有关球的高考题.docx
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有关球的高考题.docx
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有关球的高考题
1.(2014•陕西高考理科・T5)已知底面边长为1,侧棱长为仁的正四棱柱的
各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()
rh.■*!
A.—
【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.
【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底
B.4nC.2nD罟
满足勾股
所在截面圆的半径为R,则申;=1可得4;又侧棱长为W2,所以球心到截
面圆的距离d二早;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形
根据勾股
定理得球半径rJr;+川=4+*=1,代入球的体积公式得球的体积为
\\-
4n
2.(2016全国卷n文科T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
32
A.12nB.—nC.8nD.4n
【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解
【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为273,所以
3.(2015•新课标全国卷n理科•T9)已知A,B是球O的球面上两点,/
AOB=90,C
为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0
的表面积为
A.36n
B.64n
C.144nD.256n
【解题指南】
当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积
最大,利用Vo-abc=Vc-aob列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表
面积.
【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥0-
ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时Vo-ABC=VC-AOB=X2R2XR=R3=36,故R=6,
则球0的表面积为
S=4nR2=144n.
4.(2016全国卷m文科T11)与(2016全国卷3理科T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-
AiBiCi内有一个体积为V的球.若AB丄BC,AB=6,BC=8,AAi=3,则V的最大值是()
A.4nB.—C.6nD.32n
23
【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内
【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时因为AB丄BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径
68103
r=—^=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为2,此时体积V=T.
冗.
方体的外接球的半径为梟,所以球的表面积为4n(73)2=12
5.(2010•辽宁高考文科-T11)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA
丄平面ABCAB丄BCSA=AB=1,BC=运,则球0的表面积等于()
(D)
【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式
建立空间坐标系
设球心坐标
球的半径
球的表面积
【思路点拨】
【规范解答】选A.QSA平面ABC,AB,AC平面ABC,SAAB
SAAC
故可以A为原点,AC所在的直线为y轴,AS所在的直线为z轴建立如图所示
的空间直角坐标系A-Xyz,则A(o,o,o),BC-^36^^|3,o),C(o,J3,o),S(o,o,1),设球心O
坐标为(X0,y0,zo),则点0到各顶点S,A,B,C的距离相等,都等于球的半
径R.
【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心,才能求出半
径,
2.也可用另外的方法找到球心,因为/ABC是直角,所以AC是
ABC垂直的平面上,可知球心在平面SAC中,又因为球心到
S,A,C的距离都相等,且△SAC是直角三角形,所以球心
就是斜边SC的中点,球的半径为SC的一半,
3.另外,可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解
6.(2010
-海南宁夏高考•理科T10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱
【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题
【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系,找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.
【规范解答】选B.设球心为0,设正三棱柱上底面为ABC,中心为0,因
为三棱柱所有棱的长为a,则可知00a,0A^a,又由球的相关性质
23
可知,球的半径RJOO20A2迈a,所以球的表面积为4R27a2,故
63
7.(2011•辽宁高考文科-T10)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上
…VSABC
11J3
Vsa0bVca0b-Sa0b(s00c)=3丁
两点,AB=73,ASCBSC30,则棱锥SABC的体积为()
【思路点拨】找到直径SC的垂截面是解决本题的关键.
【精讲精析】选C.由题意可知SAC和SBC是两个全等的直角三角形,过直
角顶点A,B分别作斜边上的高线AH,BH,由于ASCBSC30,求得
AHBHJ3,所以等边ABH的面积为Sabh—(V3)2^^3,所求棱锥
44
SABC的体积等于以ABH为底的两个小三棱锥的体积的和,其高的和即为
9.(2011•新课标全国高考理科•[15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为
4的球O的球面上,且AB6,BC2®则棱锥OABCD的体积为
体积.
【答案】8旋
个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的-,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
16
【思路点拨】画出图形,利用数形结合,然后利用球及圆的性质求解
锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角
形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(
A半(B)
(C)
3(D)
【解题指南】思路一:
取AB的中点为
D,将棱锥分割为两部分,利用
VVbcdsVacds求体积;思路二:
设点
O到面ABC的距离为d,利用
V1SABC2d
3ABC求体积;
思路三:
利用排除法求解.
【解析】选A.方法一:
QSC是球O的直径,CASCBS90
QBABC
AC
1SC2
ASBS
运,取AB的中点为D,显然
AB
CD
AB
平面CDS.
CDS
CD”
2
DS
SC
2,利用余弦定理可得
cos
CDS
sinCDSA庇
故
733
S1
OCDS2
442
733
VVbCDS
VaCDS
1
SCDSBD+~SCDS
3
AD
1S
SCDS
3
14242
BA—一1一
326-
方法二:
ABC
的外接圆的半径r
3,点O到平面ABC的距离
dJr2r2
V
此棱锥的体积为
1Sabc2d1逅迹返
33436
方法三:
V36
43
2R-
6,排除B,C,D
12.(2013•新课标I高考理科-T6)如图,有一个水平放置的透明
无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,
积为()
【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用v3r3求出球的体积-
【解析】选A.设球的半径为R,由勾股定理可知,R2(R2)242,解
(A)V6n
【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径,然后利用公式求得球的体积
【解析】选B.设球0的半径为R,则RJ12(荷273,故
V球4R34爲
3
2灵的正方形.若
14.(2012•辽宁高考文科-T16)已知点P,A,B,C,D是球0表面上的点,PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为
PA=2W,则^OAB的面积为
方体的顶点来考虑.
OAB的
接长方体的顶点,球0位于该长方体的对角线的交点处,那么△面积为长方体对角面的四分之一
QQABB22^33PAA22/66,PBB66,00ADD面积^丄22曲6=33處.
44
【答案】3恵
15.(2013•辽宁高考文科-T10)与(2013•辽宁高考理科-T10)相同已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球0的球面上,若
AB3,AC4,ABAC,AA112,,则球0的半径为()
【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题,通过作出截面,使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。
【解析】选C.由题意,结合图形,经过球心0和三棱柱的侧棱中点的
大圆,与三棱柱的侧棱垂直,三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形,
AH:
HB=1:
2,AB丄平面,H为垂足,
截球O所得截面的面积为n,则
OA2OO2OA2
球O的表面积为
【解析】因为截球O所得截面的面积为n,所以截面的半径为1.设球的半径为R,则AH2R,BH—,由勾股定理得12(-)2R2,解得
333
R29.所以球O的表面积为4R2^.
82
【答案】9.
2
17.(2013•大纲版全国卷高考文科-T16)与(2013•大纲版全国卷高考理科-T16)相同已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,
OK3,且圆O与圆K所在的平面所成角为60o,则球O的表面积等于
2
【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形,确定圆O与圆K所在平面的二面角,构造直角三角形求出
半径长.
【解析】如图,
设公共弦MNR,E为MN的中点,贝JOEMN,KEMN
OEK为圆O与圆K所在平面的二面角.
10)已知一个正方体的所有顶点在一
所以OEK60,又OMN为等边三角形,
所以OE
^R.又因
1为OK
3
OK
2
2
所以OE
sin60°-,
即衣R
3
2
2
2
2
解得R
2,所以S
4R21
6.
【答案】
16
EK,
19.(2013•天津高考文科-T
个球面上.若球的体积为牛,则正方体的棱长为
【解题指南】先根据球的体积求出半径,再根据球的直径与其内接正方
【解析】设球半径为R,因为球的体积为彳r32
牛,所以r=3,又由球
体对角线的相等关系求其棱长
3,故其棱
的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为
【答案】7320.(2013•福建高考理科-T12)已知某一多面体内接于球构成一个简
单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
【解题指南】如果考球,我们只要清楚一个结论,外接球的直径就是长方
体的对角线.
【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,则球的直径
dJ2222222?
3,所以球的表面积为S=4nR2=nd2=12n.
【答案】12n
21.(2013•新课标全国n高考文科-T15)已知正四棱锥0ABCD的
体积为学,底面边长为73,则以0为球心,0A为半径的球的表面积
【解题指南】利用正四棱椎的性质,求得0A的长,即可得球的表面积.
【解析】设正四棱锥的高为h,
则-(73)2h亜,解得高h巫,则底
322
面正方形的对角线长为近
晶,所以0AJ(迈)2西276,所以
Y22
球的表面积为4(76)224
【答案】24
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