初中数学二次函数图形详解.docx
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初中数学二次函数图形详解
2011_初中数学_二次函数图形_详解
一、选择:
(每题0.5分,共35分)
1.B
详解:
因为P点在2x+3y=5上
所以可设P点的坐标为(t,)
矩形OCPD的面积=×=t×=(-2t2+5t)=-(t2-t)=-(t2-t+)+×=-(t-)2+≦
所以矩形OCPD的最大面积为
故选(B)
2.B
详解:
y=ax+b与x、y轴交于(0,b)、(-,0)
由图知b<0,->0b<0,a>0
二次函数y=ax2+b,顶点坐标为(0,b)
∵a>0,b<0
∴y=ax2+b的图形开口向上,顶点在y轴的负向
故选(B)
3.A
详解:
设二次函数为y=ax2+b
分别将(1,11)、(-2,20)代入
a=3,b=8
二次函数y=3x2+8
当x=-3代入,y=35,通过点(-3,35)
故选(A)
4.A
详解:
y=-x2+ax+4=-(x+1)2+b
-x2+ax+4=-x2-2x+(b-1)
比较系数可得a=-2,b=5a+b=3
故选(A)
5.B
详解:
==x
==-x=20-x
直角△ABH中,∠B=30°,==x如下图所示
平行四边形ABCD的面积=×
y=(20-x)×x=-x2+10x
a=-,b=10,c=02a+b-3c=9
故选(B)
6.C
详解:
设矩形的长、宽分别为x公尺和(50-x)公尺,面积为y平方公尺
则y=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625
所以矩形花圃的最大面积为625平方公尺,故选(C)
7.A
详解:
开口向下a<0
则y轴交于负向处c<0
故选(A)
8.D
详解:
(A)顶点(0,-8),开口向下没有交点
(B)顶点(0,0)有一个交点
(C)顶点(0,),开口向上没有交点
(D)顶点(0,-3),开口向上有2个交点
故选(D)
9.A
详解:
∵有最大值图形开口向下
∴a<0
又与x轴没有交点,即无解
因此b2-4ac<0
故选(A)
10.B
详解:
依题意画出简图如下:
由于y=96x2-2007的对称轴为y轴
因此的中点必在y轴上
而且的中点其y坐标必为96
的中点坐标为(0,96)
故选(B)
11.A
详解:
y=0代入y=-9x2+25
得x=或-
=k=-(-)=
3<<43<k<4
故选(A)
12.B
详解:
a<0开口向下
b<0a、b同号顶点在y轴左侧
c>0图形交y轴于正向
综合以上,故选(B)
13.B
详解:
y=ax2+c图形的对称轴是y轴
又点(p,q)关于y轴的对称点为点(-p,q)
因此y=ax2+c的图形亦会通过点(-p,q)
故选(B)
14.A
详解:
解3x2-5x-12=0,得x=-或x=3
因为a<b,所以a=-,b=3
由于a、b、c成等差数列,所以a+c=2b
即-+c=3×2,解出c=6=7
故选(A)
15.A
详解:
∵y=ax2+a为二次函数
∴a≠0,顶点坐标为(0,a)
当a>0,图形开口向上,(0,a)在y轴的正向,如图(A)
当a<0,图形开口向下,(0,a)在y轴的负向
故选(A)
16.A
详解:
设此二次函数为y=ax2+bx+c
过
代入、得,解出
y=ax2+bx+c=3x2+6x-5=3(x+1)2-8
当x=-1时,此二次函数有最小值-8,
故选(A)
17.C
详解:
由y=x2+6x-7
=(x+3)2-16=(x+7)(x-1)
可以得到A、B、D三点坐标为:
A(-7,0)、B(1,0)、D(-3,-16)
设新图形为y=(x+3-9)2-16-m
由下图可知新图形亦通过B点
以B(1,0)代入y=(x+3-9)2-16-m
0=25-16-mm=9
故选(C)
18.C
详解:
解-(x-)(x-5)=0
得B(,0)、C(5,0)
由二次函数的对称性可知:
顶点A的x坐标=(+5)=3
以x=3代入y=-(x-)(x-5)中
得y=-××(-)=10
△ABC的面积=×(5-)×10=25
故选(C)
19.C
详解:
平移后得到的二次函数为:
y=2(x-5)2-2
所以顶点坐标为(5,-2),故选(C)
20.B
详解:
y=-2x2-8x-9
=-2(x+2)2-1
顶点P的坐标为(-2,-1)
将y=-3代入y=-2x2-8x-9得:
-2x2-8x-9=-3
(x+3)(x+1)=0
x=-3或x=-1
△PQR的面积
=×∣-3-(-1)∣×∣-3-(-1)∣
=×2×2=2
故选(B)
21.D
详解:
依题意画简图如下:
由上图可知
=>=
故选(D)
22.D
详解:
设增加x人,总收入为y元
y=(60+x)(7550-100x)=-100x2+7550x-6000x+453000
=-100x2+1550x+453000=-100(x2-x)+453000=-100[x2-x+()2]+453000+100×()2=-100(x-)2+453000+
但x必为正整数,故令x为最接近的正整数8
当x=8,y=(60+x)(7550-100x)=68×6750=459000(元),故选(D)
23.A
详解:
与x轴只有一个交点判别式=0
(-20)2-4×4×m=0m=25
此交点的x坐标n=-=-=
m-10n=25-10×=0
故选(A)
24.B
详解:
甲:
D=22-4×1×4<0
乙:
D=22-4×1×(-4)>0
丙:
D=(-2)2-4×1×4<0
丁:
D=(-2)2-4×1×(-4)>0
所以甲、丙恒在x轴上方,共两个,故选(B)
25.D
详解:
y=3x2+kx-6为开口向上的拋物线
且与y轴交于(0,-6),因此顶点必在x轴的下方,即顶点的y坐标为负
又顶点的x坐标=-=->0
因此顶点在第四象限,故选(D)
26.A
详解:
(A)y=-(x+1)2+5,顶点为(-1,5),对称轴x=-1
(B)y=x2+4x=(x+2)2-4,顶点为(-2,-4)
(C)y=(2x-4)2+1=4(x-2)2+1,顶点为(2,1),对称轴x=2
(D)y=-x2-4x=-(x+2)2+4,顶点为(-2,4)
故选(A)
27.B
详解:
y=-3x2+6x-1=-3(x2-2x+1)+3-1=-3(x-1)2+2
顶点为(1,2),开口向下
又图形与y轴的交点为(0,-1),则
图形不经过第二象限,故选(B)
28.C
详解:
y=6x-1-3x2=-3(x-1)2+2
a=2,b=-3a+b=-1,故选(C)
29.C
详解:
设C(x),则=x,=12-x
×=x(12-x)=-x2+12x=-(x-6)2+36
所以×的最大值为36,故选(C)
30.C
详解:
二次函数图形的最低点的x坐标为=-1
31.B
详解:
设此二次函数为y=a(x-3)2-2
过(0,7),得7=a(0-3)2-2,解出a=1
y=(x-3)2-2=x2-6x+7
各项系数和=1+(-6)+7=2,故选(B)
32.A
详解:
(A)顶点(0,-1),与原点距离|-1|=1
(B)顶点(0,-3),与原点距离|-3|=3
(C)顶点(0,2),与原点距离|2|=2
(D)顶点(0,-2),与原点距离|-2|=2
故选(A)
33.A
详解:
设长x公尺,宽(30-x)公尺
y=x(30-x)=-(x-15)2+225
当x=15时,y有最大值225,故选(A)
34.D
详解:
a<0→图形开口向下,c>0→图形与y轴交于正向,故选(D)
35.B
详解:
B的开口向上、且开口大小比A大,故选(B)
36.A
详解:
(B)、(C)、(D)的顶点均为(0,3)
(A)的顶点为(0,0)
故选(A)
37.B
详解:
先求出L:
y=ax-b与x轴交于(,0),与y轴交于(0,-b)
-b>0b<0;>0a<0
y=ax2-bx-3开口向下
顶点的x坐标=>0,故选(B)
38.B
详解:
因为顶点为(1,-3)
所以这个二次函数可以假设为y=a(x-1)2-3
又因为它的图形过(0,-5)
因此-5=a(0-1)2-3,解出a=-2
即此二次函数为y=-2(x-1)2-3=-2x2+4x-5
因此a=-2,b=4,c=-5
所以a-b-c=(-2)-4-(-5)=-1
故选(B)
39.D
详解:
y=x2-4x+5=(x-2)2+1m=1
当x=0,y=5M=5
M+m=5+1=6,故选(D)
40.A
详解:
(A)为二次函数,故选(A)
41.B
详解:
设矩形的长、宽分别为x公分和(12-x)公分,面积为y平方公分
则y=x(12-x)=-x2+12x=-(x-6)2+36
所以矩形的最大面积为36平方公分,故选(B)
42.A
详解:
y=2x2+4图形的顶点为(0,4)
y=2(x-3)2-4图形的顶点为(3,-4)
所以要先向右移动3个单位,再向下移动8个单位
43.B
详解:
二次函数图形开口向下,有最高点
(A)为一次函数,没有最低点
(B)为二次函数,图形开口向下,有最高点
(C)为二次函数,图形开口向上,有最低点
(D)为二次函数,图形开口向上,有最低点
故选(B)
44.C
详解:
∵|-3|>|-1|>|-|
∴开口的大小:
A>B>C
>>
故选(C)
45.B
详解:
此二次函数在x=-1时,有最大值8
因此若x的值越接近-1
则其对应的y值也越接近8
本题中的-最接近-1
故选(B)
46.C
详解:
由于S1的开口最小,S3的开口最大
因此|a1|>|a2|>|a3|……
又S1、S2、S3的开口皆向下
所以a1、a2、a3皆为负数……
由、可知a1<a2<a3
故选(C)
47.A
详解:
依题意画出简图如下:
令x=0,y=5,可得C0,5)
设B点在A点的右方
××5=
=
B点的x坐标为
将(,0)代入y=ax2+5中得0=a×()2+5
a=-4
故选(A)
48.A
详解:
因为函数图形通过(-1,0)与(3,0)
故设y=a(x+1)(x-3)
函数图形通过(2,3)
以(2,3)代入y=a(x+1)(x-3)
3=a×3×(-1)a=-1
此二次函数方程式为
y=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4
顶点坐标为A(1,4)
顶点与原点距离为=
故选(A)
49.B
详解:
y=-2x2图形的顶点为(0,0),开口向下,且通过(1,-2),故选(B)
50.D
详解:
依题意可画简图如下:
由=8与=8可知D点的坐标为(4,8)
设此拋物线为y=ax2
以D(4,8)代入得8=a×16a=
再由=12可知B点的y坐标为12
以y=12代入y=x2中,得12=x2x=±2,即B点的x坐标为2
=2×2=4,故选(D)
51.D
详解:
将y=6代入y=x2+2x-2得:
x2+2x-2=6x2+2x-8=0
(x+4)(x-2)=0
x=-4或x=2
=2-(-4)=6,故选(D)
52.A
详解:
设此二次函数为y=ax2+bx+c
过
解方程式可得到a=-3,b=-12,c=-15
所以此二次函数为y=-3x2-12x-15
y=-3x2-12x-15
=-3(x2+4x+4)-15+12
=-3(x+2)2-3
因此顶点为(-2,-3)
故选(A)
53.D
详解:
(A)二次函数的图形一定是拋物线
(B)正确
(C)x2项的系数为-2<0,故其图形开口向下
(D)其图形的对称轴为x=1,此选项错误
故选(D)
54.D
详解:
图形的开口方向及大小相同时,
即可经过平移重合
y=(x+3)2-1,x2项系数=1,且大于0
故选(D)
55.B
详解:
y=-(x+2+3)2
y=-(x+5)2
故选(B)
56.D
详解:
设其中一段为x公分,则另一段长为(20-x)公分
两正方形的面积和=x2+(20-x)2=2x2-40x+400=2(x2-20x+100)+400-200=2(x-10)2+200≧200
所以两正方形面积和的最小值为200平方公分,故选(D)
57.C
详解:
-2与b为ax2+5x+30=0的两根
所以a×(-2)2+5×(-2)+30=0a=-5
两根之和:
-2+b=-=1b=3
故选(C)
58.C
详解:
y=-2x2+4x-7
=-2(x2-2x+1)-7+2
=-2(x-1)2-5
顶点为(1,-5)在第四象限
故选(C)
59.D
详解:
有最低点a>0……
顶点在y轴的右方->0……
代入得b<0
(a,b)在第四象限,故选(D)
60.D
详解:
y=4x2-8x=4(x2-2x)=4(x2-2x+1)-4=4(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4)
(A)y=2x2-4x=2(x2-2x)=2(x2-2x+1)-2=2(x-1)2-2,顶点坐标为(1,-2)
(B)y=-2(x+1)2,顶点坐标为(-1,0)
(C)y=2(x+1)2+4,顶点坐标为(-1,4)
(D)y=-2(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4)
故选(D)
61.C
详解:
将A(-1,a)代入y=2x2
得a=2
再将B(-2,b)代入y=2x2
得b=8A(-1,2)、B(-2,8)
==
故选(C)
62.C
详解:
以(3,a)代入y=2x2-5x+6
得a=2×32-5×3+6=9
以(2,b)代入y=2x2-5x+6
得b=2×22-5×2+6=4
a-b=9-4=5,故选(C)
63.A
详解:
设此二次函数为y=a(x-3)2+b
将(1,1)与(0,5)代入上式得:
解得a=,b=-
此二次函数为y=(x-3)2-
所以此二次函数的图形会通过(2,-),故选(A)
64.B
详解:
设矩形宽x公尺,长(100-2x)公尺,面积为y平方公尺
y=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x2-50x+252)+2×252=-2(x-25)2+1250
所以矩形的最大面积为1250平方公尺,故选(B)
65.A
详解:
甲、乙两函数的二次项系数皆为+1
因此它们的图形的开口大小与开口方向皆相同
平移后可重迭在一起,故选(A)
66.B
详解:
y=16x2+mx+49的图形与x轴交于一点
y=16x2+mx+49=(4x7)2
∵P点在x轴的正向
∴P(,0)
P介于A(1,0)和B(2,0)之间,故选(B)
67.D
详解:
设此二次函数为y=a(x+2)2+b
将(-1,6)与(1,-10)代入上式
解得a=-2,b=8
y=-2(x+2)2+8=-2x2-8x
故选(D)
68.D
详解:
由题意得此图形的对称轴为x=-2
此二次函数为y=8(x+2)2+k
8(x+2)2+k=8x2+bx+c
8x2+32x+32+k=8x2+bx+c
b=32
故选(D)
69.A
详解:
y=x2-2x+c=x2-2x+1+c-1=(x-1)2+c-1
因为最小值为4,所以c-1=4,即c=5,故选(A)
70.B
详解:
(-4)2-4×a×2>0,16-8a>0,a<2
故选(B)
二、填充:
(每题0.5分,共30分)
1.2
详解:
k=2
2.-28,(-,0)
详解:
图形与x轴只交于一点
m2-4×(-49)×(-4)=0m=±28
顶点的x坐标<0m与-49同号m=-28
y=-49x2-28x-4=-49(x+)2,A(-,0)
3.1250,2000
详解:
(1)xy=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250≦1250
所以xy的最大值为1250
此时x=25,y=50
(2)x2+y2=x2+(100-2x)2=5x2-400x+10000=5(x-40)2+2000≧2000
所以x2+y2的最小值为2000
此时x=40,y=20
4.2
详解:
设此二次函数为y=a(x-2)2+b
将(3,-1)与(4,8)代入上式得:
解得a=3,b=-4
此二次函数为y=3(x-2)2-4
顶点坐标为(2,-4)
故所求为=2
5.-
详解:
y=a(x+2)2+3
顶点P为(-2,3)
H点为(-2,-4)
△PQR的面积=××
21=××7
=6=3
R点坐标为(1,-4)
y=a(x+2)2+3过R(1,-4)
-4=9a+3a=-
6.
详解:
x=2时,y=ax2=a×22=4a
x=4时,y=ax2=a×42=16a
依题意可知16a-4a=6,解出a=
7.1:
1:
1
详解:
y=(a+b)x2+2cx-(a-b)=(a+b)(x+)2-
(a+b)x2+2cx-(a-b)=(a+b)x2+(a+b)x-
比较系数可得
2c=a+b……,a-b=a=b……
代入得2c=a+aa=c
故a:
b:
c=1:
1:
1
8.-1
详解:
y=4+x2图形的顶点为(0,4)……
y=-x2-6图形的顶点为(0,-6)……
两图形对称于y=k
两顶点必对称于y=k……
由、、得:
k==-1
9.(0,-8)
详解:
甲:
y=30x-x2
=-(x2-30x+225)+225=-(x-15)2+225
乙:
y=-(x-15)2+225-8
以x=0代入乙得y=-225+225-8=-8
故乙图形与y轴的交点为(0,-8)
10.四
详解:
与y轴交于负向处c<0
以x=1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=y
由图形可看出a+b+c>0
点(a+b+c,c)=点(+,-)在第四象限
11.-7
详解:
(,-)与(-1,-)为y=3x2+bx+c图形上的两个对称点
这两个对称点的对称轴亦为二次函数y=3x2+bx+c图形的对称轴
故对称轴方程式为x=[(-1)+]÷2==-b=-7
12.
详解:
设===x公尺
则==公尺,如下图所示
养鸡场的总面积=长方形ABCD的面积
=×=x×=-(x-)2+≦
所以养鸡场总面积的最大值为平方公尺
13.-
详解:
设此二次函数为y=a(x-3)2-8
由题意得Q、R两点的距离为=6
Q、R两点的坐标为(6,0)、(0,0)
将(0,0)代入y=a(x-3)2-8得a=
又ax2+bx+c=a(x-3)2-8
∴b=-6a=-
14.4
详解:
x2+2x+5=(x+1)2+4有最小值4
有最大值=4
15.k<且k≠-2
详解:
(2k+1)2-4(k+2)k>0
4k2+4k+1-4k2-8k>0
-4k+1>0,k<
又k+2≠0,k≠-2
故k<且k≠-2
16.向下,x=-,(-,)
详解:
y=-x-x2
=-(x2+x+)++
=-(x+)2+
因此图形的开口向下
对称轴方程式为x=-
顶点坐标为(-,)
17.
(1)-x2+x+
(2),
详解:
=x,则=2x,=1-x
(1)四边形CDEF的面积=正方形ABCD-△AEF-△FBC=1--=1-x2-+x=-x2+x+
(2)-x2+x+=-[x2-x+()2]++=-(x-)2+
故当x=时,四边形CDEF有最大面积为
18.y=2x2+4x-1
详解:
设二次函数为y=a(x+1)2+b
将(1,5)、(-2,-1)带入上式得:
解得a=2,b=-3
故此二次函数为y=2(x+1)2-3=2x2+4x-1
19.-1
详解:
已知顶点为(2,4),且a<0
设y=a(x-2)2+4
展开得y=a(x2-4x+4)+4=ax2-4ax+4a+4
a=-1,b=0
a+b=-1+0=-1
20.-2x2+7
详解:
由(2,-1)与(-2,-1)两点可知
该二次函数图形的对称轴为y轴
又其图形与y轴交于(0,7)
因此可设此二次函数为y=ax2+7
由于通过(2,-1)
所以-1=a×22+7
a=-2
故此二次函数为y=-2x2+7
21.
(1)32
(2)8
详解:
设其中一股长为x公分,另一股长为16-x公分
(1)面积=×x×(16-x)=-(x-8)2+32≦32
所以此直角三角形的最大面积为32平方公分
(2)斜边长==≧=8
所以斜边长的最小值为8公分
22.1
详解:
设此二次函数为y=(x-1)2+k
将(-1,6)代入上式得:
6=(-1-1)2+kk=2
∴y=x2+bx+c=(x-1)2+2
x2+bx+c=x2-2x+3
∴b=-2,c=3
故b+c=-2+3=1
23.
(1)<
(2)> (3)< (4)=
详解:
(1)图形开口向下a<0
(2)与x轴的交点位与x轴的负向b>0
(3)与y轴的交点(0,c)位于y轴的负向c<0
(4)图形与x轴只有1个交点
函数有重根,判别式=0
(-b)2-4ac=b2-4ac=0
24.a2
详解:
依题意画出简图如下:
由上图可知
A、B两点坐标为
A(a,a2)、B(a,a2)
=a2-a2
=a2
25.-
详解:
利用对称轴的概念得=
a=-
26.(0,10)
详解:
设a=2k、b=4k、c=5k(k≠0)
y=ax2+bx+c=2kx2+4kx+5k=2k(x+1)2+3k
有最小值6,所以3k=6,
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