湖北省武汉市届高三调研测试 数学理试题 Word版含答案.docx
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湖北省武汉市届高三调研测试数学理试题Word版含答案
武汉市2014届高三2月调研测试
数学(理科)
2014.2.20
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数m(3+i)-(2+i)(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:
分).
甲组
乙组
9
0
9
x
2
1
5
y
8
7
4
2
4
已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则x,y的值分别为
A.2,6B.2,7C.3,6D.3,7
3.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+e2,b=-4e1+2e2,则a与b的夹角为
A.30°B.60°C.120°D.150°
4.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题:
某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加
A.尺B.尺C.尺D.尺
5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入某个正整数n后,输出的S∈(31,72),则n的值为
A.5
B.6
C.7
D.8
6.若(9x-)n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为
A.252B.-252C.84D.-84
7.设a,b∈R,则“a+b=1”是“a2+b2=1”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
H
8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.设AB=2AA1=2a.在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P,当点E,F分别在棱A1B1,BB1上运动且满足EF=a时,则P的最小值为
A.B.C.D.
9.若S1=dx,S2=(lnx+1)dx,S3=xdx,则S1,S2,S3的大小关系为
A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S3<S1<S2
10.如图,半径为2的半圆有一内接梯形ABCD,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上.若双曲线以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最
大时,双曲线的实轴长为
A.+1
B.2+2
C.-1
D.2-2
二、填空题:
本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14题)
11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.
12.曲线y=在点M(π,0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+4y的最大值为.
13.如下图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按同样的排列规则进行排列,记第n个图形包含的小正方形个数为f(n),则
(Ⅰ)f(5)=;
(Ⅱ)f(n)=.
14.已知函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为3,则
(Ⅰ)m=;
(Ⅱ)对任意a∈R,f(x)在[a,a+20π]上的零点个数为.
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:
几何证明选讲)
如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,=,DE交AB于点F.若AB=4,BP=3,则PF=.
16.(选修4-4:
坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线ρ(cosθ-sinθ)-a=0与曲线(θ为参数)有两个不同的交点,则实数a的取值范围为.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A-B)=cosC.
(Ⅰ)若a=3,b=,求c;
(Ⅱ)求的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1>0,an+1=2-|an|,n∈N*.
(Ⅰ)若a1,a2,a3成等比数列,求a1的值;
(Ⅱ)是否存在a1,使数列{an}为等差数列?
若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值;
(Ⅱ)在线段BC1上确定一点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
20.(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;
(Ⅱ)用X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的分布列和数学期望.
21.(本小题满分13分)
如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.
(Ⅰ)求证:
直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:
+y2=1上;
(Ⅱ)若点N是直线l:
y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?
若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数f(x)=ex-1-tx,∃x0∈R,使f(x0)≤0,求实数t的取值范围;
(Ⅱ)证明:
<ln<,其中0<a<b;
(Ⅲ)设[x]表示不超过x的最大整数,证明:
[ln(1+n)]≤[1++…+]≤1+[lnn](n∈N*).
武汉市2014届高三2月调研测试
数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题
1.B2.D3.C4.B5.B
6.C7.A8.D9.A10.D
二、填空题
11.+12.413.(Ⅰ)41;(Ⅱ)2n2-2n+1
14.(Ⅰ)0;(Ⅱ)40或4115.16.[0,)
三、解答题
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由sin(A-B)=cosC,得sin(A-B)=sin(-C).
∵△ABC是锐角三角形,
∴A-B=-C,即A-B+C=,①
又A+B+C=π,②
由②-①,得B=.
由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB,得()2=c2+(3)2-2c×3cos,
即c2-6c+8=0,解得c=2,或c=4.
当c=2时,b2+c2-a2=()2+22-(3)2=-4<0,
∴b2+c2<a2,此时A为钝角,与已知矛盾,∴c≠2.
故c=4.……………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知B=,∴A+C=,即C=-A.
∴===sin(2A-).
∵△ABC是锐角三角形,
∴<A<,∴-<2A-<,
∴-<sin(2A-)<,∴-1<<1.
故的取值范围为(-1,1).………………………………………12分
18.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)∵a1>0,∴a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.
当0<a1≤2时,a3=2-(2-a1)=a1,∴a=(2-a1)2,解得a1=1.
当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1,∴a1(4-a1)=(2-a1)2,解得a1=2-(舍去)或a1=2+.
综上可得a1=1或a1=2+.……………………………………………………6分
(Ⅱ)假设这样的等差数列存在,则
由2a2=a1+a3,得2(2-a1)=a1+(2-|2-a1|),即|2-a1|=3a1-2.
当a1>2时,a1-2=3a1-2,解得a1=0,与a1>2矛盾;
当0<a1≤2时,2-a1=3a1-2,解得a1=1,从而an=1(n∈N*),此时{an}是一个等差数列;
综上可知,当且仅当a1=1时,数列{an}为等差数列.………………………12分
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)∵AA1C1C为正方形,∴AA1⊥AC.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C,
∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AC,AA1⊥AB.
由已知AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
∴=(0,3,-4),=(4,0,0),=(4,-3,0).
设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则
即
令z=3,则x=0,y=4,∴n=(0,4,3).
设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则
sinθ=|cos<,n>|===.
故直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.………………………………6分
(Ⅱ)设D(x,y,z)是线段BC1上一点,且=λ(λ∈[0,1]),
∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4),
∴x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,
∴=(4λ,3-3λ,4λ).
又=(0,3,-4),
由·=0,得3(3-3λ)-4×4λ=0,
即9-25λ=0,解得λ=∈[0,1].
故在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.
此时=λ=.…………………………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,
A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,
A表示事件“第4局甲当裁判”.
则A=A1·A2.
P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=.………………………………………………4分
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,
B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,
B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,
B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.
则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=,
P(X=2)=P(·B3)=P()P(B3)=,
P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×=.………………………………………………12分
21.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由已知,得F(,0),C(,1).
由=λ,=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).
又E(0,-1),G(0,1),则
直线ER的方程为y=x-1,①
直线GR′的方程为y=-x+1.②
由①②,得M(,).
∵+()2===1,
∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:
+y2=1上.…………………………5分
(Ⅱ)假设满足条件的点N(x0,y0)存在,则
直线NF1的方程为y=k1(x+1),其中k1=,
直线NF2的方程为y=k2(x-1),其中k2=.
由消去y并化简,得(2k+1)x2+4kx+2k-2=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
∵OP,OQ的斜率存在,∴x1≠0,x2≠0,∴k≠1.
∴kOP+kOQ=+=+=2k1+k1·
=k1(2-)=-.
同理可得kOS+kOT=-.
∴kOP+kOQ+kOS+kOT=-2(+)=-2·
=-.
∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0,∴-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0.
由点N不在坐标轴上,知k1+k2≠0,
∴k1k2=1,即·=1.③
又y0=x0+2,④
解③④,得x0=-,y0=.
故满足条件的点N存在,其坐标为(-,).………………………………13分
22.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)若t<0,令x=,则f()=e
-1-1<0;
若t=0,f(x)=ex-1>0,不合题意;
若t>0,只需f(x)min≤0.
求导数,得f′(x)=ex-1-t.
令f′(x)=0,解得x=lnt+1.
当x<lnt+1时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,lnt+1)上是减函数;
当x>lnt+1时,f′(x)>0,∴f(x)在(lnt+1,+∞)上是增函数.
故f(x)在x=lnt+1处取得最小值f(lnt+1)=t-t(lnt+1)=-tlnt.
∴-tlnt≤0,由t>0,得lnt≥0,∴t≥1.
综上可知,实数t的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞).…………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x)≥f(lnt+1),即ex-1-tx≥-tlnt.
取t=1,ex-1-x≥0,即x≤ex-1.
当x>0时,lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立,
故当x>0且x≠1时,有lnx<x-1.
令x=,得ln<-1(0<a<b),即ln<.
令x=,得ln<-1(0<a<b),即-ln<,亦即ln>.
综上,得<ln<.………………………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),得<ln<.
令a=k,b=k+1(k∈N*),得<ln<.
对于ln<,分别取k=1,2,…,n,
将上述n个不等式依次相加,得
ln+ln+…+ln<1++…+,
∴ln(1+n)<1++…+.①
对于<ln,分别取k=1,2,…,n-1,
将上述n-1个不等式依次相加,得
++…+<ln+ln+…+ln,即++…+<lnn(n≥2),
∴1++…+≤1+lnn(n∈N*).②
综合①②,得ln(1+n)<1++…+≤1+lnn.
易知,当p<q时,[p]≤[q],
∴[ln(1+n)]≤[1++…+]≤[1+lnn](n∈N*).
又∵[1+lnn]=1+[lnn],
∴[ln(1+n)]≤[1++…+]≤1+[lnn](n∈N*).……………………………14分
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