中考数学专题研讨圆的证明与计算.docx
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中考数学专题研讨圆的证明与计算
2015中考数学专题研讨:
圆的证明与计算
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,对部分学生是难点,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
一、圆的证明与计算的几大几何理论依据:
1、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.(共斜边的两个直角三角形四个点共圆)
(2)垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系以及中点等等.
(3)弧、弦、圆心角之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推论:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等及全等。
2、圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,近三年来,此题考查形式均由原来的单图题演变成双图题,第一小问也由原来的切线的证明,转变成应用圆中简单性质进行计算和证明,第二问则在第一问的基础上进行深化和运用,考查学生灵活运用所学圆的相关知识解决求线段长、求面积、求线段比、求三角函数值等有关问题的能力。
三、解题思想与方法
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理、三角形全等、三角形相似等知识相结合,形式复杂,无规律性。
解题时要重点注意观察已知线段间的关系,结合问题设问的角度,选择合适的定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想有:
(1)建模思想:
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段或角之间的数量关系。
构造策略:
如:
①构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;
②构造勾股定理模型(已知线段长度)
③构造三角函数(已知有角度的情况);
④构建矩形转化线段;
⑤构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)及转换角度;
构造切割线,找相似;
构造平行线,找线段比
(2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,运用勾股定理、比例线段或三角函数建立方程,解决问题。
常用数学方法:
如面积法,勾股定理,相似,三角函数等
四、典型基本图形(共8个,其来源均为课本中的例题与习题)
图形1:
如图1:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分∠BAE”;“AD⊥CD”;“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。
(2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。
(3)如图(4):
若CK⊥AB于K,则:
①CK=CD;BK=DE;CK=
BE=DC;AE+AB=2AK=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACB
AC2=AD•AB
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG⊥CD
于G时(如图5),则:
①DE=GB;②DC=CG;③AD+BG=AB;④AD•BG=
=DC2
图形2:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ACB=90°。
点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC于点E,
基本结论有:
(1)在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。
四个论断中,知一推三。
(2)①G是⊿BCD的内心;②;③⊿BCO∽⊿CDE
BO•DE=CO•CE=
CE2;
(3)在图
(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。
(4)如图(3),若①BC=CE,则:
②
=
=tan∠ADE;③BC:
AC:
AB=3:
4:
5;(在①、②、③中知一推二)④设BE、CD交于点H,,则BH=2EH
图形3:
如图:
Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切⊙O
E是BC的中点;
(2)若DE切⊙O,则:
①DE=BE=CE;
②D、O、B、E四点共圆
∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,
图形特殊化:
在
(1)的条件下
如图1:
DE∥AB
⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;
如图2:
若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则:
①
;②
图形4:
如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,
基本结论有:
(1)DE⊥AC
DE切⊙O;
(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:
①⊿DFC是等腰三角形;
②EF=EC;③D是的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD,产生母子三角形。
图形5:
:
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有:
(1)如图1:
①AD+BC=CD;②∠COD=∠AEB=90°;③OD平分∠ADC(或OC平分∠BCD);(注:
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中,知一推三)
④AD·BC=
2=R2;
(2)如图2,连AE、CO,则有:
CO∥AE,CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF⊥AB于F,交AC于G,则:
EG=FG.
图形6:
如图:
直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PE于R。
基本结论有:
(1)PQ=PR(⊿PQR是等腰三角形);
(2)在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中,知二推一
(3)2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7:
如图,⊿ABC内接于⊙O,I为△ABC的内心。
基本结论有:
(1)如图1,①BD=CD=ID;②DI2=DE·DA;
③∠AIB=90°+
∠ACB;
(2)如图2,若∠BAC=60°,则:
BD+CE=BC.
图形8:
已知,AB是⊙O的直径,C是中点,CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
基本结论有:
(1)CD=
BG;BE=EF=CE;GF=2DE
(反之,由CD=
BG或BE=EF可得:
C是中点)
(2)OE=
AF,OE∥AC;⊿ODE∽⊿AGF
(3)BE·BG=BD·BA
(4)若D是OB的中点,则:
①⊿CEF是等边三角形;②
五、典型例题
圆中基本性质类
例题1(2014年中考)如图,AB是⊙O的直径,C,P是弧AB上两点,AB=13,AC=5.
(1)如图
(1),若点P是弧AB的中点,求PA的长;
(2)如图
(2),若点P是弧BC的中点,求PA的长.
(1)略
(2)思路一:
知弧中点化弧等为弦等、角等,得AP为∠CAB平分线,再从角平分线性质出发,向角两边作垂线构得两对三角形全等。
思路二:
知弧中点化弧等为弦等、角等,得圆内接四边形,再采用旋转变换构三角形全等。
O
思路三:
知弧中点常连接圆心与该点,得其垂直且平分弧所对的弦,从而构得中位线OE,再利用勾股定理求解。
思路四:
知弧中点常连接圆心与该点,得其垂直且平分弧所对的弦,又⊿ABC三边可知,∠OPM=∠ABC,故利用相等角的三角函数值等求相关线段的长。
思路五:
知弧中点化弧等为弦等、角等,结合图中直径所对的圆周角是直角,利用角平分线+垂线
等腰三角形,构得假A型相似求解。
圆中特殊角类
例2.(2010五月)如图,
内接于⊙O,AB为⊙O的直径,
的平分线交⊙O于D,
交AB于F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)求证:
△ACE∽△CFB;
(2)若AC=6,BC=4,求OH的长
(1)略.
(2)思路一:
由
(1)中证明可得,△CAH为等腰直角三角形,又∠ACB=90°,故延长CB、AE两线交于点G,形外补得等腰直角三角形ACG,同时得到中位线OH。
思路二:
由
(1)中证明可得,△CAH为等腰直角三角形,利用圆中半径相等,连接OC后易得
△AHO≌△CHO,从而HO平分∠AHC,且HO⊥AC,形内构得等腰直角三角形AGH。
关注:
圆心是直径中点,同圆中半径相等。
例3.(课本87页例4改编)△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,
的平分线交⊙O于D
(1)如图1,求证:
;
(2)如图2,过D作⊙O的切线交CA的延长线于P,若sin∠B=
求
的值。
(2)思路一:
利用同弧所对圆心角与圆周角之间的关系,得到∠AOD=90°,结合切线性质得∠ODP=90°,过点A作AE⊥DP于E,得正方形AODE,且sin∠B=sin∠PAE,再设PE=3a,得其余线段进而求解。
思路二:
连AD得子母型相似,同时∠B=∠ADC,结合∠ACD=45°,过点A作AE⊥CD于E,再设AE=3a,得其余线段进而求解。
圆中证明线段相等
例4.(2010四月)如图,AE是△ABC外接圆直径,AD是△ABC的边BC上的高,EF⊥BC,F为垂足。
(1)求证;BF=CD
(2)若CD=1,AD=3,BD=6,求⊙O的直径。
(1)思路一:
通过全等证相线段相等。
延长AD交⊙O于点H,连CH、EH。
由∠BAE=∠BCE=∠CAH得BE=CH,又EF=HD,从而△BFE≌△CDH.
思路二:
利用此题角等条件较多,联想三角函数,通过比例代换证线段相等。
由△EFB∽△BDA得BE:
BA=BF:
AD,又∠BAE=∠BCE=∠CAH=y,tan∠y=BE:
BA=CD:
AD,所以BF=CD
思路三:
将垂径定理与平行线分线段成比例定理相结合,过点O作OH⊥BC于H,则易得CH=BH,且AD∥OH∥EF,又AO=EO,所以FH=DH,故BF=CD.
圆中比值类
例5.(2011武汉中考22题)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E,
(1)求证:
PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠ABE=
求sin∠E.
(1)略
(2)思路一:
直接在Rt△ABD表示线段AD和AB的关系;
应用切割线定理有△AED∽△BEA,得AE,DE,BE关系;
利用切线长定理,在Rt△BPE中,利用勾股定理,
表示BP,EP关系
思路二:
由切线长定理,转设问为求解AP:
EP的值
把∠ABE看作是Rt△ABD中的∠OBF,利用子母型和中位线特点寻找平行线AD与OP的关系
思路三:
由切线长定理发散的信息可得:
OC=a,BC=AC=2a,CP=4a,
连接OA,由△EAB∽△EOP转换比例后得EA:
EO=AB:
OP=4:
5=cos∠E,
所以sin∠E=3:
5
例6.如图1,P是⊙O外一点,PA、PB切⊙O于A、B两点,∠APB=60°,PO的延长线交⊙O
于C,连接AC.
(1)求证:
AC∥PB;
(2)如图2,D是PB上一点,连接CD交⊙O于E,
若∠AEP=90°,求sin∠CDB的值
(2)思路一:
延长PE交于F,连接AF,化圆外角∠AEP=90°
为圆周角∠AEF=90°,从而AF为直径,且∠CDB=∠C=∠F
思路二:
利用∠AEP=90°且OA⊥AP过点O作OF⊥AE
构三垂形相似,同时∠CDB=∠C=∠AOF.
关注:
在
(1)问图中隐藏的结论
OA:
OP:
PO=1:
:
2
圆中折叠类(变式于人教版九年级上册102页13题)
例7.在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连CD.
(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;
(2)如图2,若点D与圆心O不重合,CD=3BD,求sin∠A的值
(2)思路:
圆中折叠即出现等弧、等弦、等角。
取点D关于AC对称点E,连AE、CE、CB.
由∠CAB=∠CAE可得CE=CD=CB,再作CH⊥AB于H即可求解。
练习:
如图,的直径AB=10,将弧BC沿弦BC折叠后与直径AB交于点D.
(1)当D与O重合时,直接写出弦BC的长为____________
(2)若AD:
DB=2:
3,求弦BC的长;
(3)当BC为多少时,折叠后的弧恰好与直径AB相切.
圆中相似类
例8..已知,⊿ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径,AD交BC于E.
(1)如图1,过A作AM⊥BC于M,求证:
AB·AC=AM·AD;
(2)如图2,若DE︰OE=3︰2,求tan∠ABC·tan∠ACB的值。
(1)证△ACM∽△ADB
(2)思路一:
由条件DE︰OE=3︰2
AE:
ED=7:
3
(半经被分成的线段比与直径被分成的线段比互相转换),
连BD、CD.构得双蝶型相似,△AEB∽△CED,△AEC∽△BED,
tan∠ABC·tan∠ACB=tan∠ADC·tan∠ADB=(AC:
CD)(AB:
BD)
=(AC:
BD)(AB:
CD)=(AE:
BE)(BE:
DE)=AE:
ED=7:
3
思路二:
由条件DE︰OE=3︰2
AE:
ED=7:
3
(半经被分成的线段比与直径被分成的线段比互相转换),
作AM⊥BC于M交⊙O于N,连DN,构得A型相似,
再结合相交弦定理完成比例变换。
思路三:
由条件DE︰OE=3︰2
AE:
ED=7:
3N
(半经被分成的线段比与直径被分成的线段比互相转换),
作AM⊥BC,DN⊥BC,构得X型相似,连BD、CD,
利用
(1)中结论,则有:
AB·AC=AM·AD,
BD·CD=DN·AD,所以,tan∠ABC=tan∠ADC=
AC:
CD,tan∠ACB=tan∠ADB=AB:
BD,从而
tan∠ABC·tan∠ACB=(AB·AC):
(BD·.CD)
=AM:
DN=AE:
DE=7:
3
例9:
(2014四月)已知:
P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C为⊙O上一点.
(1)如图1,若AC为直径,求证:
OP∥BC;
(2)如图2,若sin∠P=
,求tan∠C的值.
(1)略
(2)
例10.如图,直线PR⊥⊙O的半径OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直线PR于R.
(1)如图1,点E在半径OB上,求证:
PR=PQ.
(2)如图2,若O与E重合,PR交⊙O于点C,A两点,当sin
∠P=
时,求tan∠C的值.
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