兰州交通大学数学建模竞赛论文汽车安全带法实施带来的利益分配.docx
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兰州交通大学数学建模竞赛论文汽车安全带法实施带来的利益分配
2014年兰州交通大学
数学建模竞赛论文
(B题)
参赛队员:
摘要
本文主要讨论汽车安全带法规带来的利益问题,以及保险公司与客户之间此利益的分配问题。
我们通过分析从收入与支出关系建立了模型一,从各类投保人数的相应变化情况建立了模型二。
模型一:
保险公司每年的支出主要有给付客户的医疗费、修理费、死亡补偿费、退还费和基本业务支出构成;而主要收入只有保险费一项。
我们了解到汽车保险费分为基本保险和附加保险两部分,一般来说,附加保险主要用于支付保险公司的日常营业费用,即基本支出,这部分费用对下一年的保险决策影响很小,可假定不变,本文中将次部分的保险费用忽略不计。
由相关的概率知识知道风险投费在数量上等于汽车赔款的期望值。
保险公司保持现有收益规模,这就是要求保险公司平均从每个客户身上所得到的利润额保持不变,即C均不变。
模型二:
通过查阅我国的2002~2013年的汽车销量,利用得到的数据运用MATLAB进行曲线拟合,发现自2010年以来我国汽车销量呈线性增长,我们假设新投保人数与汽车销量的增长率相等,得到新投保人数的增长率v,于是可得新投保人数的关系式:
Sj=S0*(1+v)j;又由概率论与数理统计的相关知识,运用泊松分布来求得索赔人数与总体投保人数之间的关系:
B索=B总(1-e-λi),随后在建立各个变量之间的关系。
最终通过模型的求解,得到结果如下:
问题一:
P1=1065元;P2=1069元;P3=1071元
问题二:
U1=1109元;U2=1112元;U3=1114元
汽车安全带法实施带来的利益分配1.问题的提出:
某保险公司只提供提年期的综合车险保单业务,在这一年内,如果客户没有要求赔偿,则给予额外补偿。
保险公司将所有参保人被分为0、1、2、3四类,类别越高,从保单中获得的折扣越多,在计算保险费时,新投保客户属于0类,在客户延续保单时,若在上一年没有要求赔偿,则提高一个类别进行打折扣;若客户在上一年要求赔偿过,如果可能则降低两个类别进行打折,否则为0类。
客户退保时,不论自然死亡还是事故死亡都将退还起本年度的打折部分。
现在政府准备实施安全带法规,如果实施了该法,虽然每年的事故数量不会减少,但事故中受伤的司机和乘客数量肯定会减少,从而医药费将有所下降,调查发现医药费会减少20%到40%,死亡的司机也会减少40%。
要求在本年度每份保单的保费为1225元,预计医疗费会下降30%的情况下求解下列问题:
问题一:
保险公司在保持现有收益规模的情况下,将安全带法则带来的利益全部反还给投保客户,建立数学模型,预计今后3年保险公司每年应该收取的保险费用。
问题二:
如果考虑到安全带法则带来的利益均衡问题,有保险公司和投保客户共同分享安全带法带来的利益,重新解决问题一。
2.问题的分析:
2.1保持公司现有收益规模,将安全带法则带来的的利益全部返还给投保客户,这就要求我们计算出在实施此法规之前保险公司可获得的总利润额△W0总,然后算出公司可从每个客户身上获得的利润额C均=△W0总/N0总,设以后每年的保险费为Pj,可得方程式:
Pj-Wj总赔/Nj总=C均。
2.2根据实际情况,我们知道,如果实施了安全带法规,各保险公司为了与其他保险公司竞争,都会采取合理可行的的保险费用下调方案。
这样,各公司客户数额不会发生太大的变化,和问题一所预测的增长应该是相吻合的。
因此,在该公司合理解决了此利益均衡问题后,不会对保单的发放情况产生影响,问题一所得出的各类客户人数对问题二完全适用。
我们只需考虑如何才能使得利益在保险公司与投保客户这两个对立者中均衡的问题,于是我们联想到,在实施安全带法则之前,保险公司在综合多种因素的考虑下所制定的保险费用相对于公司和客户应该说是都达到了利益的均衡,这是经过实践检验过的。
所以我们从公司在实施安全带法则之前的利润率出发,得出当利润率不变时所求得的保险费即为保险公司与客户二者利益均衡点。
那我们的问题将转化为下列问题:
①年利率w;②以后3年隔年总费用的期望值。
3.模型的假设:
(1)新投保人数与新投保人数与汽车销量的增长率相等;
(2)注销人数等于自动退保人数与死亡人数之和;
(3)每年的平均修理费、医疗费、死亡赔偿费保持不变;
(4)每个人的索赔次数服从泊松分布;
(5)受伤索赔过的人不注销;
(6)死亡人数的减少量转化为受伤人数;
4.符号的说明:
A:
本年度人数;
B:
下一年度人数;
i:
参保客户的类别,i=0,1,2,3;
j:
记本年度为第0年,以后各年为第1,2,3年;
△W0总:
实施此法规之前保险公司可获得的总利润;
C均:
实施此法规之前保险公司从每个客户身上可获得的利润;
Pj,Uj:
第j年每份保单的保险费;
Pi药:
第i类客户的医药费;
Hi:
第i类客户的赔偿费用;
Xi:
第i类客户的修理费用;
Si:
第i类客户的死亡赔偿;
Ti退:
第i类客户的退还费用;
Nji总:
第j年第i类客户的总投保人数;
Nji伤:
第j年第i类客户的受伤人数;
Nji索:
第j年第i类客户的索赔人数;
Nji死:
第j年第i类客户的死亡人数;
Nji续:
第j年第i类客户的续保人数;
Nj新:
第j年新投保人数;
5.模型的建立及求解:
5.1建立以后各年每份保单的保费与人均利润额的关系式:
Wj总赔=P0索*N0索;
△W0总=P0*N0总-Wj总赔;
C均=△W0总/N0总
由以上三式可得:
C均=P0-(P0i赔*N0i赔+N0i退*Ti退)/N0总
死亡赔偿:
Si=(Hi-Xi-Pi药)*N0i索/N0i死;
以后3年每年应收取的保险费用:
Pj=Wj总赔/Nj总+C均
5.2建立各类投保人以及各类索赔人之间的关系:
总投保人数:
Nji总=Nji新+Nji续;
受伤人数:
Nji伤=Nji索-Nji死;
5.2.1分析表一、二可得:
①下一年0类续保人数=0类索赔人数+1类降为0类的人数(1类索赔人数-1类死亡人数):
B0续=A0索-A0死+A1索-A1死+A2索-A2死;
②下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数(3类索赔人数-3类死亡人数):
B1续=A0总-A0索-A0注+A0死+A3索-A3死;
③下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数):
B2续=A1续-A1索-A1注+A1死;
④下一年3类续保人数=2类升为3类的人数(2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数)+3类续保人数-3类注销人数+3类死亡人数:
B3续=A2续-A2索-A2注+A2死+A3续-A3索-A3注+A3死;
5.2.2现在分析新投保人数的变化情况:
首先我们从国家统计局网站上查阅到了我国2002~2013年各年的汽车销量,利用MATLAB进行曲线拟合,得到如下图形曲线:
从上面的图形曲线我们可以看出,自2010年以来我国汽车销量呈平稳上升趋势,增长率基本稳定在10%左右,由假设新投保人数的增长率与汽车销量的增长率相等,得到新投保人数的增长率,为了数据更为准确,这里我们取增长率v=0.100419,于是可得新投保人数的关系式:
Nj新=N0新*(1+v)j,N0新=384620,通过C语言编程计算可得结果如下表:
年份
0
1
2
3
新投保人数
384620
423243
465745
5122514
5.2.3分析索赔人数:
由概率论与数理统计的相关知识可知,对于试验发生概率很小,二实验次数很多的随机过程,都可以很自然地应用泊松分布的理论。
在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布,所以他索赔k次的概率P为:
Pi(K=k)=e-λ*λik(λi>0)
所以,他至少索赔一次的概率:
μi=P(k≥1)=1-Pi(k=0)=e-λi
所以总人数中x个人中索赔的概率为:
Pi(x)=Cnx*μix*(1-μi)n-x=Cnk*(1-e-λ)*(e-λ)n-k
所以:
λi=㏑Nji总-㏑(Nji总-Nji索)
Nji索=Nji总*(1-e-λi)
代入数据计算可得到个类索赔人数与总投保人数之间的关系:
类别(i)
λ
函数
第0类
0.4307
Nji索=Nji总*(1-e-0.4307)
第1类
0.4005
Nji索=Nji总*(1-e-0.4005)
第2类
0.1057
Nji索=Nji总*(1-e-0.1057)
第3类
0.00834
Nji索=Nji总*(1-e-0.0834)
5.2.4分析死亡人数:
由假设,死亡司机人数与索赔人数呈比例关系:
Nji死=N0i死/N0i索*Nji索
5.2.5分析退还折扣人数:
+Nj1注
退还折扣为25%的人数:
Nj1退=Nj0总-Nj0索-Nj0注+Nj0死+Nj3索-Nj3注+Nj3死+Nj1注-Nj1死;
退还折扣为40%的人数:
Nj2退=Nj1总-Nj1索-Nj1注+Nj1死+Nj2注-Nj2死;
退还折扣为50%的人数:
Nj3退=Nj3总-Nj3索-Nj3注+Nj3死。
5.3运用上述公式及本年度的统计报表,我们利用MATLAB语言编程运算得到如下数据:
表二:
医疗费下降后各类赔偿费用(平均费用)
类别(i)
修理费(元)
医疗费(元)
死亡赔偿费(元)
0
1020
1068
32459
1
1223
862
35775
2
947
576
59192
3
805
570
70157
表三:
实施安全带法规后第一年保单发放及各类索赔情况
类别(i)
没有索赔时的打折比例(%)
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔
人数
死亡司机人数
0
0
1243817
423243
13617
1667060
583381
6999
1
25
1769819
0
18967
1769819
584067
14028
2
40
1177509
0
13199
1177509
118111
1402
3
50
8769124
0
32164
8769124
701678
4213
表四:
实施安全带法规后第二年保单发放及各类索赔情况
类别(i)
没有索赔时的打折比例(%)
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔
人数
死亡司机人数
0
0
1263204
465745
14123
1728949
605039
7259
1
25
1783878
0
19118
1783878
588707
14139
2
40
1180827
0
13236
1180827
118443
1406
3
50
8798178
0
322743
8798178
704003
4227
表四:
实施安全带法规后第二年保单发放及各类索赔情况
类别(i)
没有索赔时的打折比例(%)
续保人数
新投保人数
注销人数
总投保人数
索赔
人数
死亡司机人数
0
0
1289834
512514
14723
1802348
630725
7567
1
25
1817093
0
19474
181
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