高考圆与圆的位置关系圆的全章复习.docx
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高考圆与圆的位置关系圆的全章复习
2012年高考圆与圆的位置关系、圆的全章复习
[学习目标]
1.掌握圆与圆的五种位置关系,类比于点与圆,直线与圆的位置关系,能通过两圆半径r1,r2及圆心距d三者的数量关系,判断两圆位置关系,或通过位置关系,判断数量关系。
2.在数轴上表示当d在不同位置时,两圆的位置关系。
ZYB型系列渣油泵
3.在证明两圆的或多圆的图形时,常加的辅助线:
公共弦、公切线;圆心距,连心线。
4.当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦。
ZYB增压泵
当两圆内切时,连心线垂直于公切线。
当两圆外切时,连心线垂直于内公切线。
5.公切线是指两个圆公共的切线,如果两圆在公切线同旁则称外公切线,如果两圆在公切线两旁则称内切线。
公切线上两切点间线段的长叫公切线长。
6.如图内公切线长
(外离时)沥青拌合站增压泵
外公切线长
(外离、外切、相交时)
d圆心距 R大圆半径 r小圆半径 R≥r
7.公切线条数DHB系列点火专用高压燃油泵
①内含
0条
②内切
1条
③相交
2条
④外切
3条
⑤外离
4条
8.圆的全章复习ZYB点火增压燃油泵
(1)圆的基础知识
①圆的有关概念:
弦,弧,半圆,弓形,弓形高,等弧(隐含同圆等圆),弦心距,直径等。
②圆的确定3gr螺杆泵
圆心决定位置,半径决定大小,不共线的三点确定一个圆。
注意:
作图(两边中垂线找交点),外心的位置,外心到三角形各顶点距离等
③圆的对称性:
轴对称,中心对称,旋转不变性
(2)圆与其它图形3GR三螺杆泵
<1>点与圆 三种
<2>直线与圆
①一条直线与圆 三种
②两条直线与圆
③三条直线与圆3GCL立式船用三螺杆泵
三角形内切圆与圆外切三角形
三角形内心(角平分线交点)位置永远在三角形内部
到三角形各边距离相等
④四条直线与圆3GR三螺杆油泵
圆外切四边形两组对边的和相等
<3>两圆与直线
两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。
两圆内切时连心线过切点,垂直于过切点的切线。
sn三螺杆泵
两圆相交时,连心线垂直于公共弦,并且平分公共弦。
(3)定理
<1>垂径定理及推论:
过圆心;垂直弦;平分弦(非直径);平分优弧;平分劣弧;知2求3。
螺杆泵的安装尺寸
<2>圆心角,弦,弦心距,弧之间关系:
同圆等圆中知1得3。
<3>与圆有关的角:
圆心角,圆周角,弦切角,圆内角,圆外角,圆内接四边形外角,内对角,对角
<4>切线的判定、性质:
3GR普通型三螺杆泵
①判定:
常见的证法连半径,证垂直,判断切线,
“连垂切”
或作垂直证d=rYCB系列圆弧齿轮泵
②性质:
若一条直线满足过圆心、过切点,垂直于切线中任意两条,可得另外一条。
常见“切连垂”
<5>和圆有关的比例线段:
YCB齿轮泵
相交弦定理及推论,切割线定理及推论,圆幂定理
(4)和圆有关的计算
<1>求线段
①直径、半径YCB圆弧齿轮泵型外形及安装尺寸图
②垂径定理:
求弦长、弦心距、拱高
③切线长、公切线长(外公切线长,内公切线长)
④直角三角形内切圆半径lyb系列立式圆弧齿轮泵
⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系
⑥等边三角形内切圆半径:
外接圆半径=1:
2
⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等
<2>求角YCB圆弧齿轮油泵
圆心角,圆周角,弦切角,两切线夹角,公切线夹角
(5)常见辅助线
半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线
(6)圆中常见图形
直角三角形 等腰三角形 圆内接四边形 相似三角形YHB-LY系列立式圆弧齿轮泵
【典型例题】
例1.已知半径分别为R和r(R>r)的两圆外切,它们的两条外公切线互相垂直,则R:
r等于( )YCB不锈钢圆弧齿轮泵
A.
B.
C.
D.
解:
连结O1A、O2B、O1O2(如图所示),则O1A⊥AB,O2B⊥AB,O1O2过点P且平分∠APC,过点O2作O2E⊥O1A,则O2E∥AB
∴∠O1O2E=∠O1PA=45°,
∴△O1O2E是等腰直角三角形。
KCB不锈钢齿轮泵
∴
,
∵
,
∴
KCB全不锈钢齿轮泵
∴
,
∴
,故选C。
点拨:
本题涉及的知识点较多,要认真审题,理清思路,解决问题。
ycb系列不锈钢圆弧齿轮泵
例2.如图所示,⊙O1与⊙O2内切于点A,并且⊙O1的半径是⊙O2的直径,O1B为⊙O1的半径,交⊙O2于点C,AD是公切线,∠O1AC=50°,则∠BAD=( )
A.50° B.40° C.25° D.20°
解:
∵O1A是⊙O2的直径,
∴∠ACO1=90°
又∵∠O1AC=50°KCB不锈钢齿轮油泵
∴∠O1=40°
又∵DA是两圆的公切线,∠DAB和∠DAC分别是⊙O1、⊙O2的弦切角,
∴
故选D。
2CY不锈钢齿轮泵
点拨:
利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键,要学以致用,温故而知新。
例3.已知两圆的半径分别为8和6,如果两圆的圆心距为14,则两圆的公切线条数有____________。
KCB不锈钢齿轮泵
解:
由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和,则两圆外切,共有3条公切线,故应填3。
例4.两圆的一条外公切线与连心线成30°的角,它们的圆心距是10cm,则外公切线长为_____________。
KCB型不锈钢齿轮泵
解:
如图所示,连结O1A、O2B,过点A作AC∥O1O2,则∠BAC=30°,AC=O1O2=10cm,
在Rt△ABC中,
,F型不锈钢齿轮泵
故应填
cm。
点拨:
公切线、两圆的半径之差(或和)和圆心距构成直角三角形,是解决这部分题的关键。
RYB电动内啮合齿轮泵
例5.已知两圆外离,圆心距为25cm,两圆的周长分别为15
和
,则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_____________。
解:
如图所示,过点O1作O1C∥AB,交O2B的延长线于C,
∵两圆的周长分别为15πcm和10πcm,RYB内啮合齿轮泵
∴两圆的半径分别为
,
∴
,
又∵
RYB电动齿轮泵
∴在Rt△O1CO2中,
sin∠O2O1C=
,
∴∠O2O1C=30°,故应填30°。
内啮合摆线齿轮泵
例6.如果两圆外切,切点为M,外公切线AB,切点为A、B,则∠AMB=_________。
解:
如图所示,过点M作两圆的公切线交AB于点C,
∵AB是两圆的公切线,
∴CA=CM=CBYHB轴头油泵
∴∠CAM=∠CMA
∠CBM=∠CMB,
∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°
∴∠CMA+∠CMB=90°BC系列变频专用内啮合齿轮泵
即∠AMB=90°,故填90°
点拨:
本题是一道典型题,可作为一般的结论记忆。
RYB系列燃油泵
例7.如图所示,⊙O和⊙O'相交,且点O在⊙O'上,公切线AC、BD分别切两圆于A、B、C、D四点,求证:
AB是⊙O的切线。
证明:
连结OA、OB、OC、OD,过点O作OE⊥AB于E,
∵AC、BD是公切线,点火油泵
∴AC=BD
又∵OC=OD,∠ACO=∠BDO=90°
∴△AOC≌△BOD,∴∠CAO=∠DBO
∵∠DBO=∠EAO,∴∠CAO=∠EAOZYB增压燃油泵
又∵AO=AO,∠ACO=∠AEO=90°
∴△ACO≌△AEO,∴OE=OC
∴AB是⊙O的切线。
ZYB系列增压燃油泵
点拨:
本题利用圆心到直线的距离等于半径判定直线是圆的切线。
例8.两圆外切,两条外公切线所成的角是60°,公切线长等于
,求两圆的半径。
NYP高粘度泵
解:
如图所示,过点A作AE∥O1O2,设⊙O1和⊙O2的半径分别为r和R。
在Rt△ABE中,AB=
∠BAE=30°,AE=O1O2=R+r,BE=R-r,NYP高粘度保温泵
∴
解这方程组,得R=3cm,r=1cm,
∴两圆的半径分别为3cm和1cm。
内环式高粘度泵
点拨:
本题涉及的知识点较多,要注意各知识点之间的联系,正确解题。
例9.如图所示,⊙O1与⊙O2内切于A,过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C,求证:
AB·AE=AC·AD
证明:
过点A作两圆的外公切线AF,
∵∠FAB=∠ACB,nyp内环式高粘度泵
∠FAB=∠AED,
∴∠ACB=∠AED
∴BC∥DE,NYP转子泵
∴AB:
AD=AC:
AE,
即AB·AE=AC·AD
点拨:
当两圆外切或内切时,公切线是常添的辅助线,然后利用有关的角相等,找到解题思路。
高粘度齿轮泵
例10.如图所示,两圆内切于点C,⊙O1的弦AB切⊙O2于点E,CE的延长线交⊙O1于D,求证:
AE·CD=BD·ACLC型罗茨泵
证明:
过点C作两圆的公切线CF,
则∠FCE=∠DBC
又∵AB是⊙O2的切线,NYP高粘度泵安装尺寸
∴∠FCE=∠AEC,
∴∠AEC=∠DBC,
又∵∠A=∠D,
∴△AEC∽△DBC,
∴AE:
BD=AC:
CD,CYB系列稠油齿轮泵
即 AE·CD=BD·AC
点拨:
作公切线,通过相似,证明结论。
例11.如图所示,半径分别为r和R的两圆⊙O1和⊙O2互相外切,从切点到两圆外公切线的距离为d,求证:
证明:
过点O1作O1E∥AB,交O2B于E,交PC于D,
由题意知,
CYB稠油泵
∵PD∥O2E,
∴
∵
,燃烧器油泵
∴
,
∴
,ZZR重渣油燃烧器油泵
,
两边同时除以dRr,得北京燃烧器油泵
,
即
点拨:
通过引辅助线,构造相似三角形,找到证题思路
例12.如图所示,设两圆交于P、Q两点,过Q作一直线交两圆于A、B,过A、B各作所在圆的切线,北京燃烧器油泵设它们相交于一点M,求证A、M、B、P四点共圆。
证明:
连结PQ、PA、PB,则
∠MAB=∠APQ,燃烧机重油泵
∠MBA=∠BPQ,
∵∠M+∠MAB+∠MBA=180°
∴∠M+∠APQ+∠BPQ=180°
即∠M+∠APB=180°ZYB燃烧器高压渣油泵
∴A、M、B、P四点共圆。
点拨:
证明四点共圆的方法有许多种,请同学们自己总结一下。
例13.如图所示,以△ABC的一边BC为弦的圆交AB、AC于点D、E,经过A、D、E三点的圆的圆心为O,求证:
AO⊥BC。
甲醇燃烧器泵
证明:
连结DE,过A作⊙O的切线AM,则AO⊥AM,∠MAD=∠AED。
又∵四边形BCED内接于圆,zyB燃烧器油泵
∴∠AED=∠B
∴∠MAD=∠BZYB燃烧器泵
∴AM∥BC
∴AO⊥BC
点拨:
本题是一个富于思考的问题,还有很多推广。
例如,设N是△ABC的外心,其余条件不变,则有AN⊥DE,此时,所作切线是△ABC的外接圆上经过点A的切线。
北京渣油泵
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