均值不等式及柯西不等式.docx
- 文档编号:12548082
- 上传时间:2023-04-20
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:24.47KB
均值不等式及柯西不等式.docx
《均值不等式及柯西不等式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《均值不等式及柯西不等式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
均值不等式及柯西不等式
武汉龙文教育学科指导讲义
授课对象
孙嘉钰
授课教师
杨鹏
授课时间
5-5
授课题目
不等式
(二)
课
型
复习
使用教具
讲义、白纸
授课目的灵便的运用均值不等式和柯西不等式求最值
授课重点和难点重点和难点在于如何用有效的方法去解决最值问题
参照教材网资
授课流程及授课详案
一、柯西不等式和均值不等式时间分配及备注
1、柯西不等式:
二维形式的柯西不等式:
(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时,等号成立.
三维形式的柯西不等式:
(a12
a22
a32)(b12
b22
b32)(a1b1
a2b2
a3b3)2.
一般形式的柯西不等式:
(a1
2
a2
2
...
an
2)(b1
2
b2
2
...
bn
2)
(a1b1
a2b2...anbn)2.
2、均值不等式及使用条件:
均值不等式,若a1,a2,
an
R
,则
a1
a2
an
na1
a2
an(nN)
n
(1)a1,a2,
an是正数;
(2)和(a1
a2
an)或(a1?
a2?
?
an)为定值;
(3)当且仅当a1
a2
an时,取等号。
在运用均值不等式解题时,必定满足“一正、二定、三相等”的条件。
但有的题目不能够直接利用均值不等式,因此要作一些技巧性转变、变形,才能求得正确的最值。
二例题:
1、柯西不等式向量求最值
1、设x,y,z
R,
x2
y2
z2
25
,试求x2y2z
的最大值与最小值。
答:
依照柯西不等式
(1x2y2z)2
[12
(2)2
22](x2
y2
z2)
即(x
2y
2z)2
925
而有
15
x
2y
2z
15
故x
2y
2z的最大值为
15,最小值为–15。
2、设x,y,z
R,2xy
2z
6
,试求x2
y2
z2之最小值。
答案:
考虑以下两组向量
v
–1,
–2)
v
=(
x,y,z)
根据柯西不等式
u=(2,
v
(uv)2
u
2
2
v
,就有
[2x
(1)y
(2)z]2
[22
(1)2
(2)2](x2
y2
z2)即
(2
xy
2)2
9(
2
2
2)
将
2xy2z6
代入其中,得
z
x
y
z
36
9(x2
y2
z2)而有
x2
y2
z2
4故x2
y2
z2
之最小值为4。
3、设x,y,z
R,2x
y
2z
6,求x2
y2
z2的最小值m,并求此时x、y、z之
值。
Ans:
m
4;(x,y,z)
(4,2,
4)
3
3
3
4设x,y,z
R,2x
2y
z
8
0,则(x
1)
2
(y
2)
2
(z
3)2之最小值为
解:
2x
2y
z
8
0
2(x
1)
2(y
2)
(z
3)
9,
考虑以下两组向量
v
)
v
)
(uv)
2
2
v
2
u=(
,v=(,
u
[2(x
1)
2(y
2)
(z
3)]
2
[(x
1)
2
(y
2)
2
(z
2
2
2
1
2
3)].(2
2
)
(x
1)2
(y
2)
2
(z
3)2
(
9)2
9
9
5设x,y,z
R,若2x3y
z3,则x2
(y1)2
z2
之最小值为________,又
此时y
________。
解:
2x3yz3
2x
3(y
1)
z(),
考虑以下两组向量
v
)
v
,
)
u=(,
,v=(
解
析
:
[x2
(y1)2
z2][22
(3)2
12](2x3y3z)2[x2
(y1)2
z2]
36
14
∴最小值18
7
x
y1
z
Q2x3yz3,2(2t)3(3t1)t3
2
3
t,
1
∴t
3
∴y
2
7
7
6设a,b,c均为正数且a
b
c
9,则4
9
16
之最小值为
a
b
c
解:
考虑以下两组向量
v
)
v
,
)
u=(
,v=(
(uv)2
u
v
(
2
a
3
b
4
c)2
(
4
9
16
)(a
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c)
(4
9
16
).9
(2
3
4)
2
81
a
b
c
4
9
16
81
9
a
b
c
9
7、设a,b,c
均为正数,且a2b3c
2,则1
2
3之最小值为________,此
a
b
c
时a________。
解:
考虑以下两组向量
v
)
v
,
)
u=(
,v=(
(uv)2
2
2
u
v
[(
a)2
(
2b)2
(3c)2][(
1)2
(2)2
(3)2]
(12
3)2
a
b
c
∴(
1
2
3)18,最小值为18
等号发生于
u//v故
a
2b
3c
a
b
c
1
2
3
a
b
c
∴abc
又a2b3c2
∴a
1
3
2、均值不等式几种常有的方法
一、凑正当
例1
设x<-1,求函数y(x1)
4
5的最值。
x
1
剖析:
欲用均值不等式来解。
因x10,则不满足“正”的条件,故需利用已知
条件调整其符号。
解:
因为x1,即x10,因此(x1)0,
则(x
1)
4
1
x
[
(x
1)
4
]
(x1)
。
4
2
[
(x
4
1)]
(x
1)
4
,即x
3
时,y有最大值,且ymax
4
51,y
当且仅当
(x1)
(x
1)
无最小值。
评注:
(1)本题经过“凑”,利用条件x
1
将有关项化为正当,从而满足公式中
正的条件。
否则就会出现(x
4
2
(x
4
4,则ymax
4
59的
1)
1)
x1
x1
错误。
(2)对于分式函数,常常等价转变成
y
a
0,b0,x
0)
的形式再
bx(a
x
求最值。
常用的转变方法有分别系数法、换元法等。
二、变定值
例2求函数f(x)
4x216
的最小值。
x2
1
剖析:
因4x216
其实不是“定值”,故不能够直接运用均值不等式,为此需对原式按
x2
1
x2
1拆(添)项重组。
解:
原函数化为
f(x)4(x2
1)
16
4
x
2
1
因为4(x2
1)
16
1
x2
24(x2
1)
16
1
16
x2
因此f(x)
16
412
。
当且仅当4(x2
1)
16
即x=1,x=-1时,f(x)min
12。
x2
1
评注:
经过拆(添)项,“变”也定值是本题求解的重点。
对此要弄清以“谁”为“基
准”(如本题中以x21为基准)来拆、添、配、凑,做到有的放矢。
例3
求函数y
x2(1
3x)(0
x
1)的最大值。
3
剖析:
因x2
(13x)
定值,故需拆凑使其满足定值条件,原函数中有一个因式
(1
3x),为使其余因式
x2与(1
3x)之和为定值,需以(
13x)为准将x2拆成
4
3x
3x,这时就有
3x
3x
(1
3x)定值。
9
2
2
2
2
解:
y
4
3x
3x
(1
3x)
9
2
2
4
3x
3x
(1
3x)
4
(
2
2
)
3
9
3
。
243
当且仅当3x
3x
1
3x,即x
2时,ymax
4
。
2
2
9
243
评注:
一般说,凑“和”为定值较难,它需要必定的技巧。
自然这种技巧本源于对
均值定理的真切理解和基本的恒等变形能力。
三、找等号
例4
求函数ycos2x
2
(xk
,k
Z)的最小值。
cos2
x
2
错解:
直接利用均值不等式,得
ycos2x2
cos2x
2cos2x222
cos2x
因此ymin22。
这种解法之因此错误,原因是cos2x2,即取不到“等”的条件。
cos2x
正解:
原函数拆项,得
y(cos2x1)1
cos2xcos2x
因为cos2x12,当且仅当cos2x1即cos2x1时等号成立,
cos2xcos2x
又因为xk(kZ)
2
因此0cos2x1,11,当且仅当cos2x1时取等号。
cos2x
上面两式同时取等号,故ymin213。
评注:
错解中取不到等号成立的条件是当cos2x2时,cos4x2,则
cos2x
cos2x2,这是不能够能的。
本例也告诉我们,在用均值不等式求三角函数最值时,既要考虑等号,又要考虑三
角函数的有界性,使等号成立的条件与三角函数的有界性保持一致。
四、综合变换
例5求函数y
2x2
3(x
0)
的最小值,以下解法可否正确?
为什么?
x
解法1:
y2x2
3
2x2
12
332x212
334,
x
x
x
xx
因此ymin334。
解法2:
y2x23
22x23
26x
x
x
当2x
2
3
312
,即x
时,
x
2
ymin2
3
12
3
2
6
324。
6
2
312
2
评注:
所给两种解法均有错误。
解法1错在取不到“等”,即不存在x使2x21
2
,
x
x
解法2错在2
6x
不是定值。
正解:
对原函数合理拆(添)项,得
y
2x2
3
2x2
3
3
x
2x
2x
33
2x
2
3
3
2x
2x
33
2
9
33
36
4
2
当且仅当2x2
3,即x
36时,ymin
3336。
2x
2
2
经过以上几例我们领悟到:
均值定理真重要,用于最值有诀窍,正确理解“正、定、
等”,合理进行拆、拼、凑。
练习:
1.已知x>0,y>0,且191,求xy的最小值。
xy
2.若a>0,b>0,且abab3,求ab的最小值。
3.求y
sinxcos2
x,x
(0,)的最大值。
2
答案与提示:
1.由1
9
1
(x1)(y
9)
9(定值),又知x>1,y>9,故当且
x
y
仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,(x
y)min
16
。
2.
由
a
b2
ab
,
得
abab32ab3ab2ab30(ab)min9
3.sinx0,cosx
0,
y2
sin2xcos4x
2sin2xcos2
xcos2x
2
1(2sin2x
cos2x
cos2x)3
4,y
4
23
2
3
27
27
9
此时,
2
2
2
2
3
cos
xcotx
2,故当
时,
。
2sinx
x
arccot2
ymax
,
9
一、配凑
1.凑系数
例1.当0x4时,求yx(82x)的最大值。
2.凑项
例2.
已知x
5,求函数f(x)4x2
1
的最大值。
4
4x
5
3.分别
例3.
求y
x2
7x10(x≠1)的值域。
x1
二、整体代换
例4.已知a
0,b
0,a
2b1,求t
1
1的最小值。
a
b
三、换元
例5.求函数yx2的最大值。
2x5
四、取平方
例6.
求函数y2x152x(
1
x
5
)的最大值。
2
2
[练一练]
1.若0x2,求yx(63x)的最大值。
2.求函数y
1
xx(3)的最小值。
x
3
x2
8
3.求函数y
(x1)的最小值。
x
1
4.已知x0,y0,且119,求xy的最小值。
xy
5设x,y是满足2xy20的正数,则lgxlgy的最大值是()
6若a,x,y
R,且x
y
axy恒成立,则a的最小值是()
7
1
2
2x,(0 求y=sin2 x+cos 2 )的最小值 8已知函数f(x)=x2 2xa,x∈[1,+∞) x (1)当a=1时,求函数f(x)的最小值 2 (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围 9已知x,yR 10设xR且 x2 11求y x2 12、设x,y,z 最小值。 ,且x 4y1,则x y的最大值为_____ x2y2 1,求x1 y2的最大值 2 5(xR)的最小值。 4 R且(x1)2 (y2)2 (z3)2 1,求xy z之最大值, 16 5 4 111 13、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式 xyyzzx ≤λ恒成立,求 λ的范围. 14、设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 abc 的值. xyz 家长签字:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 均值 不等式
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)