赫兹接触基础.ppt
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赫兹接触基础.ppt
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轴承内部的弹性接触理论,1物体的相互接触2假设3接触面的尺寸和接触应力4弹性趋近量,物体的相互接触,滚动轴承依靠滚道和滚动体的相互接触来支承载荷,所以了解接触应力分布和接触变形是轴承受力和运动解析的基础。
左图给出球与平面这一最简单接触形态。
如果载荷为零,形成点接触,接触区为几何的点。
如果接触载荷不为零,由于几何点没有面积其应力和应变将成为无穷大。
但能承受无穷大应力的材料是不存在,因此,接触区由点变成面,接触区将产生一定的变形。
但仍称为点接触。
(a)(b)钢球与平面的接触,基于钢球与滚道的形状,承载时将形成下图所示的椭圆形接触面。
钢球与滚道之接触一般情况下,滚动轴承的接触在弹性极限内进行,其接触理论也将在弹性极限内展开。
1985年赫兹(H.Hertz)确立的弹性接触理论一直沿用至今。
假设Hertz接触理论作了如下假设。
(1)材料是均质;
(2)接触区的尺寸远远小于物体的尺寸;(3)作用力与接触面垂直(即接触区内不存在磨擦);(4)变形在弹性极限范围内。
对于滚动轴承内部的接触问题,这些假设基本上是成立的,假设,下图给出如何使用赫接触理论计算接触面的尺寸和应力。
帕姆格林(A.Palmgren)曾对球轴承的赫兹接触问题进行了简化,也作简单介绍。
赫兹计算赫兹计算不仅繁琐,而且难于理解.这里仅介绍其结果。
球与滚道接触区是椭圆,如下图所示。
长半轴为a,短半轴为b可通过以下计算求得。
椭圆的长半轴和短半轴,接触面的尺寸和接触应力,如下图,假设物体1和物体2相互接触,图中的四个主平面1,1与2,2分别为物体1、物体2的主曲率之平面。
几何关系,(a)一般接触(b)=0之接触接触物体的主曲率平面,各平面与物体相交所形成的曲线可用二次函数表达。
对其接触问题进行计算时,需要计算辅助变量cos:
(1)式中
(2)是接触物体的主曲率,分别是半径的倒数,凸面取正号,凹面取负号。
下标1、2分别表示两接触物体,、分别表示主曲率所在的平面,式
(1)中表示物体1的主平面与物体2的主平面的夹角,一般滚动轴承的接触如前图(b),故式
(1)可减化为(3)钢球与滚道接触时,以内圈为例(见下图),各自的主曲率(1/mm)可以表示如下。
钢球:
(1/mm)内圈:
(1/mm)cos由接触区的形状和尺寸而定,其值确定后,根据赫兹接触理论,接触椭圆的长半轴a(mm)和短半轴b(mm)可通过下式求得:
钢球与滚道之接触,(4)式中,为载荷(N)。
另外,(5)式中,E1、E2分别是材料的弹性模量(MPa),1/m1、1/m2为泊松比。
、是两物体的接触区尺寸系数,由cos决定,通过图表查出。
由椭圆方程可得:
(6),接触面积,载荷除以接触面积可得到平均接触应力(Mpa),即(7)最大接触应力:
(8)接触区内应力分布如下图中实线所示的半椭球体。
任意位置(x,y)的应力z由下式求得(9),图赫兹接触应力分布,接触应力,两个物体从形成点接触到承载后形成接触面,其趋近量由下式给出(10)k:
第一类完全椭圆积分,其积分值由决定。
:
接触载荷(N)将式(10)改写为,并将式(4)中的a代入式(10),经整理后得,弹性趋近量,(11)的值,常常以cos为变量,示于图表,在计算弹性趋近量的式(11)中,每次计算都需要代入1/E0,显得繁琐。
为此,Palmgren以钢对钢为接触对象,对计算式作了简化。
首先,式(11)可改写为(12)材料为钢时,计算简化,于是,式(12)可表达为:
因此(13),这个关系式还可以整理为(14)式中钢对钢接触时,只要知道了就不难计算出了。
作为F()(cos)的函数,列于表中。
钢对钢接触时,上述关系可进一步简化为(15),赫兹接触椭圆爬越挡肩的条件,接触椭圆是否爬越档边的条件由轴承的接触角、赫兹接触椭圆的尺寸以及沟道的深度决定,例:
最大轴向载荷,轴向载荷外圈的计算,以单个钢球为对象讨论,为了使接触椭圆不越过滚道边缘,爬上档边,必须满足:
由图几何关系可得到:
与球径相比,接触面的弹性变形量非常小。
如果将接触面的沟道曲率半径看成与钢球曲率半径相同,同时,为使问题简化,则关于,可得,即,
(1),
(2),(3),接触椭圆长半轴a根据式(12)可得(设):
(4),将式
(1)(4)相结合,接触椭圆不爬越档边的载荷为:
(5),以整个轴承为对象讨论,当轴承承受纯轴向载荷Fa时,轴承内一颗钢球所承受的载荷为钢球所受平均载荷Fa/Z(Z为钢球数)沿承载接触角方向上的分力,,(6),(7),由式(5)(6)(7)得出:
将经过迭代计算的带入下式便可求得极限轴向载荷FaL:
(8),通过赫兹接触理论,可以得到接触面的尺寸和应力,但每次计算都需要代入材料的弹性模量和泊松比,滚动轴承材料一般为钢,Palmgren给出了其简化计算公式。
式(4)给出了接触椭圆的尺寸,以其长半轴a的表达式为例(10),赫兹接触计算简化(Palmgren),上式中的值仅由材料的特性决定,假设两接触物体均为钢,则E=207GPa,1/m=0.3,以mm为长度单位,并使用等式1Pa=106N/mm2,将这些数据代入(10)可得:
(mm2/N)因此可得到:
式(10)可改写为:
(20)(21),上式中,使用钢的E和1/m,则=1。
因此,(N)和式
(2)确定后,通过式(21)可以求得接触椭圆的长半轴a。
另外,值根据求得,其计算结果可查表。
如将上述关系式作进一步的简化,钢与钢接触时,可得到同理,接触椭圆短半轴的计算式可表达为:
(22),值列于表,考虑钢与钢的接触,式(22)可以进一步简化为:
(23)F()(cos)越接近1,椭圆的偏心率越趋近0,当F()=1时,a=无穷大时即为线接触。
赫兹接触理论不适用这种情况,需要借助其它理论。
根据以上推导,最大赫兹接触应力Pmax(MPa):
(24)平均接触应力Pm(MPa):
(25),曲率和及曲率差的计算-球轴承,曲率和及曲率差的计算-调心滚子轴承,曲率和及曲率差的计算-圆柱滚子轴承,曲率和及曲率差的计算-圆锥滚子轴承,
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