秋人教版八年级数学上册第13章《轴对称作图及实际应用》讲义随堂测试习题及答案.docx
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秋人教版八年级数学上册第13章《轴对称作图及实际应用》讲义随堂测试习题及答案
人教版八年级数学上册第13章
轴对称作图及实际应用(讲义)
Ø课前预习
1.尺规作图书写作法时注意:
点线取__________,作弧说__________.
应用作图:
①______________________,设计作图方案;
②调用__________________完成图形.
2.如图,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到奶站的距离之和最小?
Ø知识点睛
1.五种基本作图:
①作一条线段等于已知线段;
②作一个角等于已知角;
③作已知角的角平分线;
④作已知线段的垂直平分线;
⑤过平面内一点,作已知直线的垂线.
2.轴对称最值问题:
(1)特征:
有定点,有动点,动点在____________上运动,求动点与定点连接组成的线段和(周长)最小.
(2)解决方法:
以动点所在的直线为对称轴,作定点的对称点,________________,利用两点之间线段最短进行处理.
例题:
在直线l上找一点P,使得在直线同侧的点A,B到点P的距离之和AP+BP最小.
Ø精讲精练
1.作已知线段的垂直平分线.
已知:
线段MN.
求作:
直线AB,使AB垂直平分MN.
作法:
(1)分别以_______,______为圆心,___________为半径作
弧,两弧相交于点A和点B;
(2)_______________________________________.
_______________________________________.
2.
(1)过直线上一点,作已知直线的垂线.
已知:
A为直线MN上一点.
求作:
直线AB,使AB⊥MN.
作法:
1________________________________________________
________________________________________________;
2________________________________________________
________________________________________________;
3________________________________________________.
_________________________________________________.
(2)过直线外一点,作已知直线的垂线.
已知:
A为直线MN外一点.
求作:
直线AB,使AB⊥MN.
作法:
1________________________________________________;
2________________________________________________
________________________________________________;
3________________________________________________
________________________________________________;
4________________________________________________.
_________________________________________________.
3.电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m,n的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置?
(不写作法,保留作图痕迹)
4.为打造“宜居城市”,某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A,B之间距离的一半,A,B,C的位置如图所示.请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(不写作法,保留作图
痕迹).
5.已知:
如图,点P,Q分别是△ABC的边AB,AC上的两个定点,在BC上求作一点R,使△PQR的周长最小.
第5题图第6题图
6.如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时,∠ECF的度数为____________.
7.
如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm,面积是12cm2,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则△BDM的最小
周长为_________.
8.已知:
如图,∠ABC=30°,P为∠ABC内部一点,BP=4,如果点M,N分别为边AB,BC上的两个动点,请画图说明当M,N在什么位置时使得△PMN的周长最小,并求出△PMN周长的最小值.
9.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=110°,在BC,CD上分别找一点M,N.当△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.
10.已知:
如图,点P,Q为∠AOB内部两点,点M,N分别为OA,OB上的两个动点,作四边形PMNQ,请作图说明当点M,N在何处时,四边形PMNQ的周长最小.
【参考答案】
Ø课前预习
1.名称、心径
画出草图,基本作图
2.图略
Ø知识点睛
2.
(1)定直线,
(2)将折线转直
图略
Ø精讲精练
1.图略
(1)点M,点N,大于
长
(2)作直线AB
直线AB即为所求
2.
(1)图略
①以点A为圆心,任意长为半径作弧,交直线MN于C,D两点;
②分别以点C,点D为圆心,大于
长为半径作弧,两弧交MN上方于一点B;
③作直线AB.
直线AB即为所求.
(2)图略
①在MN下方任取一点P;
②以点A为圆心,AP长为半径作弧,交MN于C,D两点;③分别以点C,点D为圆心,以大于
长为半径作弧,两弧交MN下方于一点B;
④作直线AB.
直线AB即为所求.
3.略(提示:
AB的垂直平分线和m,n所成角的平分线的交点即为所求)
4.略(提示:
先作出AB的垂直平分线,再以点C为圆心,以
长为半径作弧,交AB的垂直平分线于点M)
5.略(作点P关于BC的对称点
,连接
交BC于点R)
6.30°
7.8cm
8.作图略,△PMN周长的最小值为4.
9.140°
10.如图所示:
点M,N即为所求.
轴对称作图及实际应用(随堂测试)
1.近年来,国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革,某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P,张、李两村坐落在两相交公路内(如图所示).医疗站必须满足下列条件:
①使其到两公路距离相等;②到张、李两村的距离也相等.请你通过作图确定P点的位置(不写作法,保留作图痕迹).
2.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N.当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为_________.
特征:
定点:
_________
动点:
_________
动点在定直线:
__________上
目标:
△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数.
操作:
具体操作在图上进行.
【参考答案】
1.图略
2.100°
定点:
A
动点:
M,N
动点在定直线:
BC,CD上
轴对称作图及实际应用(习题)
Ø例题示范
例1:
如图,∠AOB=60°,点P在∠AOB的平分线上,OP=10cm,点E,F分别是∠AOB两边OA,OB上的动点,当△PEF的周长最小时,点P到EF的距离是________.
【思路分析】
此题求解应分为两步:
1找出△PEF的周长最小时E,F的位置;
2求出点P到EF的距离.
结合题目条件:
特征:
有定点(点P),有动点(点E,F),动点在定直线OA,OB上运动,满足△PEF的周长最小,判断这是轴对称最值问题.
操作方法:
作定点关于定直线的对称点,分别作点P关于直线OA,OB的对称点P′和P′′,折转直,利用两点之间,线段最短,找到当△PEF的周长最小时E,F的位置,进而求解.
如图1:
图1图2
如图2,连接OP′,OP′′,
∵∠AOB=60°,OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP=30°,
由轴对称性质可知OP=OP′,OP=OP′′,∠AOP′=∠AOP=30°,
∠BOP′′=∠BOP=30°,
∴OP′=OP′′,∠POP′=∠POP′′=60°,
∴OP平分∠P′OP′′,
∴OP⊥P′P′′
∴点P到EF的距离为线段PC的长.
在△POP′中,∠POP′=60°,OP=OP′
∴△POP′是等边三角形
又∵OP⊥P′P′′,OP=10
∴
Ø巩固练习
1.作已知线段的中点.
已知:
线段MN.
求作:
MN上一点O,使OM=ON.
作法:
(1)分别以_______,_______为圆心,__________为
半径作弧,两弧相交于_______和________;
(2)___________________________________.
___________________________.
2.已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(不写作法,保留作图痕迹),并填空:
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D;
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,
交BD于点O.
由
(1),
(2)可得:
线段EF与线段OE的数量关系为______________,并证明.
3.如图,已知∠AOB的大小为α,P是∠AOB内部的一个定点,且OP=2,点E,F分别是OA,OB上的动点,若△PEF周长的最小值等于2,则α=________.
4.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N.当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM=_________°.
5.
如图,一牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC,BD,且AC=BD,已知A到河岸CD的中点的距离为500米.牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家,请作图说明牧童怎样走路程最短,并求出最短路程.
Ø思考小结
1.轴对称最值问题的特征及操作
特征
①定点、_________
②定直线(_____点所在直线)
③目标:
______________
操作
①_______关于________对称
②连线找_____________
2.如图,在直线l上找一点P,使得在直线同侧的点A,B到点P的距离之和AP+BP最小,并说明理由.
思路提示:
在l上任取一点P′(P′不与P重合),则AP+BP_____AP′+BP′(填“>”、“<”或“=”)理由如下:
①由对称得:
AP=_____,AP′=_____;
②AP+BP=________=________,AP′+BP′=________;
③由_______________________可得AP+BP_____AP′+BP′.
【参考答案】
1.图略
(1)点M,点N,大于
长,点A,点B
(2)连接AB交MN于点O
点O即为所求
2.图略,EF=2OE;证明略
3.30°
4.∠AMN+∠ANM=120°
5.图略,最短路程为1000米
思考小结
1.动点
动
和最小
定点,定直线
交点
2.<
①
P,
②
P+BP=AB;
+
3角形两边之和大于第三边,<
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