数学建模太阳影子定位.docx
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数学建模太阳影子定位
西安邮电大学
(理学院)
数学建模报告
题目:
太阳影子定位问题
班级:
信息工程1403班
学号:
03144079
姓名:
侯思航
成绩:
2016年6月30日
一、摘要
本文针对太阳影子定位技术,通过太阳与地球相对运动的规律,建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系,建立模型。
综合分析了不同地点,不同的时间,不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势,运用了软件进行分析,得出不同地区影子变化的模型。
最后将具体情况运用到建立的模型中,对实际问题进行可行性分析,根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。
第一问中,我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系,根据控制变量法,分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。
然后,根据时差计算关系,当北京时间在9:
00-15:
00时,天安门广场的时间,并应用建立的模型。
第二问中,首先根据影子坐标求出影子的长度,拟合北京时间与影子长度的函数,找出影子长度的最低的点,从而根据时间求出当地经度,由于误差的存在,我们将经度、杆长、纬度给定一定范围,根据第一问公式进行搜索,从而确定可能的地点。
关键字:
(宋体小四号)真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法
2、问题提出
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:
00-15:
00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
三、问题分析
第一问:
根据物体在太阳光照射下将产生影子的自然现象,研究物体影子的形成原理,通过分析太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化,引起物体影子的长度和朝向有规律地变化来建立数学模型。
利用Matlab软件绘出影子长短随时间变化的图像。
将问题中所给参数带入,解决问题。
由于太阳光线照射物体的角度的日变化和年变化,引起物体影子的长度和朝向有规律地变化。
第二问:
通过对附件所给的影子坐标的数据,求出影子的长度,然后通过第一问的相关公式,对影长和时间的关系进行拟合,得到一个二次方程,得出影长的最低值,从而可知正午时间,再算出经度。
4、建模过程
第一问
1.模型假设
(1):
假设单一光源(太阳光)照射
(2):
直杆严格垂直于水平地面
(3):
被照射直杆的形状不会影响影子的长度
(4):
将整个天空视为一个天体圆
(5):
不考虑大气折射
(6):
问题中给出的数据可靠
2.定义符号说明
符号含义符号含义
α偏磁角(赤纬角)e时差
ε:
太阳高度角ε入射角
β经度γ纬度
t北京时间A太阳方位角
N自1月1日算起的第几天L影子长度
ω时角:
H杆长
3.模型建立:
以杆影在阳光下产生影子端点移动的轨迹,代替太阳运行轨迹。
运用相对运动原理,将地球自转及绕太阳公转的运动简化为地球不动,太阳绕地球转动。
(1)计算磁偏角(赤纬角)全年之中,每一天太阳和地球的运转与天体圆赤道之间所形成的夹角,也就是所谓的磁偏角α都不同,会在+23.45与-23.45之间变化,其计算公式为:
α=23.45sin[2π(28+4N)]/365
(1)
(2)由北京时间计算当地时间:
按太阳运行位置,世界采取了时差制度并且遵循此制度,各国时间历法都以此制度为基础。
按太阳运行位置,划分时区,每个时区相差15(每个时区相差1个小时)。
当地时间s的计算公式:
S=t-(120-R)/60*15
(2)
当所得值为负数时,加上24小时。
(3)计算时角因为地球自转一周约为24小时,所以,太阳每小时大约自东向西移动15
(即360/24),故时角w的计算公式为:
w=15(12-s)(3)
w为正表示偏东,w为负表示偏西。
注意:
计算中将其划为弧度制。
(4)计算太阳高度角太阳高度角简称太阳高度(其实是角度)。
太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素,它在数值上等于太阳在地球地平坐标系中的地平高度。
太阳高度角ε的计算公式为:
ρ=arcnsin(sincoscoscosarcw)(4)
(5)利用太阳高度角、杆长及影长列出函数式
如图所示,由立竿见影的测量方式,得出影长L公式为:
L=H/tanP
4,模型求解:
由有几何学原理,已知tanp在0
影子有时比物体长,有时比物体短。
太阳高度为45度时影子和物体一样长。
由一天中太阳位置的变化规律得出,早晚影子最长,中午最短,早上到中午影子慢慢变短,中午到晚上影子慢慢又变长。
相似的,我们可以得出,早晚太阳高度最小,中午最大,早上到中午太阳高度慢慢变大,中午到晚上太阳高度慢慢又变小。
(2)关于北京影长问题的探索
利用Matlab绘出影子的变化规律图。
第一问需要求解的题目中给出一下参数:
:
N:
自1月1日算起的第295天。
t:
北京时间9:
00-15:
00。
β:
东经116度23分29秒。
γ:
北纬39度54分26秒。
H3米。
注意:
计算中将经、纬度划弧度制。
将参数带入Matlab中,绘出影子长度变化曲线,如二所示:
第二问
1.模型假设:
假设附件1所给顶点坐标数据符合事实
2.定义符号说明:
A:
方位角
θ:
高度角
α:
赤纬角
β:
物体所在地理纬度
γ:
当地时间
N:
从1月1日起距当地日期的天数
n:
表示24小时制的时间数
t:
太阳某位置的方位时间
ω:
时角
L0:
影子的长度
(x.y):
影子顶点坐标
3,模型建立:
因为竹竿相对太阳的位置所对应于地球上所在点的相对位置,由该点的地理纬度、日期和时间3个因素来决定。
一般通过地平坐标系及赤道坐标系来同时表示太阳的位置,也就是以太阳高度角θ方位角A及赤纬角α、时角ω来表示。
赤纬角是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角,高度角指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,可知高度角的范围是000~90,方位角指经过球心O。
与太阳位置点在地平圈上投影点的直线与地平圈正南向OS所夹的角。
定义方位角坐标以正南向S点为起始00逆时针方向为负,分180顺时针方向为正,亦分0180;正北向N点为正负180。
因此根据太阳位置的变化可以绘制出坐标网图,在坐标网图中用同心圆来代表太阳高度圈,用圆周上的刻度角来表示太阳的方位角(自南向西为正值,自南向东为负值)。
故通过竿影轨迹点的坐标可求出影长,然后通过拟合影长相关计算公式如下:
影长公式
根据韦达定理得:
五、模型评价与改进
第一问中,我们所用的F检验没有T检验合适,但是结果偏差不大第二问中,topsis法灵活简便,操作方便。
并用熵值法确定权重,具有合理性,但是缺少相应的模型检验。
第四问中,通过经验设定综合指标进行求解,简化了相应的数学模型,只是缺少对综合指标设立的检验,依据性不强。
六、参考文献
[1]Topsis综合评价法2012年9月8日
[2]数学建模成绩的评价与预测,2012年9月8日
[3]陈光亭裘哲勇《数学建模》高等教育出版社2010年2月
[4]王宏洲《数学建模优秀论文》清华大学出版社2011年9月
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