第十五章整式的乘除与因式分解导学案.docx

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第十五章整式的乘除与因式分解导学案

15.1.1同底数幂的乘法第1课时

学习目标：

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

重　点：

正确理解同底数幂的乘法法则

难　点：

正确理解和应用同底数幂的乘法法则

学习方法：

归纳、概括

一．提出问题，创设情境

复习

的意义：

表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

提出问题：

问题：

一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

二．导入新课

1．做一做

计算下列各式：

（1）25×22

（2）a3·a2

（3）5m·5n（m、n都是正整数）

2．议一议

am·an等于什么（m、n都是正整数）？

为什么？

“同底数幂相乘，底数__________，指数____________”．

3．练习

（1）x2·x5

（2）a·a6

（3）2×24×23

（4）xm·x3m+1

[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？

三．随堂练习

1．课本P170练习

四．反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．1．2幂的乘方

学习目标：

1．会进行幂的乘方的运算。

．

2．了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．

重　点：

会进行幂的乘方的运算

难　点：

幂的乘方法则的总结及运用

学习方法：

归纳、概括

一．提出问题，创设情境

计算

（1）（x+y）2·（x+y）3

（2）x2·x2·x+x4·x

（3）（0.75a）3·（

a）4

（4）x3·xn-1－xn-2·x4

二．导入新课

1．做一做

表示_________个___________相乘.

表示_________个___________相乘.

在这个练习中，要引导学生观察，推测（62）4与（a2）3的底数、指数。

并用乘方的概念解答问题。

=________×_________×_______×________

=__________（根据an·am=anm）

=__________

=_______×_________×_______

=__________（根据an·am=anm）

=__________

2．议一议

（am）n=________×________×…×_______×_______

=__________（根据an·am=anm）

=__________

即（am）n=______________（其中m、n都是正整数）

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方,底数__________,指数__________.

3．练习

计算下列各题：

（1）（103）3

（2）[（

）3]4（3）[（－6）3]4

（4）（x2）5（5）－（a2）7（6）－（as）3

（7）（x3）4·x2（8）2（x2）n－（xn）2

（9）[（x2）3]7

三．反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．1．3积的乘方

学习目标：

1．会进行积的乘方的运算。

．

2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

重　点：

积的乘方运算法则及其应用．

难　点：

幂的运算法则的灵活运用

学习方法：

归纳、概括

一．提出问题，创设情境

若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

二．导入新课

1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？

（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（）b（）

（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）

（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）

2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．

3．解决前面提到的正方体体积计算问题．

4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？

请验证你的想法．

三、随堂练习

（1）（2a）3

（2）（-5b）3=

（3）（xy2）2

（4）（-2x3）4

四．反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．1．4整式的乘法

学习目标：

探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

重　点：

单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则

难　点：

多项式与多项式相乘

学习方法：

归纳、概括、总结

第一课时：

（一）知识回顾：

回忆幂的运算性质：

am·an=am+n（am）n=amn（ab）n=anbn（m，n都是正整数）

（二）创设情境，引入新课

1．问题：

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?

2．分析解决：

（3×105）×（5×102）=（3×5）×（105×102）=15×107

3．问题的推广：

如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？

ac5·bc2

=（a·c5）·（b·c2）

=（a·b）·（c5·c2）

=abc5+2

=abc7

（三）自己动手，得到新知

1．类似地，请你试着计算：

（1）2c5·5c2；

（2）（-5a2b3）·（-4b2c）

2．得出结论：

单项式与单项式相乘：

把它们的系数、相同字母分别_______________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__________作为积的一个因式．

（四）巩固结论，加强练习

例：

计算：

（-5a2b）·（-3a）（2x）3·（-5xy2）

练习：

P145练习1，2

附加练习：

1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?

2．

（-10xy3）（2xy4z）（-2xy2）（-3x2y3）（

xy）

3.3（x-y）2·[

（y-x）3][

（x-y）4]

4.判断：

单项式乘以单项式，结果一定是单项式（）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（）

5.计算：

0.4x2y·（

xy）2-（-2x）3·xy3

（四）．反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

整式的乘法第二课时：

（一）知识回顾：

单项式乘以单项式的运算法则

（二）创设情境，提出问题

1．问题：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶），分别是a,b,c。

你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

2．学生分析：

【1】

3.得到结果：

一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，

即总收入为：

________________

另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和

即总收入为：

________________

所以：

m（a+b+c）=ma+mb+mc

4．提出问题：

根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？

（三）总结结论【2】

单项式与多项式相乘：

就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相_____。

即：

m（a+b+c）=_________________

（四）巩固练习

例：

2a2·（3a2-5b）

）（-4x2）·（3x+1）;

练习：

P146练习1，2

（五）附加练习

1．若（-5am+1b2n-1）（2anbm）=-10a4b4，则m-n的值为______

2．计算：

（a3b）2（a2b）3

3.计算：

（3a2b）2+（-2ab）（-4a3b）

4.计算：

5．计算：

6．已知

求

的值

7．解不等式：

8．若

与

的和中不含

项，求

的值，并说明不论

取何值，它的值总是正数

（六）．反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

整式的乘法第三课时：

（一）回顾旧知识

单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则

（二）创设情境，感知新知

1．问题：

为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？

2.提问：

用几种方法表示扩大后绿地的面积?

不同的表示方法之间有什么关系?

3．学生分析得出结果

（三）学生动手，推导结论

1.引导观察：

等式的左边（a+b）（m+n）是两个多项式（a+b）与（m+n）相乘，把（m+n）看成一个整体，那么两个多项式（a+b）与（m+n）相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．

2．学生动手得到结论：

多项式与多项式相乘：

先用一个多项式的_________乘另一个多项式的_________，再把所得的积_________．

（四）巩固练习

例：

练习：

例：

先化简，再求值：

（a-3b）2+（3a+b）2-（a+5b）2+（a-5b）2，其中a=-8,b=-6

练习：

化简求值：

，其中x=

一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少?

（五）深入研究

1.计算：

①（x+2）（x+3）；②（x-1）（x+2）；

2.

③（x+2）（x-2）；④（x-5）（x-6）；

⑤（x+5）（x+5）；⑥（x-5）（x-5）；

3.计算：

（x+2y-1）2

4.已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．

（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）

（六）．反思归纳xkb1.com

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．2．1平方差公式

学习目标：

1．经历探索平方差公式的过程．

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

重　点：

平方差公式的推导和应用

难　点：

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

学习方法：

归纳、概括、总结

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999

（2）998×1002

Ⅱ．导入新课

计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

（3）（2x+1）（2x-1）

（4）（x+5y）（x-5y）

结论：

两个数的和与这两个数的__________的积，等于这两个数的___________．

即：

（a+b）（a-b）=a2-b2

例1：

运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

（3）（-x+2y）（-x-2y）

例2：

计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

Ⅲ．随堂练习

计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

（3）（3a+2b）（3a-2b）

（4）（a5-b2）（a5+b2）

（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．3．2．1完全平方公式

（一）

学习目标：

1．完全平方公式的推导及其应用．

2．完全平方公式的几何解释．

重　点：

完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用

难　点：

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

学习方法：

归纳、概括、总结

Ⅰ．提出问题，创设情境

一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…

（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？

多多少？

为什么？

Ⅱ．导入新课

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；

（2）（m+2）2=_______；

（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；

（4）（m-2）2=________；

（5）（a+b）2=________；

（6）（a-b）2=________．

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）____________的2倍．

（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

你能根据图

（1）和图

（2）中的面积说明完全平方公式吗？

应用举例：

[例1]应用完全平方公式计算：

（1）（4m+n）2

（2）（y-

）2

（3）（-a-b）2（4）（b-a）2

[例2]运用完全平方公式计算：

（1）1022

（2）992

Ⅲ．随堂练习

课本P181练习1、2．

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．2．2．2完全平方公式

（二）

学习目标：

1．添括号法则．

2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式

重　点：

理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用

难　点：

在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．

学习方法：

归纳、概括、总结

Ⅰ．提出问题，创设情境

请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．

（1）4+（5+2）

（2）4-（5+2）（3）a+（b+c）（4）a-（b-c）

去括号法则：

去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都_______________；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都_______________________．

1．在等号右边的括号内填上适当的项：

（1）a+b-c=a+（）

（2）a-b+c=a-（）

（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（）

2．判断下列运算是否正确．

（1）2a-b-

=2a-（b-

）

（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）

（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）

（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）

Ⅱ．例：

运用乘法公式计算

（1）（x+2y-3）（x-2y+3）

（2）（a+b+c）2

（3）（x+3）2-x2

（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）

Ⅲ．随堂练习

课本练习

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．3．1同底数幂的除法

学习目标：

1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．

2．同底数幂的除法的运算算理．

重　点：

准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

难　点：

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．

学习方法：

归纳、概括、总结

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．叙述同底数幂的乘法运算法则．

2．问题：

一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

Ⅱ．导入新课

请同学们做如下运算：

1．

（1）28×28

（2）52×53

（3）102×105（4）a3·a3

2．填空：

（1）（）·28=216

（2）（）·53=55

（3）（）·105=107（4）（）·a3=a6

3.思考：

（1）216÷28=（）

（2）55÷53=（）

（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（）

要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：

同底数幂相除，底数____________，指数____________

即：

am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）

例题讲解：

（出示投影片）

1．计算：

（1）x8÷x2

（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2

2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？



（1）32÷32=（）

（2）103÷103=（）

（3）am÷an=（）（a≠0）

1．解：

（1）x8÷x2=x8-2=x6．

（2）a4÷a=a4-1=a3．

（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．

规定：

a0=1（a≠0）

即：

任何_______________的数的0次幂都等于1．

Ⅲ．随堂练习（课本）

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15．3．2整式的除法

第一课时

学习目标：

1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．单项式除以单项式的运算算理．

重　点：

单项式除以单项式的运算法则及其应用

难　点：

探索单项式与单项式相除的运算法则的过程

学习方法：

归纳、概括、总结

Ⅰ．提出问题，创设情境

问题：

木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

讨论：

（1）计算（1.90×1024÷（5.98×1021）．说说你计算的根据是什么？

（2）你能利用

（1）中的方法计算下列各式吗？

8a3÷2a；5x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2．

（3）你能根据

（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？

Ⅱ．导入新课

可以从两方面考虑：

1．从乘法与除法互为逆运算的角度．

5.98×1021·（0.318×103）=1.90×1024．

所以（1.90×1024）÷（5.98×1021）=________________

2．还可以从除法的意义去考虑．

12a3b2x3÷3ab2=

·x3=4a2x3．

共同特征：

（1）都是________________除以单项式．

（2）运算结果都是把________、__________分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________一起作为商的一个因式．

（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．

例：

计算

（1）28x4y2÷7x3y

（2）-5a5b3c÷15a4b

（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

Ⅲ．随堂练习（课本）

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

整式的除法

第二课时：

（一）回顾单项式除以单项式法则

（二）学生动手，探究新课

1.计算下列各式：

（1）（am+bm）÷m；

（2）（a2+ab）÷a；

（3）（4x2y+2xy2）÷2xy．

2.提问：

①说说你是怎样计算的②还有什么发现吗?

（三）总结法则

1．多项式除以单项式：

先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商______

2．本质：

把多项式除以单项式转化成______________

3．解决问题

例：

（1）（12a3-6a2+3a）÷3a；

（2）（21x4y3-35x3y2+7x2y2）÷（-7x2y）；

（3）[（x+y）2-y（2x+y）-8x]÷2x

（四）小结

1．单项式的除法法则

2．应用单项式除法法则应注意：

1系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

2把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

3要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

多项式除以单项式法则

（五）．随堂练习（课本）

反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15.4.1提公因式法

（一）

学习目标：

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式

重　点：

能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来

难　点：

让学生识别多项式的公因式.

学习方法：

归纳、概括、总结

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为________________,或__________________________

ma+mb+mc_______m（a+b+c）

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做_____________

2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

（2）7x2－21x;

（3）8a3b2－12ab3c+abc

（4）－24x3－12x2+28x.

3.议一议

通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.

首先找各项系数的____________________，如8和12的最大公约数是4.

其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最___________的.

4、课堂练习

（一）随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb 2）4kx－8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b－2ab2+ab 

2.把下列各式分解因式

（1）8x－72

（2）a2b－5ab

（3）4m3－6m2（4）a2b－5ab+9b

5、［例2］把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）;

（2）6（m－n）3－12（n－m）2.

（3）a（x－3）+2b（x－3）分解因式.

  反思归纳

1、本节课学习的内容

2、本节课的数学思想方法

15.4.2公式法

（一）

学习目标：

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式

重　点：

掌握运用平方差公式分解因式.

难　点：

将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；