平面图形中地解三角形.docx
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平面图形中地解三角形
利用正弦,余弦定理解三角形的一些平面图形问题
1.如图,D是直角ABC斜边BC上一点,AC3DC.
(I)若DAC30,求角B的大小;
(II)若BD2DC,且AD22,求DC的长.
2.如图,在平面四边形ABCD中,ABAD,AB1,AC7,2
ABC,
3
ACD.
3
(Ⅰ)求sinBAC;
(Ⅱ)求DC的长.
3.如图,在四边形ABCD中,AB3,BC73,CD14,BD7,BAD120.
(1)求AD边的长;
(2)求ABC的面积.
4.如图,在△ABC中,BC边上的中线AD长为3,且cosB=
10
8
,cos∠ADC=-1
4
.
(1)求sin∠BAD的值;
(2)求AC边的长.
5.如图所示,在平面四边形ABCD中,ABAD,2ADC,E为AD边上一
3
点,CE7,DE1,AE2,
BEC.
3
试卷第1页,总3页
(1)求sinCED的值;
(2)求BE的长.
6.如图,在△ABC中,点D在边AB上,CDBC,AC53,CD5,
BD2AD.
(Ⅰ)求AD的长;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
7.设锐角△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c向量m
(1,sinA3cosA),n
3
(sinA,)
2
,已知m与n共线.
(1)求角A的大小;
(2)若a2,c43sinB,且△ABC的面积小于3,求角B的取值范围.
8.在ABC中,内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c,已知
1
22
cacosBbab.
2
(1)求角A;
(2)若a3,求bc的取值范围.
9.(2012?
东至县一模)在△ABC中,内角A、B、C对边长分别是a,b,c,已知c=2,
C=
(Ⅰ)若△ABC的面积等于;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面积.
10.已知mcosx3sinx,1,n2cosx,y满足mn0.
(1)将y表示为x的函数fx,并求fx的单调递增区间;
A
(2)已知ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f3,且a2,求
2
ABC面积的最大值.
试卷第2页,总3页
11.如图,在ABC中,AB=12,AC=36,BC=56,点D在边BC上,且
ADC60.
(1)求cosC;
(2)求线段AD的长.
试卷第3页,总3页
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参考答案
1.(I)B60°;(II)2.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由正弦定理求出sin3ADC,可得ADC120°;(II)设DCx,
2
在ABD中,由余弦定理整理出关于x的方程,解方程求出DC2.,
ACDC
试题解析:
(Ⅰ)在△ABC中,根据正弦定理,有.
sinADCsinDAC
又ADCBBADB6060
所以ADC120°.
于是C1801203030,所以B60°.
(Ⅱ)设DCx,则BD2x,BC3x,AC3x.
于是
sinB
AC
BC
3
3
cos
6
B,AB6x.
3
在ABD中,由余弦定理,得
2222cos
ADABBDABBDB,
即
22262
(22)6x4x26x2x2x,得x2.
3
故DC2.
考点:
正弦定理、余弦定理.
2.(Ⅰ)
21
7
;(Ⅱ)
47
5
.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用余弦定理,求出BC的值,再利用正弦定理即可求sinABC;
(Ⅱ)由ABAD及
(1)可求得CAD的余弦值与正弦值,得用三角形内角和定理及两角
和与差的正弦公式可求出sinD,再利用正弦定理即可求DC的长.
试题解析:
(Ⅰ)在ABC中,由余弦定理得:
2222cos
ACBCBABCBAB,
即
2
BCBC60,解得:
BC2,或BC3(舍),
由正弦定理得:
BCACBCsinB21
sinBAC.
sinBACsinBAC7
(Ⅱ)由(Ⅰ)有:
21
cosCADsinBAC,
7
327
sinCAD1,
77
所以
27121357
sinsin
DCAD
3727214
答案第1页,总8页
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由正弦定理得:
27
7
DCACACCAD
sin747
DC
sinCADsinDsinD5
57
14
.
考点:
1.正弦定理与余弦定理;2.三角恒等变换;3.三角形内角和定理.
3.
(1)AD5;
(2)333
4
.
【解析】
试题分析:
(1)在ABD中,由余弦定理列出方程,即可求解AD边的长;
(2)在ABD
中,由余弦定理,得
求解三角形的面积.
cos
11
ABD,进而得
14
sin
11
ABC,利用三角形的面积公式,
14
试题解析:
(1)在ABD中,由余弦定理,得
2222cos120
BDABADABAD,
即
221
7323
ADAD,解之得AD5或AD8(舍去),所以AD5;
2
(2)由已知,
222
BCBDCD,所以CBD90,
在ABD中,由余弦定理,得,
所以
11
sinABCsinABD90cosABD,
14
所以
1111333
SABBCsinABC373.
ABC
22144
考点:
正弦定理与余弦定理的应用.
4.
(1)
6
4
;
(2)AC4.
【解析】
试题分析:
(1)根据同角三角函数关系式由
cos
10
B,
8
cos
1
ADC可求得sinB,
4
sinADC的值.因为BADADCB,可由正弦的两角差公式求得sinBAD的
值.
(2)在ABD中可由正弦定理求得BD的长,即DC的长,然后再在ADC中用余弦定
理求得AC的长.
试题解析:
解:
(1)因为
cos
10
B,所以
8
sin
36
B.
8
又
cos
1
ADC,所以
4
sin
15
ADC,
4
所以sinBADsinADCB
答案第2页,总8页
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sinADCcosBcosADCsinB
15101366
48484
(2)在ABD中,由
ADBD
sinBsinBAD
得
3BD
366
84
,
解得BD2.
故DC2,
从而在AD中,由
2222cos
ACADDCADDCADC
221
3223216
4
,
得AC4.
考点:
1两角和差公式;2正弦定理,余弦定理.
【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差
公式,属于中档题.解题时一定要注意角的范围,三角形内角的正弦值均为正,否则很容易
失分.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,期中关键是三角变换,而三角
变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结
构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
5.
(1)
21
7
;
(2)47.
【解析】
试题分析:
(1)在△CDE中,由余弦定理求解CD,再利用正弦定理求出sin21CED;
7
(2)利用三角函数的诱导公式与和角公式求出cosAEB的值,再在Rt△ABE中,
BE47.
试题解析:
(Ⅰ)在△CDE中,由余弦定理得:
2222cos
CECDDECDDECDE,
整理得:
260
CDCD即CD2,又由正弦定理得
CDCE
sinCEDsinCDE
,
即
27
sinsin
CED
2
3
,所以
sin
21
CED.
7
(Ⅱ)因为0,
CED,所以
3
cos
27
CED,又
7
2
AEBCED,
3
答案第3页,总8页
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所以
2
cosAEBcosCED
3
22
coscosCEDsinsinCED
33
127321
2727
7
14
所以在Rt△ABE中,247
BE
cosAEB
.
考点:
正、余弦定理的应用;三角函数的诱导公式及和角公式的应用.
6.(Ⅰ)5;(Ⅱ)
【解析】
753
4
.
试题分析:
(Ⅰ)设ADxx0,则BD2x.因为CDBC,CD5,BD2x,所以
cosCDB
CD
BD
5
2x
,由余弦定理得
cosADC
222252(53)2
ADCDACx
2ADCD2x5
.因为cosADCcosCDB,
即
252(53)25
x
2x52x
.解得x5.所以AD的长为5;(Ⅱ)由(Ⅰ)AB3x15,
所以
1
SABBCsinCBA可得正确答案.
ABC
2
试题解析:
(Ⅰ)在ABC中,因为BD2AD,设ADxx0,则BD2x.
在BCD中,因为CDBC,CD5,BD2x,
所以cos
CDB
CD
BD
5
2x
.在ACD中,因为ADx,CD5,AC53,
由余弦定理得
22252(253)2
ADCDACx
coAsDC.因为
2ADCD25x
CDBADC,
所以cosADCcosCDB,
即
252(53)25
x
2x52x
.解得x5.所以AD的长为5.
(Ⅱ)由(Ⅰ)求得AB3x15,
2
BC4x2553.所以
cosCBD
BC
BD
3
2
,
答案第4页,总8页
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从而
sin
1
CBD,所以
2
1
SABBCsinCBA
ABC
2
11753
1553
224
.
考点:
余弦定理及三角形面积公式.
A
7.
(1)3
(2)0,
6
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用向量平行,得到关于A的关系式,利用二倍角公式、两角差的正弦函
数化简,求出角A的大小;(Ⅱ)通过a2,c43sinB,且△ABC的面积小于3,得
到B的余弦值的范围,然后求角B的取值范围
试题解析:
(1)因为m与n共线,则
sinA(sinA3cosA)
3
2
即
23
sinA3sinAcosA
2
所以
1cos2A33
sin2A
222
即sin21
A
6
A为锐角,则
2A
62
A
,所以3
(2)因为a2,c43sinB,则
1
SacsinB
ABC
2
1
2
2
243sinB
2
43sinB
43
1cos2B
2
2323cos2B.
cos2B
1
2
由已知,2323cos2B3,即
.
02B0B
36因为B是锐角,所以
,即
,
故角B的取值范围是0,
6
考点:
1.三角函数的恒等变换及化简求值;2.解三角形
【答案】
(1)
π
;
(2)3,23.
3
答案第5页,总8页
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【解析】
试题分析:
(1)由余弦定理得
cos
1
A,所以
2
π
A;
(2)利用正弦定理得
3
bc2sinB2sinC,利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.
试题解析:
(1)∵
1
22
cacosBbab,由余弦定理
2
得
2222222
acbbcab,
222
abcbc
∵
2222cos
abcbcA,∴
cosA
1
2
∵A0,π,∴
A
π
3
abc
(2)由余弦定理得2
sinAsinBsinC
∴b2sinB,c2sinC
∴bc2sinB2sinC2sinB2sinAB
2sinB2sinAcosB2cosAsinB
31
2sinB2cosB2sinB
22
π
3sinB3cosB23sinB;
6
∵
2π
B0,,∴
3
ππ5π
B,,
666
π1sinB,1.62
所以bc3,23
考点:
正弦定理、余弦定理、三角变换.
9.(Ⅰ)a=2,b=2;(Ⅱ)S=.
【解析】
2
试题分析:
(Ⅰ)由C的度数求出sinC和cosC的值,利用余弦定理表示出c,把c和cosC
的值代入得到一个关于a与b的关系式,再由sinC的值及三角形的面积等于,利用面积
公式列出a与b的另一个关系式,两个关系式联立即可即可求出a与b的值;
(Ⅱ)由三角形的内角和定理得到C=π﹣(A+B),进而利用诱导公式得到sinC=sin(A+B),
代入已知的等式中,左边利用和差化积公式变形,右边利用二倍角的正弦函数公式变形,分
两种情况考虑:
若cosA为0,得到A和B的度数,进而根据直角三角形的性质求出a与b
的值;若cosA不为0,等式两边除以cosA,得到sinB=2sinA,再利用正弦定理化简得到b=2a,
与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立,求出a与b的值,综上,由求出的a与b
答案第6页,总8页
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的值得到ab的值,再由sinC的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
解:
(Ⅰ)∵c=2,C=60°,
2=a2+b2+b
22
由余弦定理c﹣2abcosC得:
a﹣ab=4,
根据三角形的面积S=,可得ab=4,
联立方程组,
解得a=2,b=2;
(Ⅱ)由题意
sin(B+A)+sin(B﹣A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA,
;
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,
由正弦定理得b=2a,
联立方程组
解得a=.
所以△ABC的面积S=.
考点:
余弦定理;正弦定理.
10.
(1)x[k,k],(kZ)即为f(x)的单调递增区间;
(2)ABC面积的最
36
大值为3.
【解析】
试题分析:
(1)根据数量积的坐标表示建立关于x,y的等式关系,再借助两角和与差的正余
A
弦公式化简可得fx的表达式;
(2)先求()3f,确定出角A的大小,再根据a2,
2
利用余弦定理可知
2222cos222
abcbcAbcbcbcbcbc,从而求出bc的最大值,进而得到
面积的最大值.
试题解析:
解:
(1)
2
mn2cosx23sinxcosxy3sin2xcos2x1y
2sin210fxx,
xy,所以2sin21
66
令2x2k,2k,得,,
xkkkZ62236
答案第7页,总8页
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fx的单调递增区间是k,k,kZ36
A
(2)f2sinA13,∴sin1A,
266
又
7
A,,∴
666
A,∴
62
A.
3
在ABC中由余弦定理有,
2222cos222
abcbcAbcbcbcbcbc
可知bc4(当且仅当bc时取等号),
∴
113
SbcsinA43,即ABC面积的最大值为3.
ABC
222
考点:
1.三角恒等变换;2.余弦定理;3.三角函数的性质.
11.
(1)
【解析】
1
3
;
(2)AD8.
试题分析:
(1)利用余弦定理的变式;
(2)在ACD中利用正弦定理即可求解.
试题解析:
(1)根据余弦定理:
cosC
222
ACBCAB
2ACBC
222
(36)(56)121
236563
;
(2)因
为0C
,
所以sinC0
,
21222
sinC1cosC1()
33
,根据正弦定理得:
ADAC
sinsin
CADC,
AD
ACsinC
sinADC
8.
考点:
正余弦定理解三角形.
答案第8页,总8页
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