最新北师大版小学数学五年级知识点归纳.docx
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最新北师大版小学数学五年级知识点归纳
五年级上册数学知识点归纳
第一单元小数除法
1、除数是整数的小数除法计算法则:
除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再继续除。
2、除数是小数的小数除法计算法则:
除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积,但除以几个数的积时,必须给这个相乘的式子加上小括号。
即a÷b÷c=a÷(b×c)
4、在小数除法中的发现:
①一个不为0的数,除数大于1的数,商小于被除数。
如:
3.5÷5=0.7
②一个不为0的数,除数小于1的数(0除外),商大于被除数。
如:
3.5÷0.5=7③一个不为0的数,除数等于1的数,商等于被除数。
如:
3.5÷1=3.5
5、小数除法的验算方法:
被除数=除数×商(通用) 除数=被除数÷商商=被除数÷除数
6、商的近似数:
根据要求要保留的小数位数,决定商要除出几位小数,再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。
例如:
要求保留一位小数的,商除到第二位小数可停下来;要求保留两位小数的,商除到第三位小数停下来……如此类推。
(即除的小数位数要比要求保留的小数位数多一位)
7、循环小数:
A、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
如,0.37、1.4135等。
B、小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
如5.3…7.145145…等。
C、一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
(如5.3… 3.12323…5.7171…)
D、一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。
(如5.333…的循环节是3, 4.6767…的循环节是67,6.9258258…的循环节是258)
E、用简便方法写循环小数的方法:
①只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点
②例如:
只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点,5.333…写作5.3;有两位小数循环的,就在这两位数字上面,记上小圆点,7.4343…写作7.43;有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小数点,10.732732…写作10.732
8、除法中的变化规律:
①商不变的规律:
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。
②除数不变,被除数扩大几倍,商就扩大几倍。
③被除数不变,除数缩小几倍,商反而扩大几倍。
9、小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。
只有加减或只有乘除,按从左往右的顺序依次计算,既有加减又有乘除,先算乘除,后算加减,有括号的要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号后面的。
第二单元 轴对称和平移
1.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个样的图形叫作轴对称图形,这条直线叫作对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点,也叫对称点。
2.轴对称图形的性质:
对应点到对称轴的距离相等,对应点连线垂直于对称轴。
3.轴对称图形具有对称性。
4、圆形有无数条对称轴,正方形有4条对称轴,等边三角形有3条对称轴,长方形和菱形有2条对称轴,等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
平行四边形不是轴对称图形。
5、轴对称图形的法:
(1)找出所给图形的关键点,如图形的顶点、相交点、端点等;
(2)数出或量出图形关键点到对称轴的距离;
(3)在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;
(4)按照所给图形的顺序连接各点,就画出所给图形的轴对称图形。
1.平移的定义:
在平面内,一个图形沿某个方向平行移动一定的距离的运动,叫作平移。
2.平移的基本性质:
(1)平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。
(2)经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。
3.平移图形的画法:
(1)确定平移的方向与距离。
(2)将关键点按所需方向平移所需距离。
(3)按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数,而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法:
平移、对称
1.运用平移设计图案的方法:
(1)选好基本图案;
(2)根据所选的基本图案确定平移的格数和方向;
(3)平移,描出对应点; (4)按顺序连接对应点
2.运用对称设计图案的方法:
(1)先选好基本图案,
(2)依据基本图案的特点定好对称轴;(3)选好关键点并描出关键点的对应点。
(4)按顺序连接对应点,画出基本图形的对称图形
第三单元 倍数和因数
1、像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。
2、像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。
(整数包括了正整数、负整数和0)
3、我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
4、倍数与因数是相互依存的关系,要说清谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
5、一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数,一个数的因数的个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身(即一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身)
6、2的倍数的特征:
个位上是2,4,6,8,0的数是2的倍数。
7、5的倍数的特征:
个位上是0或5的数都是5的倍数。
8、既是2的倍数,又是5的倍数的特征:
个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。
(既是2的倍数,又是5的倍数都是整十数,最小的两位数是10,最小的三位数是100)
9、偶数和奇数的定义:
是2的倍数的数叫偶数,不是2的倍数的数叫奇数。
10、3的倍数的特征:
一个数各个数位上的数字之和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
11、同时是2和3的倍数的特征:
个位上是2,4,6,8,0的数,并且各个数位上的数字之和是3的倍数的数,既是2的倍数,又是3的倍数。
(同时是2和3的倍数,一定是6的倍数,最小的是6。
)
12、同时是3和5的倍数的特征:
个位上的数是0或5,并且各个数位上的数字之和是3的倍数的数,既是3的倍数,又是5的倍数。
(同时是3和5的倍数,一定是15的倍数,最小的是15。
)
13、同时是2,3和5的倍数的特征:
个位上的数是0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数的数,既是2和5的倍数,又是3的倍数。
(同时是2,3和5的倍数,一定是30的倍数,最小的两位数是30,最小的三位数是120)
14、9的倍数的特征:
一个数各个数位上的数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数,是9的倍数的数也一定是3的倍数,是3的倍数的数不一定是9的倍数。
15、找因数:
在1~100的自然数中,找出某个自然数的所有因数的方法:
(1)运用乘法算式:
哪两个数相乘等于这个自然数,那么这两个乘数就是这个数的因数。
即在乘法中,积是两个乘数的倍数,两个乘数是积的因数。
(2)运用除法算式,这个数除以几能整除,那么除数和商就是这个数的因数。
即整除的除法里,被除数是除数和商的倍数,除数和商是被除数的因数。
16、一个数的因数的个数是有限的。
其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
17、找一个数的因数,通常用列举的方法,可一对一对的写出来,也可按从小到大的顺序来写。
18、一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。
19、一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。
20、1既不是质数也不是合数。
21、判断一个数是质数还是合数的方法:
一般来说,首先可以用“2,3,5的倍数的特征”判断这个数是否有因数2,3,5;如果还无法判断,则可以用7,11等比较小的质数去试除,看有没有因数7,11等。
只要找到一个1和它本身以外的因数,就能肯定这个数是合数。
如果除了1和它本身找不到其他因数,这个数就是质数。
22、100以内质数表:
2、3、5、7和11。
13后面是17。
19、23、29。
31、37、41。
43、47、53。
59、61、67。
71、73、79。
83、89、97。
23、数的奇偶性:
运用“列表”“画示意图”等方法发现规律:
例如小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返。
通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸,偶数次在南岸”的规律。
通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律:
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数-偶数=偶数
奇数-奇数=偶数 偶数-奇数=奇数 奇数-偶数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
第四单元 多边形面积
比较图形的面积
1、借助方格纸,能直接判断图形面积的大小。
平面图形面积大小的比较有多种方法:
数方格的的方法进行比较、运用重叠的方法进行比较,直接计算面积后再进行比较,借助参照物进行比较等方法。
2、确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。
认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
1、从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。
2、三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
3、从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。
4、高和底的关系是对应的。
5、平行四边形和梯形有无数条高,三角形有3条高。
6、用三角板画出平行四边形的高的方法:
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合,让三角板的另一条直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。
注意:
从一条边上的任意一点可以向它的对边画高,也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。
7、用三角板画出三角形的高的方法:
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点,另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上的高。
8、用三角板画梯形的高的方法:
与画平行四边形高的方法一样,画出梯形两条平行线之间的垂直线段,就是梯形的高。
(一)平行四边形的面积
1、平行四边形的面积=拼成的长方形的面积
2、长方形的长等于平行四边形的底;长方形的宽等于平行四边形的高。
因此:
平行四边形面积=底×高,如果用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,那么,平行四边形的面积公式可以写成:
S=a×h=ah
3、等底等高的平行四边形面积相等,面积相等的平行四边形底和高不一定相等,形状也不一定相同。
(二)三角形的面积
1、三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2
三角形的底和高,也就是平行四边形的底和高。
因此:
三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2。
如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,那么三角形的面积公式可以写成:
S=a×h÷2=ah÷2
2、决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。
3、等底等高的三角形面积相等,面积相等的三角形底和高不一定相等,形状也不一定相同。
4、三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。
(三)梯形的面积
1、梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2
梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底,梯形的高就是平行四边形的高。
因此:
梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=(上底+下底)×高÷2,如果用S表示梯形的面积,用a和b分别表示梯形的上底和下底,用h表示梯形的高,那么,梯形的面积公式可以写成:
S=(a+b)×h÷2
2、决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。
3、正方形的周长=边长×4长方形的周长=(长+宽)×2
4、长方形的面积=长×宽即S=ab正方形的面积=边长×边长即S=a×a
5、平行四边形的面积=底×高即S=ah
底=平行四边形的面积÷高高=平行四边形的面积÷底
6、三角形的面积=底×高÷2即S=ah÷2
底=三角形的面积×2÷高高=三角形的面积×2÷底
7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2即S=(a+b)h÷2
高=梯形的面积×2÷(上底+下底)上底=梯形的面积×2÷高-下底
下底=梯形面积×2÷高-上底
第五单元 分数的意义
分数的再认识
1、整体“1”的含义:
一个物体或一些物体都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫做整体“1”。
2、分数的意义:
把整体“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数叫作分数。
分母是几,整体就被分成了几份,分子是几,就表示取了其中的几份。
3、分数对应的“整体”不同,分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样,即分数具有相对性。
同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整体小,表示的具体数量就小。
同一个分数表示的具体数量大,对应的整体就大;表示的具体数量小,对应的整体就小。
4、把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数(即几分之一的分数)叫作原来这个分数的分数单位。
5、分数单位是由分母决定的,一个分数的分母是几,分数单位就是几分之一,分子是几,就有几个这样的分数单位。
6、分母越大,分数单位越小,分母越小,分数单位越大,最大的分数单位是二分之一。
7、一个分数的分子越接近1,分数值越接近0,分子越接近分母,分数值越接近1(即取的份数少,剩的份数多,分数接近0,反之分数接近1)
真分数与假分数
1、分子比分母小的分数叫作真分数。
真分数的分数值都小于1。
一个分数最大真分数的分子比分母小1
2、分子比分母大或分子等于分母的分数叫作假分数。
假分数的分数值大于或等于1。
最小的假分数的分子等于分母。
3、由整数(0除外)和真分数合成的分数叫作带分数。
带分数的分数值都大于1。
带分数的读法:
2(1/4) 读作:
二又四分之一。
4、假分数≥1>真分数,带分数>1>真分数,分母是a的最小带分数是1(1/a),a是非0自然数。
分数与除法
1、理解分数与除法的关系:
被除数÷除数=被除数/除数(除数不为0)。
分数的分母不能是0。
因为在除法中,0不能做除数,因此根据分数与除法的关系,分数中的分母相当于除法中的除数,所以分母也不能是0。
可以用分数来表示两数相除的商。
分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数的值相当于商。
2、假分数化成整数的方法:
分子是分母的倍数时,分子÷分母=商
假分数化成带分数的方法:
分子除以分母有余数时,所得的商作带分数的整数部分,余数作分子,分母不变。
即分子÷分母=商分子/分母
带分数化成假分数的方法:
用整数部分乘以分母加分子,作假分数的分子,分母不变,即整数×分母+分子/分母。
整数化成假分数的方法:
整数×分母/分母
3、在解决问题中,求a是b的几倍。
与求a是b的几分之几。
以及把a平均分成b份,每份是多少。
都是用除法a÷b或a/b表示,最终没有单位名称。
(即比较量÷标准量)
4、同分母分数相加减,分母不变,分子相加减。
分数基本性质
1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
2、分子相当于被除数,分母相当于除数,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小也是不变的。
3、分数的分母扩大或缩小几倍,要使分数的大小不变,分子也应该扩大或缩小相同的倍数。
4、
(1)分数的分母不变,分子乘(或除以)几(0除外),分数值也乘(或除以)几。
(2)分数的分子不变,分母乘(或除以)几(0除外),分数值也除(或乘以)几。
最大公因数
1、几个数公有的因数叫作它们的公因数,其中最大的一个叫作它们的最大公因数。
2、找两个数的公因数和最大公因数的方法:
列举法:
运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数,再找出两个数的因数中相同的因数,这些数就是两个数的公因数;再看看公因数中最大的是几,这个数就是两个数的最大公因数。
1、其他找最大公因数的方法:
(1)短除法:
一般用这两个数公有的质因数连续去除,直到所得商的公因数是1为止,然后把所有的除数连乘起来,积就是这两个数的最大公因数。
(2)找两个数的公因数和最大公因数,可以先找出两个数中较小的数的因数,再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数,那么这些数就是这两个数的公因数。
其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如:
找15和50的公因数和最大公因数:
可以先找出15的因数:
1,3,5,15。
再判断4个数中,哪几个也是50的因数,只有1和5,1和5就是15和50的公因数。
5就是它们的最大公因数。
(3)如果两个数具有倍数关系,那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
(4)公因数只有1的两个数叫互质数,它们的最大公因数也是1.
(5)两个相邻的非0自然数,最大公因数是1(这也属于互质的一种情况)。
3、质数和互质数不同,质数指的是一个数,而互质数指的是两个以上的数之间的关系。
互质的两个数不一定都是质数。
4、两个数互质的情况有:
(1)相邻的两个非0自然数互质
(2)相邻的奇数互质(3)1和任何非0自然数互质(4)两个不同的质数互质(5)2和任何奇数互质。
(6)两个不同质数的平方数互质。
约分
1、把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫做约分。
2、分子分母互质的分数叫最简分数,或者说分子分母的公因数只有1的分数就是最简分数。
最简分数的特殊情况:
(1)分子分母是两个相邻的非0自然数的分数一定是最简分数。
(2)分子分母是两个不同质数的分数一定是最简分数。
(3)分子是1的分数一定是最简分数。
5、约分的方法一般有两种,一种是用两个数的公因数一个一个去除,另一种是直接用两个数的最大公因数去除。
6、比较分数大小时,分母相同的、分子相同的可以直接比较,有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。
找最小公倍数
1、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。
2、找两个数的公倍数和最小公倍数的方法:
例举法:
先找出两个数各自的倍数(限制一定的范围内),再找出公有的倍数,找出两个数公有的倍数,看看这些公倍数中最小的是几,这个数就是两个数的最小公倍数。
3、其他找公倍数和最小公倍数的方法:
(1)筛选法:
可以先找出两个数中较大的数的倍数(限制一定的范围内),再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数,那么这些数就是这两个数的公倍数。
其中最小的就是这两个数的最小公倍数。
例如:
找6和9的公倍数和最小公倍数。
(50以内)可以先找出9的倍数(50以内)有:
9,18,27,36,45,再从这些数中找出6的倍数18,36,18和36就是6和9的公倍数,18是最小公倍数。
(2)找大数法:
如果两个数具有倍数关系,那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
(3)两数相乘法:
如果两个数是互质数,那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
(4)短除法求最小公倍数
4、两个数的公倍数的个数是无限的,因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
5、两数成倍数关系时,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。
分数的大小
1、把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,这个过程叫作通分。
2、通分的一般方法,先求出原来几个分母的最小公倍数,也可用分母的公倍数,但一般用最小公倍数,然后把各分数分别化成用这个最小公倍数作坟墓的分数。
3、比较分数大小的方法:
(1)分母相同比分子,分子大的分数大
(2)分子相同比分母,分母小的反而大。
(3)分子分母都不同,通分后再比大
即用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数,再比较大小。
(或把两个分数化成分子相同的分数,再比较大小)
(4)真假分数直接比较,假分数大于或等于1,1大于真分数,即假大于真
(5)补数法:
当两个真分数的分子分母的相差相等时,分子分母较大的分数大。
(6)十字相乘法:
可以用两个分数的分子与分母分别交叉相乘,乘积哪边的大,哪边的分数就大。
(实质用的就是通分方法,只不过把分母省略了,因为通分后分母相同,比的是分子,分母省略不影响比大小。
)
补充知识点:
通分一般以最小公倍数作分母。
第六单元 组合图形的面积
1、由几个基本图形组合成的图形,叫作组合图形。
或者说由几个简单的图形拼出来的图形,叫作组合图形。
2、计算组合图形的面积的方法是多种多样的。
一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。
(1)分割法,即将这个图形分割成几个基本的图形。
分割图形越简洁,其解题的方法也将越简单,同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。
(2)添补法,即通过补上一个简单的图形,使整个图形变成一个大的规则图形。
探索活动:
成长的脚印
1、可以用数格子的方法,计算不规则图形的面积。
也可以将其转化成近似的规则图形,然后再根据面积公式计算出图形的面积。
2、数方格的方法:
满格记为1,少于半格记为0,大于半格记为1。
公顷、平方千米
1、测量操场、球场、房屋的面积一般用平方米作单位,测量较大的土地面积一般用公顷、平方千米作单位。
2、各单位之间的关系:
长度单位:
1千米=1000米,1米=10分米,1分米=10厘米,1厘米=10毫米
重量单位:
1吨=1000千克,1千克=1000克
时间单位:
1时=60分,1分=60秒,1时=3600秒
人民币单位:
1元=10角,1角=10分,1元=100分
面积单位:
1平方千米=100公顷,1公顷=10000平方米,1平方千米=1000000平方米,1平方米=100平方分米,1平方分米=100平方厘米
不同单位之间的换算方法:
大单位化小单位,乘以它们之间的进率,小单位化大单位,除以它们之间的进率。
(小单位化大单位,可以用分数表示,也可以用小数表示,例如3分米=1/3米=0.3米)
设计秋游方案
(1)购票方案:
根据人数的多少,价格的不同以及团体优惠人数的多少,合理选择一种方案购票或几种方案结合起来购票。
若只有A、B两种方案,只要选择其中一种价格便宜的就行。
(2)租车问题:
两个原则:
一是尽量多的使用更便宜的车。
二是空位越少越好。
尝试与猜测:
运用列表的方法(逐一列表法、跳跃列表法、折中列表法),解决类似于“鸡兔同笼”的问题,也可用假设法、或“方程”来解决。
假设法:
假设全是腿多的动物,多算的腿就是腿少的动物,假设全是腿少的动物,少算的腿就是腿多的动物。
即假设全是兔,则(总头数×4-总脚数)÷2=鸡数,总头数-鸡数=兔数。
假设全是鸡,则(总脚数-总头数×2)÷2=兔数,总头数-兔数=鸡数
第七单元 可能性
1、判断游戏是否公平,要看事件发生的可能性是否相等。
相等则游戏公平。
2、摸球游戏(用分数表示可能性的大小)
(1)通过游戏所列的条件,推测某种情况出现的概率;
(2)能判断事件发生可能性的大小,写出所有可能发生的情况,推测可能发生的结果。
客观事件中,“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”,客观事件中,“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是“1”,当可能性是相等的时候,用数据表述是1/2
简便方法计算:
加法交换律:
a+b=b+a,加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律:
a×b=b×a,乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)
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