山东省届高三下学期第二次模拟考试数学.docx
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山东省届高三下学期第二次模拟考试数学
山东省2021届高三下学期第二次模拟考试
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选岀答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分・在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A=[(x,y)\x+y=&x,ywN・},3={(x,y)卜>x+1},则中元素的个数为
3.已知直线加,",平而a,0,=m//a.加丄舁,那么“加丄0丄0"的()
D.4
6・已知函数・f(x)的定义域为R,且/(j)+/(-x)=6,当x>0时,/(x)=-x-2x+3t若f(3m-5)<0.则实数加的取值范围为()
7.在®C中,点M是初的中点,顽=|疋线段CM与BN交于点0,动点P在MOC
内部活动(不含边界),^AP=AAB+JL1AN,其中;I、"WR,则几+“的取值范围是()
&我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:
’'今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?
”根据这一数学思想,所有被3除余2的正整数从小到大组成数列{©},所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{$},把数{©}与{$}的公共项从小到大得到数列{-},则下列说法正确的是()
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.以下四个命题表述正确的是()
A.直线(3+加)x+4y-3+3〃7=O(〃7wR)恒过定点(-3,-3)
B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线/:
x-y+>/2=0的距离都等于1
C.曲线C,:
x2+y2+2x=0与曲线C2:
x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=4
D.已知圆C:
x2+/=4,点P为直线-+y=l上一动点,过点P向圆C引两条切线门4、PB,
A.B为切点,则直线A3经过左点(1,2)
10.在A4BC中,下列说法正确的是()
A.若A>B•贝'JsinA>sinB
B.存在/XABC满足cosA+cosB<0
C.若sinA D・若C>—>则sinC>sin2A+sin2B 2 11・在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标 志为"连续10天,每天新增疑似病例不超过7人二过去100,A、B、C、D四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合没有发生大规模群体感染标志的是() A.A地: 中位数为2,极差为5B.B地: 总体平均数为2,众数为2 C.C地: 总体平均数为1,总体方差大于0D・D地: 总体平均数为2,总体方差为3 ,若KV花且/(丙)=/(勺)=/(*3)=/("), 则下列结论正确的是() 第II卷 三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.已知双曲线C: —-22=1的左、右焦点分别为片,耳,点M(4,3),则Z斥的角平分线 3 所在直线的斜率为. 14.对于三次函数/(x)=or'+Z? F+cx+d(dH0),给出定义: 设广(x)是函数y=f(x)的导数, 厂(x)是广(x)的导数,若方程厂(x)=0有实数解兀,则称点(x°J(Xo))为函数y=门列的“拐点“.某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点";任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点“就是对称中心.若/(尤)=丄+一丄疋+3尤一斗,贝ij函数/(刃的对称中心为, 3212 2018 15.函数/(X)=cos2x-V? sin2x,xwR,有下列命题: 1y=fM的表达式可改写为y=2cos2x+£ $ 2直线X=是函数/(X)图象的一条对称轴: 3函数/(X)的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移2个单位长度得到: 6 4满足f(x)<>/3的X的取值范囤是<兀一咅+后5尤5手+匕,£丘乙]. 其中正确的命题序号是•(注: 把你认为正确的命题序号都填上) 16.在棱长为4迈的正四而体A-BCD中,点EF分别为直线AB.CD上的动点,点P为EF中 点,0为正四而体中心(满足S=QB=QC=QD),若PQ=^2,则EF长度为• 四、解答题: 本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)/XABC的内角的对边分别为a,btc.sin2B-sin2A-sin2C=sinAsinC. (1)求3: (2)若b=3,当MBC的周长最大时,求它的而积. 18.(12分)如图,三棱柱ABC—A&C中,A3丄侧面BBQC,已知BC=1, AB=C}C=29点E是棱CC的中点. (1)求证: BC丄平而ABC,. (2)求二而角4一色£一人的余弦值. 19.(12分)魔方,又叫鲁比克方块,最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议,而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方,即指三阶魔方,为3x3x3的正方体结构,由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱,然后在最短的时间内复原.截至2020年,三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录,单次3.475秒. (1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练,每天魔方还原的平均速度)'(秒)与训练天数尤(天)有关,经统计得到如下数据: X(天) 1 2 3 4 5 6 7 y(秒) 99 99 45 32 30 24 21 现用y=a+-作为回归方程类型,请利用表中数据,求岀该回归方程,并预测该魔方爱好者经过长x 期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1)? 1 参考数摇(其中乙=一) 7 Z 7 184.5 0.37 0.55 参考公式: 对于一组数据(WpV,),(m2,v2),(叫巴),其回归直线V=a+pu的斜率和截距的最小二乘估 n 计公式分别为: B=,a=v-pu・ i-i (2)现有一个复原好的三阶魔方,白而朝上,只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规立将魔方随机扭动两次,每次均顺时针转动90。 ,记顶面白色色块的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X). 22 20.(12分)已知椭圆C: 二+二=1(“>方>0)的上、下顶点分别为AB,P为直线y=2±的动 a~b~ 点,当点P位于点(1,2)时,△4BP的而积S^BpT,椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点片的最 短距离为72-1- (1)求椭圆C的方程; (2)连接PA,PB,直线分别交椭圆于(异于点A,B)两点,证明: 直线过泄点. 21.(12分)已知正三角形ABC,某同学从A点开始,用擦骰子的方法移动棋子,规怎: ①每掷一次骰子,把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点: ②棋子移动的方向由掷骰子决泄,若掷岀骰子的点数大于3,则按逆时针方向移动: 若掷出骰子的点数不大于3,则按顺时针方向移动.设掷骰子〃次时,棋子移动到A,B,C处的概率分别为: Pn(A),E(B),此(C),例如: 掷骰子一次时,棋子移动到A,B,C处的概率分别为人(A)=0,£(B)=丄,A(C)=*. 22 (1)掷骰子三次时,求棋子分别移动到A,B,C处的概率呂(A),呂(B),A(C): (2)记P“(A)=a“,E(B)=b”,出(C)=c”,其中®+4+c“=l,b”=c”,求绻. 22.(12分)已知函数/(■¥)=*"-(a+l)x+dinx. (1)当d>0时,求函数f(x)的单调区间: (2)设函数g(x)=ex-(a+2)x+2a\nx-\-2f(x)t若g(x)在[1,2]内有且仅有一个零点,求实数。 的取值范围. 数学参考答案 第I卷 一、单项选择题: 本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】依题意A={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)}, 其中满足y>x+l的有(1,7),(2,6),(3,5), 所以4门8={(1,7),(2,6),(3,5)},有3个元素,故选B. 2.【答案】B 【解析】(l+i)°=(l+i)'(l+i)=2i(l+i)=_2+2i,故选B. 3.【答案】C 【解析】若血丄0,过直线川作平面交平面a于直线〃 设目标函数Z=—=1±1,则二表示平而区域内一动点到定点M(O,-1)连线的斜率, xx-0x-0 结合图象可得,取点A时,能使得Z取得最大值,又由]1 y=——x+2U2 「? +1 所以一的最大值为一=4,故选D. x2一0 3 5.【答案】B 【解析】分两步: 首先从4人中选1人去巴黎游览,共有C;=4种,其次从剩余5人中选3人到英它三个城市游览,共有A;=60种, 共有C: A;=240种,故选B. 6.【答案】B 【解析】令x<0,则一x>0,/(—x)=—F+2X+3, 因为/(x)+/(—x)=6'所以/(X)—+2x+3=6,/(x)=x~—2x+3,即当xvO时,f(x)=x2-2x+3, 取x=0,则/(O)+/(O)=6,/(0)=3, 当;rvO时,/(x)=x2-2a+3=(x-1)2+2,此时f(x)<0无解: 当x=0时,/(0)=3,此时/(x)<0无解: 当x>0时,/(x)=-? -2x+3=-(j+1)2+4,若/(^)<0,则一(x+1)2+4<0,解得J>1,故/(3w-5)<0,即3m-5>l,解得m>2,实数加的取值范围为[2,申),故选B. 7.【答案】D 【解析】如图所示,连接3P并延长交4C于点G, 设NG=mAN>~PG=nBG^则°<加<£,0? <1, AG=(m+\)AN9 AP=AG+GP=(777+1)AN+nGB=(〃? +1)AN+n(AB-AG)=(加+1)AJV+nAB-fiAG=(in+\)AN+nAB—n( /.2+//=a? 7+1-/hh=/w(1-/i)+1, •/0 <1,贝ij0 n(l-77)<—, 22 z33 即1<加(1一〃)+1V牙,即1V/l+“V牙, 3)因此,几+“的取值范用是v-y故选d. 8.【答案】c 【解析】根据题意数列{%}是首项为2,公差为3的等差数列,%=2+3(〃_1)=3”_1; 数列{$}是首项为2,公差为5的等差数列,4=2+5("-1)=5”一3; 数列{d讣与{$}的公共项从小到大得到数列{c”},故数列{c”}是首项为2,公差为15的等差数列, 5=2+15(/? —1)=15〃一13. 对于A,q+〃2=2+2x5-3=9,c2=15x2-13=17,ax+b2^c2,错误; 对于BtQ—a=5x8—3—3x2+1=32,q=15x4—13=47,bs-a1c4,错误: 对于C,br=5x22-3=107,c8=15x8-13=107,,正确; 对于D,a6b2=(3x6-l)x(5x2-3)=119,q=15x9-13=122,a6b2c9,错误, 故选C・二、多项选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分・在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解析】对于选项A: 由(3+〃7)x+4y-3+3〃7=O(〃7wR) 可得加(/+3)+3兀+4,一3=0, x+3=0x=-3/、 由[3v+4y_3=o,可得]v=3'所以直线恒过定点(一3,3)‘故选项A不正确: 对于选项B: 圆心(0,0)到直线l+迈=0的距离等于1,圆的半径厂=2, 平行于/: x-y+V2=0且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切, 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1,故选项B正确; 对于选项C: 由G••疋+),2+2尤=0,可得(x+l)2+/=l.圆心G(—l,0),厶=1, 由C2: x2+.y2-4.r-8.y+w=0,可得(x—2『+(y—4『=20—加>0, 圆心Cj(2,4),r2=J20-, 由题意可得两圆相外切,所以|C|C2|=t]+5, 即J(_i_2『+42=]+V^77,解得加=4,故选项C正确; 对于选项D: 设点P坐标为(加,〃),所以斗+£=1,即加+2“=4, 因为PA、分别为过点P所作的圆的两条切线,所以C4丄PA,CB丄PB, 所以点A,B(£以OP为直径的圆上,以OP为直径的圆的方程为 整理可得X2+y2-曲•一与=0,与已知圆C: F+y2=4相减可得HTX+HV=4, 消去加,可得(4一2n)x+ny=4,即n(y-2x)+4x-4=0f 所以直线A3经过左点(1,2),故选项D正确, 故选BCD・ 10.【答案】ACD 【解析】对于A选项,若a>B.则a>b9则2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB, 故A选项正确: 对于B选项,由A+B 于是cosA>-cos即cosA+cosB>0,故B选项错误: 对于C选项,由sinA 此时: 若°C勞则尹>3,则+弓于是C>》若A>-9则cosA-— 22)2 于是A>-+B.故C选项正确: 2 对于D选项,由C>-,则A+B<-9则0vAvZ—BvZ,y=sinx在|0,,递增, 2222I2丿 即0 此时,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB>sinA•sinA+sinB•sinB =sin2A+sin2B, 所以D选项正确, 故选ACD. H.【答案】AD 【解析】对A,因为A地中位数为2,极差为5,故最大值不会大于2+5=7.故A正确; 对B,若B地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足总体平均数为2,众数为2,但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故B错误: 对C,若C地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足总体平均数为1,总体方差大于0, 但不满足每天新增疑似病例不超过7人,故C错误: 对D,利用反证法,若至少有一天疑似病例超过7人,贝I]方差大于—x(8-2)~=3.6>3, 与题设矛盾,故连续10天,每天新增疑似病例不超过7人,故D正确, 故选AD. 12.【答案】BCD 【解析】由/(Q函数解析式可得图象如下: •••由图知: 為+兀=一2,-2 而f(X3)=f(X4),知Hog2兀1=1log? X4\: log.X3+log.X4=0, : .x3x4=1,x}x2x3x4=xrv2=-(X,+1)2+1e(0,1), 故选BCD. 第II卷 三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.【答案】1 【解析】由题意知,C的半焦距c=眉,许(—厲,0),&(“,0), +32=2打一2. 4+77)「+32=2+2“,=』4_用 设竹的角平分线与x轴交于N(x,0), 【解析】因为/(0=丄疋一丄F+3x—斗,所以ff(x)=x2-x+3,厂(x)=2x—l,3212 由厂(x)=0,即2x—1=0,解得x=-, 2 故答案为2018. 15.【答案】®@ 【解析】•••/(X)=cos2x->/3sin2x=2cos(2x+—),故①.正确: 当x=^时,),=/(春)=2cos|=0,故②错误: 因为函数y=2sin2x的图象向右平移兰个单位长度得到y=2sin2(x-—=2sin(2x-©, 663 而2sin(2x-—)2cos(2x+—),故③错误: 由/(%)<>/3可得2cos(2x+£)<>/3,解得cos(2x+-)< TTJT117TTT3tT 所以—+2kii<2x+—<—+2kji、keZ,WW-—+lai 故④正确, 故答案为①④. 16.【答案】2>/6 【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中,则AB丄CD,。 为正方体的中心,设M,N分别是AB,CD的中点,则0是MN的中点,MN丄AB,MN丄CD,连接EN,设EN的中点为S,连接QS、SP、PQ, 因为QS是ZW/E的中位线,所以QS//MEtQS=-ME9 2 同理SP//NF,SP=、NF, 2 因为AB丄CD.所以A/E丄NF.所以0S丄SP,即ZQSP=90。 , 则QS2+SP2=t(ME2+NF? )=PQ》=2,所以ME2+7VF2=8, 因为MN丄ME,所以NE2=MN2+ME2=\6+ME2> 因为NF丄ME,NF,MNp|ME=M,所以NF丄平而MNE,所以NF丄NE, 在RtZXNEF中,EF=JnF'+NE2=JnF+加+16=2“, 故答案为2>/6. 四、解答题: 本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解析】⑴由正弦定理得…占二丐 vBg(O,71) <2)由余弦左理得=a2+c2-2ciccosB=(6/+c)'-lac+ac=(a+c)^-ac=9, 18.【答案】 (1)证明见解析; (2)班. 5 【解析】 (1)证明: vZBCC=-fBC=1,CC\=2,3 ・•・由余弦立理可知BG=qBC,+CCf-2BC・CG=J亍, ・・.EC2+BCf=CCf,/.BC丄BC、, •/AB丄侧而BB、C\C,且BCu而BB©C,..AB丄BC,又\ABC\BC}=B9AB、BC\u平而ABC\,・・・BC丄平而ABC. (2)由 (1)知,以B为坐标原点,BC•为x轴, BC】为),轴,BA为z轴,建立如图所示的空间直 角坐标系, 设平而AEB]的法向量为〃=(x,y,z),由 〃•码=0\) 则4(0,0,2),C(l,0,0),C,(0,73,0),E|,^,0, 同理,设平而人£目的法向量为加=(心儿可),EA}=- m・EA.=0(l\ 亦丽』得心皿6 由题意二面角A-B.E-A,是锐二而角,故二而角A-B.E-A,的余弦值为辻. 19-【答案】⑴i岁每天魔方还原的平均速度『约为13秒;⑵分布列见解析,£ 99+99+45+32+30+24+21 7 所以a=亍一施=50—100x0.37=13, IAn 因此y关于x的回归方程为$=13+——,所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒. (2)由题意,可得随机变量X的取值为3,4,6,9, 可得P(X=3)=2Ll=1,p(x=4)=乂锂=? 6x696x69 心=6)」: (1+民)+空=竺丄p(x=9)=曲显, 6x63696x69 所以X的分布列为: X 3 4 6 9 P 1 9 2 9 5 9 1 9 所以E(X)=3xl+4x-+6x-+9xl=—. 99999 2 20.【答案】 (1)—+/=1: (2)证明见解析. 2・ 【解析】 (1)因为椭圆的上、下顶点分别为人3,点P(l,2), 的而积S△朋p=1, 所以SgBP=x2Z? =1,基底b=1, 又因为椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点仟的最短距离为血_1,设M(x,y)是椭圆上任意一点,F(—c,0),贝'JMF2=(x+c)2+y2=^x2+2cx+a2,对称轴x=-—<-a,所以在区间上递增, 则x=-a时,MFmin=a-c,即a_c=V? _l, 又a2=b2+c2>解得a=y/2» 2 所以椭圆方程为—+y2=\. 2• (2)设PC2),由题意得,宜线用,PB的斜率存在, •13 设/出: y=-x+l,lPB: y=-x-\, y=^x+\ 4fr-2 —+=1 2・ 3〔 y=_x_1 八+2/+2丿・ —+y2**=1 12・ '⑵18_厂 J12+18^2+18丿' 18-r2r-2 F-2 所以〔MN: y_/2+° Z+18 r+2 12/ 4/ r+\s^r+2 4r x+—
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