四川高职单招数学试题卷附答案.docx
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四川高职单招数学试题卷附答案
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一、选择题:
本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给处的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
二 .数学 单项选择(共 10 小题,计 30 分)
1.设集合 M = {0,1,2}, N = {0,1},则 M I N = ()
A. {2}B. {0,1}C. {0,2}D. {0,1,2}
2. 不等式 x - 1 < 2 的解集是()
A.x<3B.x>-1C.x<-1 或 x>3D.-1 3.已知函数 f ( x) = 2 x + 2 ,则 f (1)的值为() A. 2B. 3C. 4D. 6 4. 函数 y = -2 x + 1 在定义域 R 内是() A. 减函数B. 增函数C. 非增非减函数D. 既增又减函数 ⎛ 1 ⎫-1.5 ⎝ 2 ⎭ ,则 a, b, c 的大小顺序为 ( ) A 、 a > b > cB 、 a > c > bC 、 b > a > cD 、 c > a > b 6.已知 a = (1,2) , b = (x,1) ,当 a + 2b 与 2a -b 共线时, x 值为() 1 D. 32 7. 已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于() A.4B.5 C.6 D.7 8.已知向量 a = (2,1) ,b = (3, λ ) ,且 a⊥b,则 λ = () A. -6B. 6C. 3 3 D. - 2 2 9点 (0,5) 到直线 y = 2 x 的距离为( A. 5 ) C. 3 2 D. 5 2 .下载可编辑. .. 10. 将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每 个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 () A.12 种B.10 种 C.9 种D.8 种 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.(5 分)(2014• 四川)复数=_________. 12.(5 分)(2014• 四川)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1)时, f(x)=,则 f( )=_________. 13.(5 分)(2014• 四川)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 67°,30°,此时气球的高是 46m,则河流的宽度 BC 约等于_________m.(用四舍五 入法将结果精确到个位.参考数据: sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,≈1.73) 14.(5 分)(2014• 四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y ﹣m+3=0 交于点 P(x,y).则|PA|• |PB|的最大值是_________. 15.(5 分)(2014• 四川)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函 数 φ(x)组成的集合: 对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含 于区间[﹣M,M].例如,当 φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x) ∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀ b∈R,∃ a∈D,f(a) =b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)B. ④若函数 f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. 其中的真命题有_________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题 12 分)设数列 {a } 的前 n 项和 S = 2a - a ,且 a , a + 1,a 成等差 nnn1123 数列。 (1)求数列 {a } 的通项公式; n 11 (2)记数列 {} 的前 n 项和 T ,求得使 | T -1|<成立的 n 的最小值。 nn .下载可编辑. .. 17.(12 分)(2014• 四川)一款击鼓小游戏的规则如下: 每盘游戏都需要击鼓三次,每次 击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐: 每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10 分, 出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ﹣200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而 减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.(本小题满分12 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中, 设 BC 的中点为 M , GH 的中点为 N 。 (I)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (II)证明: 直线 MN / / 平面 BDH (III)求二面角 A - EG - M 余弦值 E C D G E A B F D C M H A B 19.(12 分)(2014• 四川)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的 图象上(n∈N*). (1)若 a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2﹣ 数列{}的前 n 项和 Tn. ,求 .下载可编辑. .. 20.(本小题 13 分)如图,椭圆 E : x2 2 + y 2 = 1 的离心率是 2 2 2 ,过点 P(0,1) 的 动直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点。 当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的 线段长为 2 2 。 (1) 球椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 xoy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 QAPA = QBPB 恒成立? 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 21.(14 分)(2014• 四川)已知函数 f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中 a,b∈R, e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f (1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B D C A B A 二、填空题: 11. 解 解: 复数 故答案为: ﹣2i. = =﹣2i, 12. 解解: ∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 答: ∴=1. 故答案为: 1. 13. 解解: 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线,垂足为 D, 答: 则 Rt△ACD 中,∠C=30°,AD=46m ∴CD==46≈79.58m. 又∵Rt△ABD 中,∠ABD=67°,可得 BD= ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为: 60m = ≈19.5m .下载可编辑. .. 14. 解解: 有题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0), 答: 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3), 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 则有 PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10. 故|PA|• |PB|≤ 故答案为: 5 =5(当且仅当 时取“=”) 15. 解解: (1)对于命题① 答: “f(x)∈A”即函数 f(x)值域为 R, “∀ b∈R,∃ a∈D,f(a)=b”表示的是函数可以在 R 中任意取值, 故有: 设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀ b∈R, ∃ a∈D,f(a)=b” ∴命题①是真命题; (2)对于命题② 若函数 f(x)∈B,即存在一个正数 M,使得函数 f(x)的值域包含于区间[﹣M, M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如: 函数 f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x) ≤5,此时,f(x)无最大值,无最小值. ∴命题②“函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值.”是假命题; (3)对于命题③ 若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B, 则 f(x)值域为 R,f(x)∈(﹣∞,+∞), 并且存在一个正数 M,使得﹣M≤g(x)≤M. ∴f(x)+g(x)∈R. 则 f(x)+g(x)B. ∴命题③是真命题. (4)对于命题④ ∵函数 f(x)=aln(x+2)+ ∴假设 a>0,当 x→+∞时, (x>﹣2,a∈R)有最大值, →0,ln(x+2)→+∞,∴aln(x+2)→+∞,则 f(x)→+∞.与题意不符; 假设 a<0,当 x→﹣2 时,→,ln(x+2)→﹣∞,∴aln(x+2) →+∞,则 f(x)→+∞.与题意不符. ∴a=0. 即函数 f(x)=(x>﹣2) .下载可编辑. .. 当 x>0 时,,∴,即; 当 x=0 时,f(x)=0; 当 x<0 时,,∴,即. ∴ 故命题④是真命题. 故答案为①③④. 三、解答题 .即 f(x)∈B. 16. 解: (1)当 n ≥ 2 时有, a = S - S nn n-1 = 2a - a - (2a n 1 n-1 - a ) 1 则 a = 2a nn-1 (n ≥ 2) an a n- 1 = 2 ( n 2 ) 则 {a n}是以 a1 为首项,2 为公比的等比数列。 又由题意得 2a + 2 = a + a ⇒ 2 ⋅ 2a + 2 = a + 4a ⇒ a = 2 则 a = 2n 2131111n (n ∈ N * ) n 1 1 2 1 = a 2n n 1 = 1 - ( )n (n ∈ N * ) 由等比数列求和公式得 1111 - n ∴ T - 1 <1成立时, n 的最小值的 n = 10 。 n1000 点评: 此题放在简答题的第一题,考察前 n 项和 S 与通项 a 的关系和等比数列 nn 的求和公式,难度较易,考察常规。 可以说是知识点的直接运用。 所以也提醒 我们在复习时要紧抓课本,着重基础。 17. .下载可编辑. .. 解解: (1)X 可能取值有﹣200,10,20,100. 答: 则 P(X=﹣200)=, P(X=10)= P(X=20)= = = , P(X=100)= 故分布列为: = , X﹣200 P 10 20 100 由 (1)知,每盘游戏出现音乐的概率是 p= + = , 则至少有一盘出现音乐的概率 p=1﹣ . 由 (1)知,每盘游戏或得的分数为 X 的数学期望是 E(X)=(﹣200)× +10× +20××100=﹣=. 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘 游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 18. 【答案】 (I)直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 HNG L EF DC K Q AB M (II) .下载可编辑. .. 连接 BD ,取 BD 的中点 Q ,连接 MQ 11 22 1 2 得到 NH = MQ 且 NH / / MQ 所以四边形 QMNH 为 Y 得到 QH / / MN 又因为 QH ⊂ 平面 BDH 所以 MN / / 平面 BDH (得证) (III) 连接 AC , EG ,过点 M 作 MK ⊥ AC ,垂足在 AC 上,过点 K 作平面 ABCD 垂 线,交 EG 于点 L ,连接 ML ,则二面角 A - EG - M = ∠MLK 因为 MK ⊂ 平面 ABCD ,且 AE ⊥ ABCD ,所以 MK ⊥ AE 又 AE , AC ⊂ 平面 AEG ,所以 MK ⊥ 平面 AEG 且 KL ⊂ AEG ,所以 MK ⊥ KL ,所以三角形 MKL 为 RT ∆ 设正方体棱长为 a ,则 AB = BC = KL = a , 所以 MC = a , 2 因为 ∠MCK = 45︒ ,三角形 MCK 为 RT ∆ ,所以 MK = MC cos ∠45︒ = 2a MK22 2 KLa43 2a 4 所以 cos < A - EG - M >= cos ∠MLK = 2 2 3 19. 解解: (1)∵点(a8,4b7)在函数 f(x)=2x 的图象上, .下载可编辑. .. 答: ∴, 又等差数列{an}的公差为 d, ∴==2d, ∵点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上, ∴ ∴ =b8, =4=2d,解得 d=2. =﹣2n+ (2)由 f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2, ∴函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为 , 又 ∴ ,令 y=0 可得 x= ,解得 a2=2. , ∴d=a2﹣a1=2﹣1=1. ∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n, ∴bn=2n. ∴ . ∴Tn= ∴2Tn=1+ + +…+ +…+ + , , 两式相减得 Tn=1++…+﹣=﹣ = =. 20: 【答案】 解: (1)由题知椭圆过点 ( 2,1 )。 得 .下载可编辑. .. ⎧c2 ⎪e == ⎪ ⎪ 21 ⎨+ 22 ⎪a 2 = b2 + c2 ⎪ ⎩ x2y 2 42 = 1 。 (2)假设存在满足题意的定点 Q 。 当直线 l 平行于 x 轴时, QA PA = = 1, A, B 两点关于 y 轴对称,得 Q 在 y 轴上。 QB PB 不妨设 Q (0, a ) =, a ≠ 1 。 解得 a = 2 a + 2PB1 + 2 下证对一般的直线 l : y = kx + 1 , Q (0,2 )也满足题意。 由 QA PA = QB PB 得 y 轴为 ∠AQB 的角平分线。 所以 k QA = - k 。 QB 不妨设 A(x , y ), B (x , y 1122 ) y = kx + 1, y = kx + 1 1122 y - 2y - 2 1 1 212 12 又椭圆方程与直线方程联立得: ⎨ ⎧ y = kx + 1, (1 + 2k 2 )x2 + 4kx - 2 = 0 ⎩ x2 + 2 y 2 = 4 1 + 2k 2 x + x =-4k 12 x x = 1 2 -2 1 + 2k 2 带入①得成立。 故假设成立。 综上存在点满足题意。 21: 解解: ∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b, 答: 又 g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e, .下载可编辑. .. ∴①当时,则 2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0, ∴函数 g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b; ②当,则 1<2a<e, ∴当 0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当 ln(2a)<x<1 时,g′(x) =ex﹣2a>0, ∴函数 g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增, g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b; ③当时,则 2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0, ∴函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g (1)=e﹣2a﹣b, 综上: 函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ; (2)由 f (1)=0,⇒ e﹣a﹣b﹣1=0⇒ b=e﹣a﹣1,又 f(0)=0, 若函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数 f(x)在区间(0,1)内至少有三 个单调区间, 由 (1)知当 a≤ 或 a≥ 时,函数 g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函 数 f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求. 若 令 h(x)= ,则 gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1 (1<x<e) 则 .由 >0⇒ x< ∴h(x)在区间(1, 恒成立, )上单调递增,在区间( = + ,e)上单调递减, <0,即 gmin(x)<0 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔ , 又,所以 e﹣2<a<1, 综上得: e﹣2<a<1. ⇒ .下载可编辑.
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