K12学习九年级上册数学全册教案湘教版.docx
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K12学习九年级上册数学全册教案湘教版
九年级上册数学全册教案(湘教版)
第1章反比例函数
1反比例函数
教学目标
【知识与技能】
理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.
【情感态度】
培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.
【教学重点】
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.
【教学难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.
教学过程
一、情景导入,初步认知
.复习小学已学过的反比例关系,例如:
当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s
当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S
电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?
【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.
二、思考探究,获取新知
探究1:
反比例函数的概念
一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v与所用时间t之间有怎样的关系?
并写出它们之间的关系式.
利用的关系式完成下表:
随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?
平均速度v是所用时间t的函数吗?
为什么?
观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?
这种函数有什么特点?
【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数称为反比例函数的比例系数.
【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:
反比例函数的自变量的取值范围思考:
在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?
分析:
反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0.
【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.
三、运用新知,深化理解
见教材P3例题.
下列函数关系中,哪些是反比例函数?
已知平行四边形的面积是12c2,它的一边是ac,这边上的高是hc,则a与h的函数关系;
压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;
功是常数时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.
某乡粮食总产量为吨,那么该乡每人平均拥有粮食y与该乡人口数x的函数关系式.
分析:
确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=.所以此题必须先写出函数解析式,后解答.
解:
a=12/h,是反比例函数;
F=pS,是正比例函数;
F=/s,是反比例函数;
y=/x,是反比例函数.
当为何值时,函数y=是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:
由反比例函数的定义易求出的值.解:
由反比例函数的定义可知:
2-2=1,=3/2.所以反比例函数的解析式为y=.
当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=53时,ρ=1.98g/3
求p与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
求V=93时,二氧化碳的密度.
解:
略
已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19.求y与x间的函数关系式.
分析:
y1与x成正比例,则y1=1x,y2与x2成反比例,则y2=2x2,又由y=y1+y2,可知,y=1x+2x2,只要求出1和2即可求出y与x间的函数关系式.
解:
因为y1与x成正比例,所以y1=1x;因为y2与x2成反比例,所以y2=,而y=y1+y2,所以y=1x+,当x=2与x=3时,y的值都等于19.
【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题1.1”中第1、3、5题.
教学反思
学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.
2反比例函数的图象与性质
第1课时反比例函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索.
【情感态度】
通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.
【教学重点】
画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.
【教学难点】
理解反比例函数的性质,并能灵活应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
你还记得一次函数的图象吗?
一次函数的图象怎样画呢?
一次函数有什么性质呢?
反比例函数的图象又会是什么样子呢?
【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.
二、思考探究,获取新知
探究1:
反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.
列表:
取自变量x的哪些值?
x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.
描点:
用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点、、等.
连线:
用平滑的曲线将象限各点依次连起来,得到图象的个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.
思考:
观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?
y轴左边的各点是否也有相同的规律?
这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?
为什么?
探究2:
反比例函数所在的象限画出函数y=的图形,并思考下列问题:
函数图形的两个分支分别位于哪些象限?
在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?
【归纳结论】一般地,当>0时,反比例函数y=的图象由分别在、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.
探究3:
反比例函数y=-的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:
可以用画反比例函数y=-的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;
可以通过探索函数y=与y=-之间的关系,画出y=-的图象.
【归纳结论】一般地,当0时,图象在一、三象限;当0,所以双曲线的两支分别位于、三象限.
【答案】c
下列反比例函数图象一定在、三象限的是
【答案】c
已知函数为反比例函数.
求的值;
它的图象在第几象限内?
在各象限内,y随x的增大如何变化?
当-3≤x≤-时,求此函数的最大值和最小值.
作出反比例函数y=的图象,并根据图象解答下列问题:
当x=4时,求y的值;
当y=-2时,求x的值;
当y>2时,求x的范围.
解:
列表:
由图知:
y=3;
x=-6;
0<x<6
作出反比例函数y=-的图象,结合图象回答:
教学目标
【知识与技能】
会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.
【教学重点】
会求反比例函数的解析式.
【教学难点】
反比例函数图象和性质的运用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
反比例函数有哪些性质?
2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?
【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.
二、思考探究,获取新知
思考:
已知反比例函数y=的图象经过点P
求的值,并写出该函数的表达式;
判断点A,B是否在这个函数的图象上;
这个函数的图象位于哪些象限?
在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?
分析:
题中已知图象经过点P,即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出,解析式也就确定了.
要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.
根据的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.
【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.
下图是反比例函数y=的图象,根据图象,回答下列问题:
的取值范围是>0还是0.
因为点A,B是该函数图象上的两点且-3y2.
【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.
三、运用新知,深化理解
若点A,B在双曲线y=-上,则y1、y2中较小的是.
【答案】y2
已知点A,B是反比例函数y=的图象上的两点,若x1<0<x2,则有.
A.y1<0<y2B.y2<0<y1c.y1<y2<0D.y2<y1<0
【答案】A
若A,B是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是
A.b1<b2B.b1=b2c.b1>b2D.大小不确定
【答案】D
函数y=-的图象上有两点A,B,若0<x1<x2,则
A.y1<y2B.y1>y2c.y1=y2D.y1、y2的大小不确定
【答案】A
已知点P在反比例函数y=的图象上,
当x=-3时,求y的值;
当1<x<3时,求y的取值范围.
已知y=过三个点A,B,c.
求反比例函数的表达式;
求a与b的值.
解:
将A代入反比例解析式得:
=-16,则反比例解析式为y=-;
将B代入反比例解析式得:
b=-4;将c代入反比例解析式得:
2=-,即a=-8.
已知反比例函数的图象过点.
求这个函数的解析式,并画出图象;
若点A在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?
分析:
反比例函数的图象过点,即当x=1时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;
由点A在反比例函数的图象上,易求出的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.
解:
设:
反比例函数的解析式为:
y=.而反比例函数的图象过点,即当x=1时,y=-2.所以-2=,=-2.即反比例函数的解析式为:
y=-.点A在反比例函数y=-图象上,所以==,点A的坐标为.点A关于x轴的对称点不在这个图象上;点A关于y轴的对称点不在这个图象上;点A关于原点的对称点在这个图象上;
【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题1.2”中第7题.
教学反思
教学中,我深深地体会到:
要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:
教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.
第3课时反比例函数的图象与性质
教学目标
【知识与技能】
综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;
借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.
【情感态度】
能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图、识图能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.
【教学重点】
理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.
【教学难点】
学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.
教学过程
一、情景导入,初步认知
正比例函数有哪些性质?
一次函数有哪些性质?
反比例函数有哪些性质?
【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.
二、思考探究,获取新知
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P,试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:
设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=1x,y=,其中,1,2是常数,且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P,则P是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=1×,4=解得,1=2=-12所以,正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.
【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点P,Q,过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1=;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2=;S1与S2有什么关系?
为什么?
【归纳结论】反比例函数y=中比例系数的几何意义:
过双曲线y=上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为的绝对值.
【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.
三、运用新知,深化理解
已知如图,A是反比例函数y=x的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABo的面积是3,则的值是
A.3B.-3c.6D.-6
分析:
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=||.
解:
根据题意可知:
S△AoB=||=3,又反比例函数的图象位于象限,>0,则=6.
【答案】c
反比例函数y=与y=在象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接oA、oB,则△AoB的面积为
A.B.2c.3D.1
分析:
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作Bc⊥y轴,点c为垂足,再根据反比例函数系数的几何意义分别求出四边形oEAc、△AoE、△Boc的面积,进而可得出结论.
解:
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作Bc⊥y轴,点c为垂足,∵由反比例函数系数的几何意义可知,S四边形oEAc=6,S△AoE=3,
S△Boc=1,∴S△AoB=S四边形oEAc-S△AoE-S△Boc=6-3-1=2.
【答案】B
已知直线y=x+b经过点A,并与双曲线y=的交点为B和c,求、b的值.
解:
点A在直线y=x+b上,所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析式为:
y=x-3.又因为点B也在直线y=x-3上,所以=-2-3=-5,即B.而点B又在反比例函数y=上,所以=-2×=10.
已知反比例函数y=的图象与一次函数y=2x-1的图象交于A.
分别求出这两个函数的解析式;
试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:
因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出1、2的值.
把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.
解:
因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,所以1=2×1=2.
=22-1,2=1.所以反比例函数的解析式为:
y=;一次函数解析式为:
y=x-1.
点A关于坐标原点的对称点是A′.把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y==-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.
已知一次函数y=x+b的图象经过点A和点B,a<0,且点B在反比例函数的y=-的图象上.
求a的值.
求一次函数的解析式,并画出它的图象.
利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.
如果P、Q是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.
分析:
由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出、b和a的值.
由求出的、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.
和都是利用函数的图象进行解题.
一次函数和反比例函数的图象为:
从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:
-1≤x≤1.
从图象可知,y随x的增大而减小,又+1>,所以y1>y2.
或解:
当x1=时,y1=-2+1;当x2=+1时,y2=-2×+1=-2-1所以y1-y2=-=2>0,即y1>y2.
如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点.
利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;
根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.
分析:
把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.
因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标.【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题1.2”中第6题.
通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:
教学反思
.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.
.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.
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