湖北省武汉市部分重点中学学年高一下学期联考数学试题.docx
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湖北省武汉市部分重点中学学年高一下学期联考数学试题
湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期3月联考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.若向量
,
,且
,则实数
( )
A.
B.1C.
或
D.
或
2.已知函数
(其中
)的最小正周期为
,则
( )
A.
B.
C.1D.
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.2
4.在
中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
,已知
,
,
,则
( )
A.135°B.45°C.45°或135°D.以上都不对
5.在△
中,
为
边上的中线,
为
的中点,则
A.
B.
C.
D.
6.已知
,
是单位向量,且
,则( )
A.
B.
C.
D.
与
的夹角为
7.设
的内角
,
,
的对边分别为
,
,
,若
,
,
,则
的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.设
是
内部一点,且
,
,定义
(其中
、
、
分别是
、
、
的面积),现已知
,则
的最小值是( )
A.
B.9
C.
D.12
二、多选题
9.下列各式中,值为
的有( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数
,则下列说法正确的是( )
A.直线
是函数
图象的一条对称轴
B.函数
在区间
上单调递减
C.将函数
图象上的所有点向左平移
个单位长度,得到函数
的图象
D.若
对任意的
恒成立,则
11.在
中,角
所对的边分别为
,已知
,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若
,则
的面积是
D.若
,则
的外接圆半径是
12.在
中,D,E,F分别是边
,
,
中点,下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若
,则
是
在
的投影向量
D.若点P是线段
上的动点,且满足
,则
的最大值为
三、填空题
13.求值:
______.
14.已知
为坐标原点,向量
,
,若
,则
________.
15.
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
,
,则
______.
16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理:
“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
此等边三角形称为拿破仑三角形
的顶点.”已知
内接于半径为
的圆,以
为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为
若
,则
的面积最大值为__________.
四、解答题
17.已知向量
.
(1)求向量
与
的夹角的大小;
(2)若
,求实数
的值.
18.已知
.
(1)若
,求
的值;
(2)若
,且
,求
的值.
19.如图,在
中,
,
,
,
,
.
(1)求
的长;
(2)求
的值.
20.设
,
,
分别为
三个内角
,
,
的对边,若
.
(1)求角
;
(2)若
,
的周长为6,求
的面积.
21.已知函数
.
(1)求函数
的单调区间;
(2)若函数
在
有且仅有两个零点,求实数
的取值范围.
22.如图在
中,
,满足
.
(1)若
,求
的余弦值;
(2)点M是线段CD上一点,且满足
,若
的面积为
,求
的最小值.
参考答案:
1.D
【解析】
【分析】
由平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数
的等式,即可解得实数
的值.
【详解】
由已知条件可得
,解得
或
.
故选:
D.
2.D
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的最小正周期求ω,从而可求
的值.
【详解】
由题可知,
,
∴
.
故选:
D.
3.D
【解析】
由已知结合正弦定理即可直接求解.
【详解】
A=60°,a
,
由正弦定理可得,
2,
∴b=2sinB,c=2sinC,
则
2.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础试题.
4.B
【解析】
【分析】
直接利用正弦定理求解即可
【详解】
因为
,
,
,
所以由正弦定理得
,
,
得
,
因为
,
所以角
为锐角,
所以
,
故选:
B
5.A
【解析】
【分析】
分析:
首先将图画出来,接着应用三角形中线向量的特征,求得
,之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则,得到
,之后将其合并,得到
,下一步应用相反向量,求得
,从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则,可得
,
所以
,故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题,涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题,在解题的过程中,需要认真对待每一步运算.
6.B
【解析】
【分析】
根据单位向量的定义及向量数量积的运算律计算可得;
【详解】
解:
因为
,
是单位向量,所以
,又
,所以
,所以
,即
,
,即
,所以
,所以
,因为
,所以
,即
与
的夹角为
故选:
B
7.B
【解析】
【分析】
由已知利用切化弦及和差公式进行化简,然后结合正弦定理得到
,再由余弦定理求得
,代入三角形的面积公式,即可求解.
【详解】
由
,可得
,即
,
所以
,即
,
又由
,所以
,
即
,解得
或
(舍去),
所以
,
又因为C为三角形内角,故
,
所以
的面积为
.
故选:
B.
8.D
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式及向量数量积的定义可求三角形面积,结合条件可得
,再利用均值不等式即求.
【详解】
∵
,
,
∴
,∴
,
∴
,
∴
,∴
,
∴
,
当且仅当
时取等号,
∴
的最小值是12.
故选:
D.
9.ACD
【解析】
【分析】
A中,利用两角和的正弦公式计算即可;B中,先通分,再利用三角恒等变换计算即可;C中,利用二倍角的正切值公式计算即可;D中,利用两角和的正切公式计算即可.
【详解】
对于A,
;
对于B,
;
对于C,
;
对于D,
.
故选:
ACD.
10.ACD
【解析】
【分析】
直接利用函数的关系式,利用正弦型函数的性质的应用和恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论.
【详解】
函数
,
对于A:
f(
)=
=1,故A正确;
对于B:
由于
,所以
,故函数在该区间上有增有减,故B错误;
对于C:
将函数
的图象上的所有点向左平移
个单位,得到函数
的图象,故C正确;
对于D:
函数
,整理得
,即求出函数
的最小值即可,
由于
,
所以
,故当x=0时取得最小值
,故a<﹣1,故D正确.
故选:
ACD.
11.ACD
【解析】
先利用已知条件设
,进而得到
,利用正弦定理可判定选项A;利用向量的数量积公式可判断选项B;利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C;利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】
依题意,设
,
所以
,
由正弦定理得:
,
故选项A正确;
,
故选项B不正确;
若
,则
,
所以
,
所以
,
所以
,
故
的面积是:
;
故选项C正确;
若
,则
,
所以
,
所以
,
所以
,
则利用正弦定理得:
的外接圆半径是:
,
故选项D正确;
故选:
ACD.
【点睛】
关键点睛:
本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式.利用已知条件设
,再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.
12.BCD
【解析】
对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误,B正确.对选项C,首先根据已知得到
为
的平分线,即
,再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D,首先根据
三点共线,设
,
,再根据已知得到
,从而得到
,即可判断选项D正确.
【详解】
如图所示:
对选项A,
,故A错误.
对选项B,
,故B正确.
对选项C,
,
,
分别表示平行于
,
,
的单位向量,
由平面向量加法可知:
为
的平分线表示的向量.
因为
,所以
为
的平分线,
又因为
为
的中线,所以
,如图所示:
在
的投影为
,
所以
是
在
的投影向量,故选项C正确.
对选项D,如图所示:
因为
在
上,即
三点共线,
设
,
.
又因为
,所以
.
因为
,则
,
.
令
,
当
时,
取得最大值为
.故选项D正确.
故选:
BCD
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法,减法的几何意义,数形结合为解决本题的关键,属于中档题.
13.
【解析】
利用诱导公式及两角差的正弦公式化简计算即可.
【详解】
故答案为:
.
14.
【解析】
【分析】
首先设
点坐标为
,分别求出
和
的坐标,根据
即可得到
点的坐标,再求
即可.
【详解】
设
点坐标为
,
,
.
因为
,所以
.
即
,解得
,
.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算,同时考查学生的计算能力,属于简单题.
15.
【解析】
【分析】
由正弦定理把
化为
,从而可得
,再由
可得
,再利用余弦定理可求出角
【详解】
因为
,所以由正弦定理得,
,即
.
又
,则
,
从而
.
又
,故
.
故答案为:
16.
【解析】
【分析】
在
中,设角
所对的边长分别为
,依题意得
,由余弦定理结合基本不等式得
,进而可得结果.
【详解】
在
中,设角
所对的边长分别为
.
如图,由正弦定理可得
.
易知
,则
.
由余弦定理可得,
,即
,
又
,所以
,整理得
,
故
.
故答案为:
.
17.
(1)
;
(2)
【解析】
【分析】
(1)由
,计算可求出答案;
(2)先求出
,再根据
,可得
,进而可列出方程,即可求出
的值.
【详解】
(1)由题意,
.
因为
,故
.
(2)
,
因为
,所以
,
即
,解得
.
18.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用诱导公式化简可得
,然后利用二倍角公式求解即可;
(2)由条件可得
,
,然后根据
求解即可.
(1)
因为
,所以
(2)
因为
,
所以
,
所以
19.
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)将
用
和
表示,利用平面向量数量积的运算律和定义计算出
的值,即可得出
的长;
(2)将
利用
和
表示,然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出
的值.
【详解】
(1)
,
,
,
,
,
,
.
;
(2)
,
,
,
.
【点睛】
本题考查平面向量模与数量积的计算,解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来,考查计算能力,属于中等题.
20.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和公式可得
,进而可得
,即求.
(2)由余弦定理可得
,再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
(1)由
及正弦定理可得
.
由
带入上式,
整理得
.
因为
,
所以
.
因为
,
所以角
.
(2)∵
的周长为6,得
,
由
.
可得
即
.
解得
,
∴
.
所以
的面积为
.
21.
(1)单调递增区间为
,单调递减区间为
(2)
【解析】
【分析】
(1)先由三角恒等变换化简解析式,再由正弦函数的性质得出单调区间;
(2)由
的单调性结合零点的定义求出实数
的取值范围.
(1)
由
得
故函数
的单调递增区间为
.
由
得
故函数
的单调递减区间为
(2)
由
(1)可知,
在
上为增函数,在
上为减函数
由题意可知:
,即
,
解得
,故实数
的取值范围为
.
22.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)设
,则
,在
和
中利用余弦定理求
,再在
中利用余弦定理求
;或是设
,在
和
中利用正弦定理,建立等量关系求
的余弦值;
(2)利用C、M、D三点共线,求得
,再根据三角形的面积求得
,
根据向量数量积求
,展开后利用基本不等式求最小值.
【详解】
(1)由题意可设
,则
.
在
中有:
①
在
中有:
②
可得
,
在
中有:
,
解得
或解:
由题意可设
,
在△ACD中:
①
在
中:
②
由①,②可得
,
解得
,故
.
(2)
,
且C、M、D三点共线,所以
,
,
故
.
当且仅当
时;所以
.
【点睛】
本题考查解三角形,平面向量,基本不等式求最值的综合应用,主要考查了方程的思想,转化与化归的思想,计算能力,本题的难点是结合条件,分析图形,转化为数学问题.
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- 湖北省 武汉市 部分 重点中学 学年 一下 学期 联考 数学试题
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