
∵∠C=∠DAC
∴∠C+∠CAB+∠B=180°
方法四:
如图④,过A点作DE∥BC,延长BA、CA交DE于A点
∵DE∥BC
∴∠C=∠FAD
∠B=∠GAE(两直线平行,同位角相等)
∵D,A,E三点共线
∴∠DAE=180°
∵∠DAE=∠DAF+∠FAG+∠GAE
∴∠DAF+∠FAG+∠GAE=180°
∵∠GAF=∠BAC(对顶角相等)
∴∠BAC+∠C+∠B=180°
方法五:
如图⑤,作直线DE∥AC,FE∥AB交BC于E
E
∵DE∥AC
∴∠AFE+∠DEF=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∠C=∠DEB(两直线平行,同位角相等)
∵FE∥AB
∴∠AFE+∠A=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∠B=∠FEC(两直线平行,同位角相等)
∴∠A=∠DEF
∵B,C,E三点共线
∴∠BEC=180°
∵∠BEC=∠DEB+∠DEF+∠FEC
∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180°
∴∠A+∠C+∠B=180°
方法六:
证明:
如图⑥,作DE∥AC,FG∥AB,MN∥BC,都交于点O
∵DE∥AC
∴∠AFO+∠FOD=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∵FG∥AB
∴∠AFO+∠A=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠A=∠FOD
∵MN∥BC
∴∠C=∠FNO(两直线平行,同位角相等)
∵DE∥AC
∴∠FNO=∠DOM(两直线平行,同位角相等)
∴∠C=∠DOM
∵MN∥BC
∴∠B=∠DMO(两直线平行,同位角相等)
∵FG∥AB
∴∠DMO=∠FON(两直线平行,同位角相等)
∴∠B=∠FNO
∵M,O,N三点共线
∴∠MON=180°
∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON
∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°
方法七:
证明:
如图⑦,作DE∥AC,FG∥AB,MN∥BC,都交于点O
延长AC交FG于点K,延长AB到点L,延长BC交FG于点P
∵ MN∥BC
∴∠ABC=∠AHN
∠ACB=∠ANM(两直线平行,同位角相等)
∵ AB∥FG
∴∠AHN=∠FON
∠BAC=∠AKO (两直线平行,同位角相等)
∴∠ABC=∠FON
∵ DE∥AC
∴∠ANM=∠DOM (两直线平行,同位角相等)
∠OKA=∠DOF (两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠DOM
∵ FG∥AB
∴∠BAC=∠OKA(两直线平行,同位角相等)
∴∠BAC=∠DOF
∵ M,O,N三点共线
∴∠MON=180°
∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON
∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180°
∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°
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