一次函数与三角形面积.docx
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一次函数与三角形面积.docx
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一次函数与三角形面积
一次函数相关的面积问题
思路:
画出草图,把要求的图形构建出来,根据面积公式,把直线与坐标轴的交点计算出来,把坐标转化成线段,代入面积公式求解。
规则图形(公式法)不规则图形(切割法)不含参数问题含参数问题(用参数表示点坐标,转化
成线段)
注意:
坐标的正负、线段的非负性。
求面积时,尽量使底或高中的一者确定下来(通过对图像的观察,确定底和高),然后根据面积公式,建立
等式。
1、求直线y=-2x+4,y=2x-4及y轴围成的三角形的面积。
2、已知正比例函数y=2x与一次函数y=x+2相交于点P,则在x上是否存在一点A,使S
△P0A=4若存在,求出点有坐标;若不存在,请说明理由
3、如下图,一次函数的图像交正比例函数的图像于M点,交x轴于点N(-6,0),已知点M在第二象限,其横坐标为-4,若比N0M=1,5求正比例函数的解析式。
4、如图,直线h的解析表达式为y=-3x+3,且li与x轴交于点D,直线S经过点A,B,直线h,
(1)求点D的坐标;
(2)求直线12的解析表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)在直线12上存在异于点C的另一点P,使得
△ADP与厶ADC的面积相等,请直•接.写出点P的坐标.图11
1
5、如图,直线L的解析表达式为y=-—X+2,且与x轴、y轴交于点a、b,在y轴上有一
2
点C(0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)ACOM勺面积S与M的移动时间t之间的函数关系式;
(3)当何值时厶COIWAAOB并求出此时M点的坐标。
一次函数(动态问题)
举一反三:
如图(十二),直线l的解析式为y=-x+4,它与x轴、y轴分别相交于AB两点.平行于直
线I的直线m从原点O出发,沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交
于M、N两点,设运动时间为t秒(0 (1)求AB两点的坐标; (2)用含t的代数式表示△MON的面积S; (3)以MN为对角线作矩形OMPN ,记△MPN和AOAB重合部分的面积为S,, 1 当2 2在直线m的运动过程中,当t为何 5 S2为AOAB面积的一? 16 【答案】解 (1)当x=0时,y=4;当y=0时,x=4.A(4,0,B0,4); (2)qmn〃ab,onoa1, OMONt,S,-OM-ON-t2; 22 P的坐标为(t,t), (3)①当2t<4时,易知点P在厶OAB的外面,则点 F点的坐标满足 xt,yt 即F(t,4t),同理E(4t,t),则PF 4, PEt(4-t)2t4,所以 综上得,当t7或t 3 1f厂CL 1 2 4)(2t 4) 32 8t8; t2 PE-PF t -(2t t2 2 2 2 2 2 ②当0 t<2时, S2 1 t 212,—t 51 44 5 解得t1 0,t2J52,两个都不合题意, 2 2 162 2 舍去;当 i2t<4 ,时, S2 ? t 2&8 5 解得 t33t4 7 2 2 3 S2 SAMPNSAPEF SAOMNSAPEF 5 3时,S2OAB的面积的一• 6 模仿操练: 如图,直线yX4与两坐标轴分别相交于A.B点,点M是线段AB上任意一点(A.B两点除外),过M分别作MC丄OA于点C,MD丄OB于D. (1)当点M在AB上运动时,你认为四边形OCMD的周长是否发生变化? 并说明理由; (2)当点M运动到什么位置时,四边形OCMD的面积有最大值? 最大值是多少? (3)当四边形OCMD为正方形时,将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为 a(0a4),正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S.试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象. 6、在ABC中,CRt,AC4cm,BC5cm,点D在BC上,且以CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。 过点P作PE//BC交AD于点E,连结EQ。 设动点运动时间为x秒。 (1)用含x的代数式表示AE、DE的长度; 2 (2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设EDQ的面积为y(cm),求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3) 当x为何值时,EDQ为直角三角形。 7、如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4「3),点B在x正半轴上,且ZABO30°•动点P在线 段AB上从点A向点B以每秒.3个单位的速度运动,设运动时间为t秒•在x轴上取两点M,N作等边 △PMN• (1)求直线AB的解析式; (2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0 &两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置,点C、F重合,且BC、DF在一条直线上,其中AC=DF=4,BC=EF=3.固定RtAABC不动,让RtADEF沿CB向左平移,直到点F和点B重合为止•设FC=x,两个三角形重叠阴影部分的面积为y. 1 (1)如图2,求当x=时,y的值是多少? 2 (2)如图3,当点E移动到AB上时,求x、y的值; (3)求y与x之间的函数关系式; 9、(重庆课改卷)如图1所示,一张三角形纸片ABC,/ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形(如图2所示)•将纸片AC1D1沿直线D2B(AB)方向平 移(点代Di,D2,B始终在同一直线上),当点Di于点B重合时,停止平移•在平移过程中,GDi与BC2 交于点E,ACi与C2D2、BC2分别交于点F、P. (1)当ACiDi平移到如图3所示的位置时,猜想图中的DiE与D2F的数量关系,并证明你的猜想; y与x的函数关系式,以及 (2)设平移距离D2Di为x,ACiDi与BC2D2重叠部分面积为y,请写出 自变量的取值范围; 三角形面积与函数解析式的几种题型 、利用面积求解析式 1、直线y2xb与坐标轴围成的三角形的面积是9,则b=(分类讨论) C,把, n)与x 2、已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线I经过原点,与线段AB交于点△AOB的面积分为2: I两部分,求直线I名的解析式. 3、如图,已知直线PAyxn(n0)与x轴交于A,与y轴交于Q,另一条直线y2xm(m 轴交于B,与直线PA交于P 求: (1)A,B,Q,P四点的坐标(用m或n表示) 5 (2)若AB=2,且S四边形PQOB=,求两个函数的解析式. 6 4、已知直线yx2与x轴、y轴分别交于A点和B点,另一条直线 ykxb(k0)经过点C(1,0),且把AOB分成两部分 (1)若AOB被分成的两部分面积相等,则k和b的值 (2)若AOB被分成的两部分面积比为1: 5,则k和b的值 3 5、已知一次函数y—x3的图象与y轴、x轴分别交于点A、B,直线ykxb经过OA上的三分之 2 一点D,且交x轴的负半轴于点C,如果SaobSDOC,求直线ykxb的解析式. 二、利用解析式求面积 1、直线ykxb过点A(-1,5)和点B(m,5)且平行于直线yx,O为坐标原点,求AOB的面 积• 2、如图,所示,一次函数y求: (1)一次函数的解析式; (2)AOC的面积 3、已知: 直线y2x4与直线yx3,它们的交点C的坐标是,设两直线与x轴分别交于A,B, 4、一次函数力&X4与正比例函数yk2X的图象都经过(2,-1),则这两个函数的图象与x轴围成的 三角形面积是 5、已知,直线y=2x+3与直线y=-2x-1. (1)求两直线交点C的坐标; ⑵求厶ABC的面积. ⑶在直线BC上能否找到点P,使得Smpc=6,若能,请求出点P的坐标,若不能请说明理由。 44444 6、如图,直线y=——x+4与y轴交于点A,与直线y=x+交于点B,且直线y=x+与x轴交于点 35555 。 ,求厶ABC的面积。 i\ b A / K [b O \* 7、已知直线ykxb经过点A(0,6),且平行于直线y2x. (1)求该函数的解析式,并画出它的图象; (2)如果这条直线经过点P(m,2),求m的值; (3)若0为坐标原点,求直线0P解析式; (4)求直线ykxb和直线OP与坐标轴所围成的图形的面积。 三、关于面积的函数关系 1、已知点A(x,y)在第一象限内,且x+y=10,点B(4,0),△OAB的面积为S. (1)求S与x的函数关系式,直接写出x的取值范围,并画出函数的图像; (2)^OAB的面积为6时,求A点的坐标; 2、如图,直线ykx6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(-8,0),点A的坐标为(-6,0)。 (1)求k的值; (2)若点P(X,y)是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出厶OPA的面积S 与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; 27 (3)探究: 当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为27,并说明理由。 8 4、如图⑴,在矩形ABCC中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发,沿A 路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿DTCtBtA路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的 速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s.图⑵是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图⑶是点Q出发x秒后厶AQD勺面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象. (1)参照图 (2),求a、b及图⑵中c的值; (2)求d的值; (3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm),请分别写出动点P、Q改变速度 后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q相遇时x的值; (4) 当点Q出发s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm. &如图,直线丨1过A(0,2),B(2,0)两点,直线l2: ymxb过点(1,0),且把AOB分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,设此三角形的面积为S,求S关于m的函数解析式,及自变量m 的取值范围。 1 (2)在直线yx3求一点0,使厶OAQ是以OA为底的等腰三角形. 2 (3)若第 (2)问变为使厶OAQ是等腰三角形,这样的点有几个? 2、已知: 如下图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,3)、B(2,-2)、C(6, -4),求厶ABC的面积.
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- 一次 函数 三角形 面积