教师4专题六专题八概率与统计.docx
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教师4专题六专题八概率与统计
第1讲 概率与统计的基本问题
高考定位 1.对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题,属于简单题;2.对于排列组合、古典概型、几何概型的考查也会以选择或填空的形式命题,属于中档以下题目.
真题感悟
1.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56B.60
C.120D.140
解析 设所求人数为N,则N=2.5×(0.16+0.08+0.04)×200=140,故选D.
答案 D
2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7:
30,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.B.
C.D.
解析 如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P==,故选B.
答案 B
3.(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程
=
x+
,其中
=0.76,
=y-
x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A.11.4万元B.11.8万元
C.12.0万元D.12.2万元
解析 回归直线一定过样本点中心(10,8),∵
=0.76,∴
=0.4,由
=0.76x+0.4得当x=15万元时,
=11.8万元.故选B.
答案 B
4.(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( )
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
解析 由题意,知P(3<ξ<6)=
==13.59%.
答案 B
考点整合
1.统计
(1)系统抽样:
如果遇到不是整数的情况,可以先从总体中随机剔除几个个体,使得总体中剩余的个体能被样本容量整除.
(2)在频率分布直方图中,小长方形的面积=频率,各小长方形的面积的总和等于1.
(3)方差与标准差
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],
s=.
(4)回归直线
=
x+
经过样本点的中心点(,),若x取某一个值代入回归直线方程
=
x+
中,可求出y的估计值.
(5)独立性检验
对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其样本频数列联表是:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
n
则K2=(其中n=a+b+c+d为样本容量).
2.计数原理
(1)排列与组合:
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,
C==.
(2)二项式定理:
①二项式定理:
(a+b)n=Canb0+Can-1b+Can-2b2+…+Can-rbr+…+Ca0bn(r=0,1,2,…,n).
②二项展开式的通项
Tr+1=Can-rbr,r=0,1,2,…,n,其中C(r=0,1,…,n)叫做二项式系数.
3.概率
(1)概率的取值范围是[0,1],即0≤P(A)≤1,必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0.
(2)古典概型
P(A)=.
(3)几何概型
P(A)=.
热点一 统计与统计案例
[微题型1] 用样本估计总体
【例1-1】
(1)空气污染指数划分为0~50(优),51~100(良),101~150(轻度污染),151~200(中度污染),201~300(重度污染)和大于300(严重污染)六档,对应于空气质量的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.下面图表统计了北京市2016年元旦前后两周(2015—12—24至2016—01—06)实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据,两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为________.
(2)从某中学高一年级中随机抽取100名同学,将他们的成绩(单位:
分)数据绘制成频率分布直方图(如图).则这100名学生成绩的平均数,中位数分别为________.
解析
(1)将图表1所有数据从小到大排列:
105,107,117,190,241,273,319,369,415,437,441,445,479,500,共14个数,中间两数为319,369,中位数为(319+369)÷2=344;图表2共11个数,中位数为262.两图表空气质量指数中位数之差的绝对值为|344-262|=82.
(2)由图可知(a+a-0.005)×10=1-(0.010+0.015+0.030)×10,解得a=0.025,则x=105×0.1+115×0.3+125×0.25+135×0.2+145×0.15=125.中位数在120~130之间,设为x,则0.01×10+0.03×10+0.025×(x-120)=0.5,解得x=124.
答案
(1)82
(2)125,124
探究提高 反映样本数据分布的主要方式:
频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率,其高低能够描述频率的大小,高考中常常考查频率分布直方图的基本知识,同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数,具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数和中位数、方差等.
[微题型2] 对回归直线方程的考查
【例1-2】(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:
千元)对年销售量y(单位:
t)和年利润z(单位:
千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=,
=i.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据
(2)的结果回答下列问题:
①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:
对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
解
(1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于
563-68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为
=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为
=100.6+68.
(3)①由
(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值
=576.6×0.2-49=66.32.
②根据
(2)的结果知,年利润z的预报值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
所以当==6.8,即x=46.24时,
取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.
探究提高 若x,y为线性相关,可直接求其线性回归方程;若x,y为非线性相关,可通过换元先建立线性回归方程,然后再转化为非线性回归方程.
[微题型3] 对独立性检验的考查
【例1-3】某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系,随机调查了观看该节目的观众110名,得到如下的列联表:
女
男
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
30
50
总计
60
50
110
试根据样本估计总体的思想,估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.
参考附表:
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
(参考公式:
K2=,其中
n=a+b+c+d)
解析 假设喜爱该节目和性别无关,分析列联表中数据,可得K2的一个观测值k=≈7.822>6.635,所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”.
答案 99%
探究提高 独立性检验的具体步骤是:
第一步,根据题意确定临界值并作无关假设;第二步,找相关数据,列出2×2列联表;第三步,由公式K2=(其中n=a+b+c+d)计算出K2的观测值;第四步,将K2的观测值与临界值进行比较,进而作出推断.
【训练1】
(1)高考前夕,摸底考试后随机抽取甲、乙两班各10名学生的数学成绩,绘成茎叶图如图所示.
记甲、乙两班的平均成绩分别是
,
,中位数分别为m甲,m乙,则( )
(2)(2017·长安五校联考)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.B.3
C.D.
解析
(1)甲班10名学生的数学成绩的平均数为
==77.1,
乙班10名学生的数学成绩的平均数为
==79.7,
所以
<
.
中位数分别为m甲==78.5,m乙==76,
所以m甲>m乙.
(2)这组数据的平均数是:
=3,方差是:
[20×(5-3)2+10×(4-3)2+30×(3-3)2+30×(2-3)2+10×(1-3)2]=,则这100人成绩的标准差为=.
答案
(1)A
(2)C
热点二 排列组合与概率
[微题型1] 排列、组合问题
【例2-1】
(1)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班级,则不同的分法种数为( )
A.18B.24
C.30D.36
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72B.120
C.144D.168
解析
(1)法一 如丙、丁分到同一个班级,则方法数就是三个元素的一个全排列,即A;若丙分到甲或乙所在的班级,则丁只能独自一个班级,方法数是2A;同理,若丁分到甲或乙所在的班级,则丙独自一个班级,方法数是2A.根据分类加法计数原理,得总的方法数是5A=30.
法二 总的方法数是CA=36,甲、乙被分到同一个班级的方法数是A=6,故甲、乙不分到同一个班级的方法数是36-6=30.
(2)先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:
“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有ACA=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有AA=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法.
答案
(1)C
(2)B
探究提高 解排列、组合的应用题,通常有以下途径:
(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.
(2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.
[微题型2] 考查二项式定理
【例2-2】
(1)(2015·全国Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20
C.30D.60
(2)若(x2+1)(x-2)11=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a13(x-1)13,则a1+a2+…+a13=________.
解析
(1)Tk+1=C(x2+x)5-kyk,∴k=2.
∴C(x2+x)3y2的第r+1项为CCx2(3-r)xry2,
∴2(3-r)+r=5,解得r=1,
∴x5y2的系数为CC=30.
(2)记f(x)=(x2+1)(x-2)11=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a13(x-1)13,
则f
(1)=a0=(12+1)(1-2)11=-2.
而f
(2)=(22+1)(2-2)11=a0+a1+a2+…+a13,
即a0+a1+a2+…+a13=0.
所以a1+a2+…+a13=2.
答案
(1)C
(2)2
探究提高
(1)在应用通项公式时,要注意以下几点:
①它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;
②对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题;
③(x+y)n展开式中的每一项相当于从n个因式(x+y)中每个因式选择x或y组成的.
(2)在二项式定理的应用中,“赋值思想”是一种重要方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法.要根据二项展开式的结构特征灵活赋值.
[微题型3] 古典概型与几何概型
【例2-3】
(1)(2016·深圳一调)4名同学参加3项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活动至少有一名同学参加的概率为( )
A.B.
C.D.
(2)(2016·山东卷)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.
解析
(1)4名同学参加3项不同的活动共有34=81种,其中每项活动至少有一名同学参加的有:
CA=36种.由古典概型知所求概率为P==.
(2)由已知得,圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,∴<3,解得- 答案 (1)A (2) 探究提高 (1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排列、组合的相关知识. (2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. 【训练2】 (1)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________. (2)(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.B. C.D. 解析 (1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5), 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1), 所以8(a+1)=32,解得a=3. (2)由题意得: (xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知=, ∴π=,故选C. 答案 (1)3 (2)C 1.用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和为1. (2)众数、中位数及平均数的异同: 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. (3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布;当总体容量很大时,通常从总体中抽取一个样本,分析它的频率分布,以此估计总体分布. 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错,应注意区分这三者,在频率分布直方图中: ①中位数: 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值. ②平均数: 平均数为频率分布直方图的“重心”,等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. ③众数: 在频率分布直方图中,众数是最高的矩形底边的中点的横坐标. 2.求解排列、组合问题常用的解题方法 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”; (2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 3.通项Tr+1=Can-rbr是指(a+b)n的展开式中的第r+1项,而非第r项,其中n∈N*,r=0,1,…,n,且r≤n,若n,r一旦确定,则展开式中的指定项也就确定,通常用来求二项展开式中任意指定的项或系数,如常数项或xn的系数. 4.古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法: 适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法. (3)列表法: 适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法: 适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 一、选择题 1.(2016·全国Ⅱ卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A.24B.18 C.12D.9 解析 从E点到F点的最短路径有6种,从F点到G点的最短路径有3种,所以从E点到G点的最短路径为6×3=18种,故选B. 答案 B 2.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 =3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位; ③回归方程 = x+ 必过(x,y); ④有一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系. 其中错误的个数是( ) P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 A.0B.1 C.2D.3 解析 一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是反映数据的波动程度的量),①正确;回归方程中x的系数具备直线斜率的功能,对于回归方程y^=3-5x,当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,②错误;由线性回归方程的定义知,线性回归方程 = x+ 必过点(x,y),③正确;因为K2=13.079>10.828,故有99.9%的把握确认这两个变量有关系,④正确.故选B. 答案 B 3.(2014·新课标全国Ⅰ卷)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.B. C.D. 解析 由题意知,4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日也有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P===. 答案 D 4. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附: 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544. A.2386B.2718 C.3413D.4772 解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826, ∴P(0≤X≤1)=×0.6826=0.3413,故S≈0.3413. ∴落在阴影部分中点的个数x估计值为=(古典概型), ∴x=10000×0.3413=3413,故选C. 答案 C 5.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表: 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 45 10 女 30 15 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 k0 2.706 3.841 5.024 K2= 参照附表,得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 解析 由公式可计算K2的观测值 k= =≈3.03>2.706, 所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2017·广州模拟)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位: cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________. 解析 由所有小矩形的面积之和为1,得(0.005+0.010+0.020+a+0.035)×10=1,得a=0.030.设身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组中分别抽取的人数为n1,n2,n3,则n1∶n2∶n3=0.3∶0.2∶0.1=3∶2∶1,又n1+n2+n3=18,所以n3=18×=3. 答案 0.030 3 7.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率是________. 解析 函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点,则Δ=4-4ξ<0,即ξ>1.因为ξ~N(1,σ2),所以该正态曲线的对称轴是x=1,根据正态曲线的性质得P(ξ>1)=. 答案 8.(2016·江苏卷)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________. 解析 x==5.1,则方差s2=[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2
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